Лекции / Лекция 9
.pdf6.7 Уравнение первого закона термодинамики для потока
Если в уравнении первого закона ТД
Q = du + L |
(24) |
явно расписать все виды работ, которые может совершать поток при своем движении, то получим уравнение первого закона термодинамики для потока
Q = du + d(pv) +wdw + gdz + Lтехн + Lтр . (25)
Здесь d(pv) – работа проталкивания, wdw – работа изменения кинетической энергии, gdz – работа изменения потенциальной энергии, Lтехн – техническая работа, Lтр – работа по преодолению силы трения.
Заметим, что уравнение (25) может быть получено при переходе к дифференциалам в уравнении энергии для потока (лекция 8 уравнение (10)).
1
Уравнение первого закона термодинамики для потока
Поясним термин работа проталкивания d(pv)
w |
|
|
F1 |
|
|
F2 |
|
|
|
|
|
p1 |
|
|
|
|
p2 |
|
x |
||
|
|
|
|
w1 |
|
w2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
||||
L1 = –p1F1w1 = –p1v1G, L2 = p2F2w2 = p2v2G , G = const, v = 1/ρ.
L = L1 + L2 = G(p2v2 –p1v1) = G∆(pv),
если G = 1, то L = ∆(pv).
2
Уравнение первого закона термодинамики для потока
dh = du + d(pv), Q = Qвн + Qтр , тогда перепишем (25)
Qвн = dh +wdw + gdz + Lтехн. |
(26) |
Уравнение первого закона для любой ТС |
|
Qвн = dh – vdp . |
(27) |
Уравнения (26) и (27) имеют одинаковый физический смысл, тогда приравняв их правые части, получим
–vdp = wdw + gdz + Lтехн , |
(28) |
–vdp называется полезной или располагаемой работой,
–vdp = pdv – d(pv), - разность работы расширения и проталкивания!
3
6.8 Изменение скорости потока в сужающихся и расширяющихся каналах
Рассмотрим течение газа в сужающихся или расширяющихся каналах. Потенциальная энергия потока в этом случае не изменяется, поток не совершает технической работы. Тогда уравнение (28) примет вид
–vdp = wdw. |
(29) |
Будем рассматривать стационарный поток
G = ρwF = const. |
(30) |
4
Изменение скорости потока в сужающихся и расширяющихся каналах
Преобразуем (29)
wdw = – |
1 |
dp = – a2 |
ρ |
, |
(31) |
|
ρ |
||||
|
ρ |
|
|
||
где a = |
|
– скорость звука. |
ρ |
Прологарифмируем уравнение (30), а затем продифференцируем
lnρ + lnw + lnF = lnG, |
(32) |
||||||
|
ρ |
+ |
|
+ |
|
= 0 . |
(33) |
|
|
|
|
||||
|
ρ |
|
|
|
|||
5
Изменение скорости потока в сужающихся и расширяющихся каналах
Исключая из (31) и (33) |
ρ/ρ можно получить |
|
||||
[(w/a)2 – 1)] |
|
= |
|
, |
(34) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||
(М2 – 1) |
|
= |
|
, |
(35) |
|
|
где М = w/a – число Маха.
Уравнения (35) и (29) позволяют проанализировать как меняются скорость и давление потока в сужающихся и расширяющихся каналах.
6
Изменение скорости потока в сужающихся и расширяющихся каналах
|
(М2 – 1) |
|
= |
|
(35), |
–vdp = wdw (29) |
||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вид канала |
||
|
Вид потока |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сопло |
|
Диффузор |
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
Дозвуковой |
|
|
|
Сужающийся |
Расширяющийся |
||
|
(М < 1) |
|
|
|
(dF< 0) |
|
(dF> 0) |
|
|
– dw ~ dF |
|
|
|
dw > 0, dp < 0 |
dw < 0, dp > 0 |
||
|
Сверхзвуковой |
|
Расширяющийся |
Сужающийся |
||||
|
(М > 1) |
|
|
|
(dF> 0) |
|
(dF< 0) |
|
|
dw ~ dF |
|
|
|
dw > 0, dp < 0 |
dw < 0, dp > 0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7
Изменение скорости потока в сужающихся и расширяющихся каналах
Каналы, в которых осуществляется ускорение потока, называются соплами. Сопла используются, например, в реактивных двигателях для создания высокоскоростной реактивной струи.
Каналы, применяемые для торможения потока, т. е. для преобразования кинетической энергии потока в энергию сжатого газа, носят название диффузоров. Диффузоры используются, например, в радиальных и осевых турбокомпрессорах.
8
6.8 Сопло Лаваля
Перепишем уравнение (35) следующим образом
(М2 – 1) 1 = 1 .
Видно, что при М=1 должно выполняться условие dF =0. Это критическое сечение, в котором в сужающемся канале скорость потока на выходе из канала w становится равной скорости звука при данном давлении в канале а*(p*) – местной скорости звука. Дальнейшее ускорение потока в сужающемся канале – невозможно (Почему?).
Однако, если в критическом сечении w = а* и dF/dx = 0, то dw/dx может быть больше нуля dw/dx>0, т.е. поток сможет ускоряться, если за критическим сечением канал станет расширяющимся (сопло для сверхзвукового потока!). Но в
критическом сечении должно быть dF/dx = 0.
Такой канал был впервые предложен шведским инженером Лавалем в 1889 году в конструкции паровой турбины.
9
Сопло Лаваля
Определим скорость истечения и размеры сопла Лаваля, обеспечивающего расчетный режим при заданном расходе G и условиях истечения p1, T1, p2. Рассматриваемая геометрия сопла определяется радиусами критического и выходного сечения Rк, Rс и углом раскрытия выходного сопла . Угол принимается равным 10 - 120, т.к. при больших углах возможен отрыв потока от стенок сопла, что сопровождается резким возрастанием трения в потоке.
10