ФИАН / Nefedyev_Ktp
.pdf
(−1)
eµ(k, σ) |
eµ(k, σ) |
−iDµν (k)
|
|
|
C |
Aµ(q) |
qµ |
|
|
|
|
|
|
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|
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δ |
|
|
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|
2πδ(Ef − Ei) |
q |
|
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||
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|||
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Sif |
|
|
|
|
T |
iTif |
|
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• |
1/√ |
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|
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|
2E |
|
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|
|
|||
• |
|
|
|
|
d4p/(2π)4 |
|
|||
• |
pout |
|
(2π)4δ(4)(pin − pout) |
pin |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
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|
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δ |
|
|
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δ |
√ |
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1/ 2E |
|
||
|
|
|
|
|
Sif |
|
|
|
iTif |
p3 ↔ p4
iTif = |
u¯(p3)(−ieγµ)u(p1)(−iDµν (p1 |
− p3))¯u(p4)(−ieγν )u(p2) − |
− |
u¯(p4)(−ieγµ)u(p1)(−iDµν (p1 |
− p4))¯u(p3)(−ieγν )u(p2). |
k2 = 0
p1 |
p3 |
p1 − p3
p2 |
p4 |
p1 
p2
q = p1 − p2
u¯(p2)(−ieγµ)u(p1)
u¯(−p+) = u¯c(p+)
u(−p+) = uc(p+)
N = 2
|
N > 3 |
T1 T2 |
T1 |
Z
p1 |
p4 |
p1 − p4
p2 |
p3 |
p−
−p+ 
q = p− + p+
u¯(−p+)(−ieγµ)u(p−) = = u¯c(p+)(−ieγµ)u(p−)
e+e−
N
N = 3
T1 = Sp[γ1S(p12)γ2S(p23) . . . γN S(pN1)]d4p,
p12 = p+k1 p23 = p12 +k2 |
pN1 = p |
N |
Pn=1 kn = 0 |
k1 |
k2 |
|
|
|
|
p12 |
p23 |
k3 |
|
2 |
|
1 |
3 |
|
pN1 |
|
|
kN 
N
|
T1 |
1 = CC† C |
T1 |
T1 = |
Z Sp[(C†γ1C)(C†S(p12)C) . . . (C†γN C)(C†S(pN1)C)]d4p |
Z
= (−1)N Sp[γ1T ST (−p12)γ2T ST (−p23) . . . γNT ST (−pN1)]d4p,
C†γ |
C = γT , C†S(p)C = |
−pˆT + m |
= ST ( p). |
|
p2 − m2 |
||||
µ |
− µ |
− |
T1 = (−1)N T2.
T1 + T2 |
N |
SSif
|fi = Sif |ii,
Y
Nf V d3pn
dwif = |Sif |2 n=1 (2π~)3 ,
V
|
S |
||
|
T |
||
|
1/√ |
|
|
T |
2E |
||
|
|
|
T |
|
S = 1 + iτ |
||
√
1/ 2E i = f
Sif = |
|
|
iTif |
|
(2π)4δ(4) (Pf |
− |
Pi) , |
||
|
|
|
|
||||||
q |
|
|
|||||||
|
|
|
nN=1i (2En0V ) |
mNf=1(2EmV ) |
|
||||
√ |
|
|
|
Q |
Q |
|
|
||
1/ 2EV |
|
|
|
|
|
V |
|
||
δ
(2π)4 |
δ(4) |
(Pf − Pi) |
|
2 |
= (2π)4 |
δ(4) (Pf − Pi) Z |
d4xei(Pf −Pi)x = V t(2π)4δ(4) (Pf − Pi) , |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
1 |
dw |
|
= |
|Tif |2V |
|
dτ |
, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
if |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
QnN=1i (2En0V ) |
|
|
Nf |
|
|
|
|
||||
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Nf |
|
|
d3pn |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
dτNf |
|
= (2π)4δ(4) (Pf − Pi) |
|
|
|
|
|
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(2π)3 |
2En |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
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|
1/k! |
k |
|
|
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|
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|
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|
2π |
|
π |
dΩ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
w = Z0 |
dϕ Z0 |
sin θdθ |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dw |
|
|
|
|
(π2 6 θ 6 π
0 6 θ 6 π
1
2
|Tif |2 → |Tif |2 = 14 X X |Tif (σ1, λ1|σ2, λ2)|2,
σ1σ2 λ1λ2
σ1,2 λ1,2 1 4
X |
3 |
X |
|
|
eµ(p, σ)eν (p, σ) = − eµ(p, σ)eν (p, σ) = −gµν , |
σ=1,2 |
σ=0 |
|
|
a |
M |
|
|
|
|
|
|
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|
|||
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τ |
|
|
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|
|
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|
|
|
~ |
|
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|
|
= |
|
, |
|
|
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|
||
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
= Z |
| |
Ta→12 |
| |
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
dτ2, |
|
|
||||||||
|
|
2M |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
dτ2 = (2π)4δ(4) (P − p1 − p2) |
|
|
d3p1 |
|
|
d3p2 |
, |
|||||||
|
(2π)32E1 (2π)32E2 |
|||||||||||||
Pµ |
|
|
|
Pµ |
|
|
= (M, 0) |
|
|
|||||
|
|
δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
= Z dp20 |
δ(p22 − m22)θ(p20), |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
2E2 |
|
|
|||||||||||
0 6 θ 6 π2
0 6 θ 6 π2
m1 m2
|
|
|
|
d3p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
= d4p2 |
δ(p22 − m22)θ(p20), |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2E2 |
|
|||||||||||||||||
d4p2 |
|
|
|
|
|
|
|
δ(4)(P − p1 − p2) |
θ(p20) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p20 = E2 = M − E1 > 0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 d3p1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
dτ2 = |
|
|
|
|
|
|
|
δ((P − p1)2 − m22). |
|
|||||||||||||
(2π)2 |
2E1 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ |
|
dτ = |
|p1 2d p1|dΩ |
δ E |
M2 + m12 − m22 |
. |
||||||||||||||||||
2 |
|
16|π2|E1M |
1 − |
|
|
2M |
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||
|p1|d|p1| = |
|
|
d|p1|2 |
= |
|
|
d(p12 + m12) = |
|
dE12 = E1dE1, |
|||||||||||||
|
2 |
2 |
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
p1 |
E1 |
||
δ |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
dτ2 = |
|
|
1 |
|p1|dΩ. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
16π2M |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
d = |
1 |
|
|
T |
2 |
|p1| |
dΩ, |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
32π2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| a→12| |
|
M2 |
|
|||||||||||
Ta→12
p1
1 p
|p1| = 2M (M + m1 + m2)(M + m1 − m2)(M − m1 + m2)(M − m1 − m2). a → 1 + 2
M > m1 + m2 M − (m1 + m2) ≡ E M
√
τ2 |p1| E.
λ(x2, y2, z2) = (x2 − y2 − z2)2 − 4y2z2 = [x2 − (y − z)2][x2 − (y + z)2],
|p1| = 2M1 λ1/2(M2, m21, m22),
|
|
|
|
|
|
|
λ1/2(M2, m2 |
, m2) |
|
||||||||||||||
|
|
dτ2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
dΩ, |
|
||||
|
|
|
|
32π2M2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
λ1/2(M2, m2, m2) |
Z |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|Ta→12|2dΩ. |
|
|||||||||
|
|
|
64π2M3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
= |
|
g2 |
λ1/2(M2, m12, m22). |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
16πM3 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
m1 = m2 = m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
λ(M2, m2, m2) = M2(M2 − 4m2), |
|
|||||||||||||||||||||
|
Ta→12 = g = |
|
|
|
|
|
g2 |
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
2 |
|
|
2 |
|
|
|||||||||
|
= 16πM2 |
|
|
|
− 4m . |
|
|||||||||||||||||
{n} |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
1 + 2 → {n} |
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|||
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|
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|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ2V = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
dw = ρ1(v1 |
t)dσ, |
|
|||||||||||||||||
ρ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v1 |
v1 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
dσ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ1v1 |
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j = |
N1 |
= |
ρ1(S · v1 t) |
= ρ1v1, |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
S |
t |
|
|
S t |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
N1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
dσ = |
dw/ |
|
|
t |
, |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ1V = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
= |
v1 |
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V
j = ρ1ρ02v1V,
v1ρ1ρ02
(ρ0)2 = (ρ0)2 − j2 = j02 − j2 = jµ2,
ρ0
|
|
|
|
|
0 |
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 − v |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ρ |
= ρ |
|
|
|
|
= ρ |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
v1ρ1ρ20 = |
|
|
v1 |
|
|
|
|
ρ10ρ20, ρ1 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 − v12 |
|
|
ρ0 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1m2 |
|
|
|
||||||||
|
|
(p1p2) = E1m2 = |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
p1 − v12 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
v1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
v12 |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m1m2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
v1 |
|
= |
|
|
|
(p1p2)2 − m12m22 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
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− |
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||||
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1 |
1 |
2 |
|
p |
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1 |
2 |
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|||||||||||
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m1m2 |
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||||||||||||||||||
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v ρ ρ0 = |
|
(p1p2)2 |
− m12m22 |
ρ0ρ0. |
|||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||
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V ρ1 |
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= V ρ2 |
= 1 |
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j |
|||||||||
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|
p |
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E1E2V |
||||||||||||||
|
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|
E1E2V |
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||||||||||||||||
|
j = |
|
|
|
(p1p2)2 |
− m12m22 |
= |
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I |
|
, |
||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||
q
I = (p1p2)2 − m21m22.
|
p |
E1m2V |
|
E1V |
|
V |
|
j = |
|
E12m22 − m12m22 |
= |
|p1| |
= |
v1 |
. |
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||||
j = 0
p
v1/ 1 − v12
1 + 2 → 3 + 4
|
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p1 |
p3 |
p1 |
p3 |
p1 |
p3 |
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q |
|
q |
|
q |
|
|
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−p2 |
−p4 |
p2 |
p4 |
p2 |
p4 |
p1 = −p2 ≡
p
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I = q(p1p2)2 − m12m22 = |
1 |
λ1/2((p1 + p2)2, m12, m22) = |
(p1 + p2)2|p| = (E1 + E2)|p| |
||||||||||||||||||||
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|
2 |
|||||||||||||||||||||||
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|
p |
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j = E11E2V2 |p| = |
V |
|E1| + |
|E2| = |
1 V |
2 |
, |
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|||||||
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|
E + E |
|
1 |
|
p1 |
p2 |
v + v |
|
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|||
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|
v1 |
|
v2 |
|
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j |
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|
dσ = dw/ |
t |
= |
|T12→{n}|2 dτn, |
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|
|||
|
|
|
|
|
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|
j |
|
|
4E1E2V j |
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1 + 2 → {n} |
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dσ = |
|T12→{n}|2 |
|
dτn = |
|T12→{n}|2 dτn, |
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||||||||
|
|
|
|
|
|
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4p(p1p2)2 − m12m22 |
|
4I |
|
s |
t |
u |
|
|
|
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||||
s |
= |
q2 |
= |
(p |
|
+ p )2 = (p |
|
+ p )2 |
|
|
|
|
|
t = q2 = (p |
1 − |
p |
)2 = (p |
|
− |
p |
)2 |
|||||
|
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|
1 |
22 |
= (p1 |
3 |
42 |
= (p3 − p2) |
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
u = q |
− p4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 + 2 → 3 + 4
1 + 2 → 3 + 4
p1 + p2 = p3 + p4,
p1 p2 p3
p21 p22 p23 p1p2 p1p3 p2p3
1 + 2 → 3 + 4
(p1 + p2 − p3)2 = p24 = m24.
s = (p1 + p2)2
t = (p1 − p3)2
u
s = (p1 + p2)2 = (p3 + p4)2, t = (p1 − p3)2 = (p2 − p4)2, u = (p1 − p4)2 = (p2 − p3)2.
s + t + u = m21 + m22 + m23 + m24,
s t u
CP T
|
p1 → p−, p2 → −p+. |
q2 = (p2 − p1)2 = t |
q2 = (p− + p+)2 = s |
|
s ↔ t |
21 × 21 = 41 |
1 |
|
2 |