1. Определение определенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции (вывод). Достаточное условие существования интеграла.

● Определённым интегралом от функции y=f(x) на отрезке [a, b] называют предел соответствующих интегральных сумм и обозначают: ∫аb f(x)dx

● Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция y=f(x), фигура, ограниченная сверху графиком функции y=f(x), снизу осью Ох, сбоку прямыми х =а, x= b называется криволинейной трапецией.

● Разобьем [a,b] произвольно на части. Обозначим ∆x1, ∆x2

● На каждой части отметим произвольно по точке c1, c2…cn

● Составим сумму:

Sn = f(c1)∆x1+f(c2)∆x2+…+f(cn)∆xn = ∑ n, i=1 f(ci)∆xi

Сумма Sn называется интегральной суммой функции на отрезке [a,b]

Пусть фигура ограничена непрерывными кривыми y=f1(x), y=f2(x), причем f1(x) ≤ f2(x), прямыми x=a, x=b, тогда ее S находится по формуле:

Sф = ∫ab (f2(x) – f1(x))dx

● Функция y=f(x), для которой на отрезке [a, b] существует определенный интеграл ∫f(x)dx называется интегрируемой на этом отрезке.

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то определенный интеграл

∫аb f(x)dx существует.

2. Основные свойства определенного интеграла.

● Функция y = f(x), определенная при х=а, аналогично справедливому равенству 

∫aa f(x)dx=0.

● Для функции, интегрируемой на отрезке [a; b], выполняется условие 

∫ab f(x)dx = −∫ab f(x)dx.

●Применяется для интегрируемых функций типа y= f(x) и y=g(x), определенных на отрезке [a, b]. 

∫ab(f(x)±g(x))dx=∫ab f(x)dx±∫ab g(x).

● Интегрируемая функция из интервала [a, b] с произвольным значением с имеет справедливое неравенство вида

∫ab cf(x)dx = c∫ab f(x)dx.

● Если функция вида y=f(x) интегрируема на интервале x с a ∈x, b∈x получаем ∫ab f(x)dx= ∫ac f(x)dx+∫cb f(x)dx.

● Если на отрезке a, b , где a  b и f x  gx , то

ab f(x)dx ≤ g(x)dx.

● Если m и M – наименьшее и наибольшее значения функции f x на a, b

и a  b, то

mb-a ≤∫fxdx ≤ Mb-a

3. Теорема о среднем значении (вывод, геометрический смысл). Что называется средним значением функции на отрезке?

● Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует хотя бы одна точка c такая, что выполняется равенство ∫f(x)dx = f(c)(b-a)

● Средним значением функции f(x) на отрезке [a,b] называется число:

fср = 1/(b−a) ∫ab f(x) dx

● Геометрический смысл определенного интеграла на отрезке – определённый интеграл от неотрицательной на отрезке [a,b] функции численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и отрезком [a,b] оси абсцисс.

4. Формула Ньютона-Лейбница (вывод).

Если функция y = f(x) непрерывна [a,b] и F(x) – одна из ее первообразных.

Тогда ∫ab f(x)dx = F(x) |ab = F(b) – F(a)

Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

5. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла (знать практически).

6. Несобственные интегралы (определение, геометрический смысл).

7. Функции двух независимых переменных. Основные понятия. График функции двух переменных.

Функцией двух независимых переменных называют правило, которое каждой паре чисел (x, y) из области определения сопоставляет единственное действительное число z. Обозначается: z=f(x, y)

Область определения функции – это множество всех пар (x, y), для которых значение f(x, y) определено. Пример: если f(x,y)=ln(x+y), то область определения — x+y>0.

Область значений функции - это множество всех возможных значений z = f(x, y), при допустимых (x, y).

Графиком функции двух переменных называется множество точек (x,y,z) в пространстве, где пара (x,y) пробегает область определения D, z – соответствующее значение функции.

Значение функции z = f(x, y) в точке М0(x0,y0) обозначают z0 = f(x0,y0) и называют частным значением функции.

8. Частные производные первого порядка и их геометрический смысл. Частные производные высших порядков.

9. Дифференцируемость и полный дифференциал функции двух переменных. Связь полного приращения и полного дифференциала.

10. Производная функции по данному направлению в данной точке. Правило вычисления (вывод). Физический смысл.

11. Градиент функции. Свойства градиента.

12. Экстремум функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума.

13. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной в замкнутой ограниченной области.

14. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

15. Общие сведения о дифференциальных уравнениях (ДУ): определение, порядок ДУ, решение ДУ.

16. ДУ I-го порядка. Теорема Коши для ДУ I-го порядка, ее геометрический смысл.

17. ДУ I-го порядка: 1) с разделяющимися переменными, 2) однородные, 3) линейные, 4) Бернулли.

C РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

ОДНОРОДНЫЕ

ЛИНЕЙНЫЕ

БЕРНУЛЛИ