Лекции / Лекция 8

6 ТЕРМОДИНАМИКА ПОТОКА

Ранее рассматривались неподвижные ТС, состояние вещества в которых в равновесии определялось совокупностью интенсивных ТД переменных (p,T, v,…).

В случае, когда вещество в ТС перемещается как целое (поток вещества) значения интенсивных термодинамических переменных начинают также зависеть от координаты и времени.

Течение вещества (газ, жидкость) в термодинамике рассматривается как внутренне равновесный процесс, при котором термодинамические параметры любой части потока в каждый момент времени определяются однозначно.

Получим систему уравнений термодинамики потока однофазного вещества в одномерном приближении: поток движется в канале, ориентированном вдоль оси х.

1

ТЕРМОДИНАМИКА ПОТОКА

Введем понятие расхода вещества в канале

G = ρwF, кг/с, F – площадь поперечного сечения канала.

Выделим в канале сечениями с координатами х и х+∆х элементарный объем F∆х и применим к выделенному объему уравнения сохранения массы, импульса и энергии.

x x+∆x

2

ТЕРМОДИНАМИКА ПОТОКА

6.1Уравнение сохранения массы

Вобъеме F∆х содержится масса ρF∆х. Запишем уравнение баланса массы:

В (1) слева – приращение массы в F∆х в единицу времени, справа Gx– втекающий расход через сечение с координатой х, Gx+∆x – расход, вытекающий через сечение х+ ∆х.

Разложим функцию Gx+∆x в ряд и ограничимся первым членом ряда:

3

Уравнение сохранения массы

тогда, подставляя (2) в (1), получим

Если F = const, то

Примечание: если ∂/∂t = 0 (стационарный поток), то G = const.

4

6.2 Уравнение сохранения импульса

(ρF∆х)w – импульс потока в объеме F∆х. Запишем уравнение баланса импульса:

В (5) слева – изменение импульса в F∆х в единицу времени, справа 1) – втекающий поток импульса минус вытекающий, 2) – результирующая сила давления, 3) – внешняя объемная сила, f – плотность объемной силы, Н/м3 (чему равна f для силы тяжести?), 4) – сила трения, τтр– касательное напряжение трения на стенке, Н/м2 , П – периметр канала,

(ρg).

Заменяя в (5) функции с координатой х+∆х их разложением в ряд, получим

5

Уравнение сохранения импульса

Раскрывая производные от произведения функций в левой части и сокращая, получим уравнение сохранения импульса

или в форме 2-го закона Ньютона (fтр= τтрП/F)

6

6.3 Уравнение сохранения энергии

(u + w2/2) – полная энергия 1 массы вещества в потоке,

ρ(u + w2/2)F∆х – полная энергия вещества в объеме F∆х в потоке. Запишем уравнение баланса энергии:

В (9) слева – изменение полной энергии в F∆х в единицу времени, справа 1) – втекающий поток энергии минус вытекающий в 1 времени, 2) – работа сил давления в 1 времени, 3) – работа внешней объемной силы в 1 времени, 4) – работа силы трения в 1 времени, 5) – тепловая энергия, вносимая в F∆х в 1 времени, [q] = Вт/м.

Заменяя в (9) функции с координатой х+∆х их разложением в ряд, получим

7

Уравнение сохранения энергии

Перепишем (10), перенеся влево два первых члена справа, а также заменив члены, выделенные красным,

на qвн = q - qтр :

[ρ(u + w2/2)F] + [ρwF(u + w2/2 + p/ρ)] = f Fw + qвн. (11)

А как учесть qтр ?

8

6.4 Уравнение энтропии

где Qвн = qвнdt/Fρ, Qтр = qтрdt/Fρ .

В системе уравнений (3, 8,11,12) неизвестных 6, а уравнений – 4.

Какими уравнениями можно дополнить систему?

9

6.5 Уравнение состояния

Система уравнений (3, 8,11,12) дополняется уравнением состояния

10