Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Квантовая теория поля

Файл:

ФИАН / Nefedyev_Ktp

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.12.2025

Размер:

2.06 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2018 19 20 > Следующая >>>

λϕ4

1 2 2

λ0

−

d4k

−

λ0ϕ02/2

(2π)4

k2 − m02 + i0

m ϕ

˜2

< Λ

λ0

Λ2

+ λ0ϕ2

−

U =

m02

ϕ02 +

ϕ04 +

m02

λ0ϕ02

m02 +

λ0ϕ02 ln

−

32π2

64π2

Λ2

−

32π2

Λ m0 + 4m0

− 2m0 ln

Λ2

ϕ0

λ0Λ2

λ0

3λ0

m02

ϕ0

1 +

ϕ0

32π2

Λ2

m02 + δm2

Zϕ−1/2ϕ0

Zλ−1Zϕ2 λ0

Zϕ−1/2ϕ0

λ m

m = 0

m → 0

d4U

= λ,

dϕ4

|ϕ=M

M m

m/M 1

−

U(R) = 2m2ϕ2 + 4!ϕ4 + 64π2 "

m2 + 2λϕ2

m2 + λϕ2/2

2m2

−

λm2ϕ2 −

λ2ϕ4 +

λ2ϕ4 ln

λM2

m → 0

U(R)

ϕ4

λ2ϕ4

ϕ2

−

256π2

ϕ = 0

ϕ 6= 0

hϕi

ϕ → −ϕ M

hϕi

M = hϕi exp 16π2 . 3λ

Σ(2)(p) = −4πiα Z

d4k

γµS(p − k)γνDµν (k).

(2π)4

k m k p

kˆ

+ kˆ pˆkˆ + . . .

σγµ Z

αpˆZ

Σ(2)(p) α Z d4k γµ

γν

k2 αγµγλpγˆ

d4k k6

k ,

1 1

gµν

kλkσ

d4k kµ = 0,

Σ(2)div(p) α


Z		1
	d4k kµkν f(k2) =			gµν
			4
	Λµ(2)(p, p) = −	∂Σ(2)(p)
		∂pµ

Z d4k γµ kˆ pˆkˆ						γν k2 gµν −
				1	1	1
	d4k	1
				γµkpˆˆkγˆ µ − pˆ
	k4		k2	γµkpˆˆkγˆ µ − pˆ

d4k k2f(k2), γµpγˆ µ = −2ˆp.

αγµ Z	dk	,

	k


	k2
	kµkν
4γµγν pγˆ		ν γµ − pˆ Z	k = 0,
1			dk

				P (k2) =	4	πiα Z	d4p
								Sp (γµS(p + k)γµS(p)) .
					3		(2π)4	Sp (γµS(p + k)γµS(p)) .
			P (0)
	4		d4p						d4p		Λ
P (0) =		πiα Z		Sp (γµS(p)γµS(p)) α Z						Sp(γµpγˆ µpˆ) α Z	pdp αΛ2,
P (0) =	3	πiα Z	(2π)4	Sp (γµS(p)γµS(p)) α Z					p4	Sp(γµpγˆ µpˆ) α Z	pdp αΛ2,

Λ m

P (0) 6= 0

P(0)

kµPµν 6= 0

kµPµν Z Λ d4pSp		kSˆ	(p + k)γν S(p)
Z	Λ		Z	Λ

Z Λ

=d4pSp (S−1(p + k) − S−1(p))S(p + k)γν S(p) =

=d4pSp(γνS(p)) − d4pSp(γν S(p + k)) 6= 0,

ˆ ˆ − − − −1 − −1

k = pˆ + k m pˆ m = S (p + k) S (p).

P (0)

Pµν

P(0) = 0

P′(0)

P ′(0) α Z d4pSp	γµ p4		γµ p2			α Z	p ,
		pˆ		pˆ			dp

1/r|r→0

Nγ		Ne
Pγ Pe	n	L

T Z (dp)k1 .

pk2

d = k1 − k2

d < 0

d = 4L − 2Pγ − Pe.

L = Pγ + Pe − n + 1.

Nγ = n − 2Pγ.

Ne = 2n − 2Pe.

d = 4(Pγ + Pe − n + 1) − 2Pγ − Pe = 2Pγ + 3Pe − 4n + 4.

Pγ Pe
d = 4 − Nγ −	3	Ne.

	2

D < 4

D = 4

1/(4 − D)

{ } − ˆ

gµν = gνµ, γµγν = 2gµν , gµµ = γµγµ = D = 4 2ε, Sp1 = 4.

			γµγν γµ = −2(1 − ε)γν, γµγν γλγµ = 4gνλ − 2εγν γλ
				γ5
{γµγ5}	D 6= 4

{γµγ5} = 0	µ =	0, 3	{γµγ5} 6= 0 µ = 4, D − 1		γ5
γµ

D R

VD(R) = RDVD(1),

ˆ	f(D)	f(4) = 4
Sp1

1/ε

f(D) = 4

VD(1)

√

1−xD2

1−xD2 −xD2 −1−...−x22

−

Z−1

Z−√1−xD2

Z−√1−xD2 −xD2 −1−...−x22

Z−1

VD(1) =

dxD

1 . . .

dx1

dxDVD

D−1

D+1

π/2

Z−

= VD−1(1)

dxD

1 − xD

= 2VD−1

(1)

(cos θ)

dθ =

D + 1

VD−1(1) =

D+1

−

πD/2

D + 1

D+1

VD−2(1) = . . . =

D + 1

V1(1) =

D + 1

VD−1

1 − xD2

VD(R) =

πD/2

+ 1

V1(R) = 2R, V2(R) = πR2, V3(R) =

π2

πR3

, V4(R) =

R4.

DπD/2

2πD/2

ΩD = DVD(1) =

+ 1

(D)

= µ4−D Z

dDp˜

(˜p2)m

I˜mk

(2π)D

(˜p2 + a2)k

p˜

µ4−D

D = 4

∞

| |

p˜ 2m+D−1

−

(2π)D

(˜p2 + a2)k

2(2π)D

I˜(D) = µ4−D

d p˜

| |

= µ4−D

a2m−2k+D

zk−m−1− 2 (1

z)m−1+ 2 dz =

µ4−DΩD

2m 2k+D

B k − m −

µ4−DΩD

2m 2k+D

−

m − D2

m + D2

2(2π)D a

−

, m +

2(2π)D a

−

(k)

a2m−2k+D k m

m + D

= µ4−D

− −

(k)

z = a2/(˜p2 + a2)

B(α, β) =

(α) (β)

(α+β)

k − m − D2

Imk(4)

k > m + 2

k 6 m + 2

D < 4

D = 4 − 2ε

k = m + 2

ε → 0

(ε)

(z + 1) = z (z),

γ = − ′(1) ≈ 0.577216

(1 + ε)

(1)

(ε) =

+ ′(1) + O (ε) =

− γ + O (ε) .

ε → 0

I(ε → 0) =

O (ε)

1/ε

O(ε)

(−1 + ε)

(ε)

(1 + ε)

(−1 + ε) =

= −

−1 + ε

ε(1 − ε)

ε → 0

(−1 + ε) = −1ε + γ − 1 + O (ε) ,

k =

m + 32

−

3 − D

+ ε .

ε = 0

−2

= −2√π,

D = 3 ε = 12

D = 3

1/ε
k > 2
ε → 0						ε
(D)		1	1		M2	−
I˜(k−2)k	=			+ 1 − 2γ − ψ(k) − ln
I˜(k−2)k	=	16π2	ε	+ 1 − 2γ − ψ(k) − ln	4πµ2

ψ(x)

ψ(x) = ′(x).(x)

(D)		1	ln	Λ2		1
I˜(k−2)k	=				− γ − ψ(k) −
		16π2		M2		16π2

m = k − 2

1 a2

16π2 ln M2 ,

a2 ln M2 .

1		Λ2	2
	ln		a
ε	ln	M2	a

1ε

1/ε

µ2

→ µ2

4eπγ

(D)

reg

(D)

reg

+ ln

(D)

reg

+ ln

, . . .

I˜02

= −16π2

µ2

, I˜13

= −

16π2

µ2

, I˜24

= −

16π2

µ2

µ = m

(D)

= µ4−D Z

dDp

(p2)m

Imk

(2π)D

(p2 − a2)k

Z ∞ Z i∞ Z ∞

dp0 → dp0 = i dp4, p4 = ip0.

−∞ −i∞ −∞

d4p → i

d4p,˜ p˜ = (ip0, p), p˜2 = −p2.

ε → 0

m > k + 2

lim I

(4−2ε)

Ck−1

m−k+2

= 16π2

)

− ln

4πµ2 +

−

+ 3) +

(2) −

ε→0

m+1(

(

+ 2)

Cnk =

k!(n−k)!

4 D

dDk

4 D

dD−1k

∞ dk0

√

I(m ) = µ −

= µ −

Z−∞

, Ek

+ m

(2π)D

k2 − m2 + i0

(2π)D−1

2π

k02 − Ek2 + i0

∞

dk0

∞

Z−∞

= −i Z−∞

dk0

= −

2π

k02 − Ek2 + i0

2π

k˜02 + Ek2

2Ek

1/(x + i0)

− iπδ(x),

= P

x + i0

∞ dk0

Z−∞

−

Z−∞

δ(k2

−

δ(k0

−

Ek) =

−

2π

k02 − Ek2 + i0

2π

k02

− Ek2

2π

2Ek

= P

iπ

E2) = i

Z dDk 1

(2π)D (k2)δ = 0.

π/2

J1(m2) = µ4−D Z

dDk

, J2(m2) = µ4−D Z

dDk

(2π)D

k2 − m2

(2π)D

k2(k2 − m2)

J2(m2) =

J1(m2) − µ4−D Z

dDk

(2π)D

µ4−D Z

dDk 1

= J1(m2) − m2J2(m2).

(2π)D k2

J1(m2)

J1(m2) =

− ln

+ 1 − γ ,

16π2

4πµ2

x J2(m2)

J2(m2) =

kµPµν

	dDk	1		1			1
µ4−D Z		Z0	dx	1	= µ4−D Z0		dx
µ4−D Z	(2π)D	Z0	dx	(k2 − xm2)2	= µ4−D Z0		dx
				Z	dDk 1	= 0.

					(2π)D k2

	D
Z	dDpSp	kSˆ (p + k)γν S(p)	= Z	dDpSp (S
		Z
		Z

=dDpSp(γνS(p)) − dDpSp(γνS(p + k)) = 0.

i	1		xm2		1
		− ln		− γ =		J1	(m2).
16π2	ε		4πµ2		m2

−1(p + k) − S−1(p))S(p + k)γνS(p) =

	P (0)
		4πi	αµ4−D Z	dDp Sp[γ (ˆp + m)γµ(ˆp + m)]
P (0) =					µ	.
	3			(2π)D	(p2 − m2)2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2018 19 20 > Следующая >>>