Ответы на вопросы / Теормех№13
.docxВасечкин Андрей ПТМ-014
1. На какие составляющие движения можно разложить движение свободного тела в общем случае и как они зависят от выбора полюса?
Рассмотрим общий случай движения свободного твердого тела, т.е. тела, имеющего шесть степеней свободы. Покажем, что самое общее движение свободного твердого тела можно представить состоящим из поступательного движения вместе с какой-либо точкой тела и вращательного движения вокруг этой точки.
Положение тела относительно какой-либо системы координат полностью определяется заданием трех точек тела, не лежащих на одной прямой, или заданием треугольника, скрепленного с телом.
Треугольник, а следовательно, и тело, скрепленное с ним, из одного положения I в любое другое положение II можно переместить одним поступательным перемещением вместе с какой-либо точкой тела, когда подвижная система координат перемещается поступательно) и поворотом относительно подвижной системы координат , т.е. вокруг оси, проходящей через эту точку.
Поступательная часть перемещения тела зависит от выбора точки, вместе с которой перемещается тело, а вращательная часть перемещения вокруг оси или вокруг точки не зависит от выбора точки. Поступательную часть перемещения можно поменять местами с вращательной частью, и, наконец, их можно выполнять одновременно, т.е. пока тело совершает поступательное перемещение из одного положения в другое, за это же время можно осуществить и поворот тела вокруг точки на требующийся угол.
Если два положения тела бесконечно близки, то истинное элементарное перемещение свободного твердого тела можно заменить элементарным поступательным перемещением вместе с какой-либо точкой тела и элементарным поворотом вокруг мгновенной оси, проходящей через эту точку, осуществляемыми за то же время, что и истинное перемещение, тела.
Любое движение свободного твердого тела, таким образом, можно заменить совокупностью поступательных движений вместе с какой-либо точкой тела и вращений вокруг этой точки, совершаемых за то же время, что и истинное движение. Поступательное движение вместе с точкой тела и подвижной системой координат является переносным движением, а движение тела относительно этой подвижной системы координат, являющееся в каждый момент времени вращением вокруг своей мгновенной оси, проходящей через эту подвижную точку тела, есть относительное движение.
2. Как определяют скорости точек свободного твердого тела?
Так как движение свободного твердого тела в общем случае можно
Представить,
как сложное движение, то и скорость, и
ускорение какой-либо точки М этого тела
можно вычислить соответственно по
теоремам сложения скоростей и ускорений.
Так, для скорости
точки М
Относительное движение можно вычислить по векторной формуле Эйлера:
где
-
радиус-вектор точки М, проведенный из
точки О;
- угловая скорость вращения тела вокруг
точки О или подвижной мгновенной оси,
проходящей через точку О.
Окончательно для скорости точки М получим следующую формулу:
3. Как связаны между собой скорости точек свободного тела, расположенных на отрезке произвольного направления, и на отрезке, параллельном мгновенной оси?
4. Покажите, что векторы угловой скорости и углового ускорения свободного тела не зависят от выбора полюса.
В
качестве полюса выбираем любую точку
тела. Т. С – полюс , отрезок СД, образует
с осью ОХ угол
. Характеристики поступательной части
движения при этом, очевидно, изменятся,
т к в общем случае
. Характеристики же вращательной части
движения, т е и , остаются неизменными.
В самом деле, проведя из С прямую СВ1
параллельную АВ, мы видим, что в любой момент времени угол ,
Следовательно, вращательная часть движения от выбора полюса не зависит.
5. Как определяют ускорения точек свободного твердого тела?
.
или на основании формулы Ривальса
где
