20. Графы. Способы задания графов. Матрица инцидентности. Матрица смежности.

Граф — это совокупность вершин (узлов) и рёбер (связей между ними). Бывает:

• Неориентированный — рёбра без направления.

• Ориентированный (орграф) — рёбра имеют направление (дуги).

🔸 1. Матрица смежности

• Квадратная матрица n × n (n — число вершин).

• A[i][j] = 1, если есть ребро из i в j; иначе 0.

• В взвешенном графе вместо 1 ставится вес ребра (любое число).

• Для неориентированного графа — матрица симметрична.

✅ Плюсы: быстрая проверка наличия ребра — O(1). ❌ Минус: память O(n²) — плохо при разреженных графах.

🔸 2. Матрица инцидентности

• Матрица n × m (n — вершины, m — рёбра).

• Показывает, инцидентна ли вершина ребру.

Значения:

• Неориентированный граф:

• 1 — вершина принадлежит ребру,

• 0 — не принадлежит.

• Ориентированный граф:

• –1 — вершина — начало дуги,

• +1 — конец дуги,

• 0 — не связана.

✅ Используется в теории потоков, цепей. ❌ Не подходит для хранения весов, память O(n·m).

21. Графы. Обходы графов. Поиск в ширину и глубину.

Обход графа — это процесс систематического посещения всех его вершин и рёбер. Основные стратегии обхода: поиск в ширину (BFS) и поиск в глубину (DFS).

Обход бинарного дерева — это процесс посещения всех его узлов по одному разу в определённом порядке.

Один из главных подходов — это обход в глубину (Depth-First Search, DFS). При таком обходе мы сначала идём как можно глубже по одной ветке, доходим до листа, а потом возвращаемся назад, чтобы исследовать другие ветки.

В бинарных деревьях обход в глубину делится на три основных стратегии, в зависимости от того, в какой момент мы обрабатываем (например, выводим) значение текущего узла:

1. Прямой обход (Pre-order)

Порядок: корень → левое поддерево → правое поддерево. Сначала обрабатываем сам узел, затем рекурсивно обходим левого ребёнка, потом — правого.

Пример: такой обход часто используется для создания копии дерева или вывода структуры (например, в виде префиксной записи выражения).

2. Центральный (симметричный) обход (In-order)

Порядок: левое поддерево → корень → правое поддерево. Сначала идём влево, потом обрабатываем узел, потом — вправо.

В бинарном дереве поиска такой обход выводит все элементы в порядке возрастания — это его главное преимущество

3. Обратный обход (Post-order)

Порядок: левое поддерево → правое поддерево → корень. Сначала полностью обходим левое поддерево, потом правое, и только в самом конце обрабатываем текущий узел.

Такой обход используется, например, при удалении дерева — сначала удаляем детей, потом родителя, чтобы не потерять ссылки.

22. Кратчайшие пути на графах. Алгоритм дейстры

Он работает так:

1. Начинаем с исходной вершины (расстояние до неё — 0, до всех остальных — бесконечность).

2. На каждом шаге выбираем ещё необработанную вершину с наименьшим известным расстоянием.

3. Для всех её соседей проверяем: не короче ли путь до них через текущую вершину — если да, обновляем расстояние и запоминаем, откуда пришли.

4. Вершину помечаем как обработанную — её кратчайший путь теперь точно найден.

5. Повторяем, пока не обработаем все вершины или не найдём путь до нужной.

В конце можно восстановить сам путь, пройдя назад по «откуда пришли» и развернув последовательность.

23. Кратчайшие пути на графах. Алгоритм флойда.

24. Кратчайшие пути на графах. Волновой алгоритм.

25. Задача коммивояжера.

26. Форматы данных XML

Вот несколько известных XML-форматов:

• HTML (в ранних версиях) — хотя сейчас HTML5 уже не строго XML, но XHTML — это валидный XML-формат для веб-страниц.

• RSS / Atom — форматы для лент новостей и блогов. Например, RSS-лента содержит заголовки, описания и ссылки на статьи — всё в XML-тегах.

• SOAP — протокол обмена сообщениями в веб-сервисах, где тело запроса и ответа передаётся в XML.

• SVG (Scalable Vector Graphics) — формат векторной графики, записанный в XML. Например, круг или прямоугольник описываются тегами вроде <circle cx="50" cy="50" r="40"/>.

• MathML — формат для записи математических формул в XML.

• KML (Keyhole Markup Language) — используется в Google Earth для описания географических данных: точек, маршрутов, слоёв.

• Office Open XML (например, .docx, .xlsx) — современные документы Microsoft Office на самом деле представляют собой архивы с XML-файлами внутри.

• XHTML, DocBook, TEI — форматы для структурированных документов (учебники, техническая документация).