Лекции / Лекция 5

Метод анализа размерностей

Уменьшим число величин основной размерности в (2), заменив Т[K] на θ[Дж/моль], (θ = k·Т )

1.Выпишем размерности величин в (2): p = Н/м2 = кг/(с2м);

V = м3;

θ = Дж/моль = кг м2/(моль с2);

M = кг ;

µ = кг/моль.

2.Определим n = 5, l = 5, k = 4 и s = 0, π = 1.

Т.е., после приведения к безразмерному виду (2) будет содержать один комплекс.

11

Метод анализа размерностей

3. Изменим основные единицы измерения:

длины в Аl раз → м/Аl, массы в Аm раз → кг/Аm,

времени в Аτ раз → с/Аτ, количества вещества в Аµ раз → моль/А µ.

Здесь Аl, Аm, Аτ, Аµ - размерные масштабы

4. Выразим величины, входящие в уравнение (2), в новых единицах измерения:

p = кг* /(с*2м*) = кг/(с2м) · Аτ2Аl/Аm, тогда кг/(с2м) = p· Аm /Аτ2Аl, т.е. чтобы выразить давление в новых единицах p надо умножить на Аm /Аτ2Аl.

12

Метод анализа размерностей

Действуя подобным образом, выразим связь остальных величин в старых и новых единицах измерения:

м3 = V· Аl3 ,

кг м2/(моль с2) = θ· АmАl2 /Аµ Аτ2, кг = M · Аm ,

кг/моль = µ · Аm/Аµ.

13

Метод анализа размерностей

5. Запишем уравнение (2) с величинами в новых единицах измерения. Оно будет иметь тот же вид, так как явление, которое оно описывает, не зависит от выбора масштаба измерения величин:

f(p·Аm /Аτ2Аl, V·Аl3, θ· АmАl2 /Аτ2 Аµ, M· Аm, µ· Аm/Аµ) = 0 . (3)

При соответствующем выборе размерных множителей Аl, Аm, Аτ, Аµ уравнение (3) может быть приведено к безразмерному виду и, согласно π -теоремы, оно будет содержать только один комплекс.

Остальные безразмерные величины могут иметь произвольное численное значение, положим их равными 1.

В результате получим систему из четырех уравнений для определения размерных множителей Аl, Аm, Аτ, Аµ.

14

Метод анализа размерностей

Задание: Получите аналитическую форму уравнения (3).

Комментарий: π-теорема не дает рекомендаций по выбору значимого безразмерного комплекса в уравнении (3). Это задача исследователя:

f(p·Аm /Аτ2Аl, V·Аl3, θ· АmАl2 /Аτ2 Аµ, M· Аm, µ· Аm/Аµ) = 0

Какой безразмерный комплекс является значимым?

15

Метод анализа размерностей

f(p·Аm /Аτ2Аl, V·Аl3, θ· АmАl2 /Аτ2 Аµ, M· Аm, µ· Аm/Аµ) = 0 (4)

Решая систему уравнений

p·Аm /Аτ2Аl = 1, V·Аl3 = 1,

M· Аm = 1, µ· Аm/Аµ = 1,

Получим

Аm = 1 /М,

Аµ = µ/М ,

Аl = 1/ V1/3 ,

Аτ2 = p· V1/3 /М

16

Метод анализа размерностей

θ· М /(µ pV) = С – корень уравнения (5).

Заменяя θ на k·Т и, обозначая С/ k как 1/ R, получим уравнение, описывающее состояние одноатомного газа при нормальных условиях

pV = М /µ ·RТ

или для 1 моля

pv = ·RТ

17

3.4.2 Метод подобия

Метод подобия применяется для распространения результатов исследования одного процесса на множество ему подобных. В том числе для получения единых обобщенных зависимостей, описывающих теплофизические свойства определенного класса веществ.

Сущность метода подобия заключается в установлении безразмерных критериев, исходя из уравнений, в отличие метода анализа размерностей, к которому прибегают, когда уравнения неизвестны.

Прямая теорема подобия. Если физические процессы подобны друг другу, то их одноименные критерии подобия имеют попарно одинаковые значения, а сами процессы описываются одним и тем же уравнением подобия.

Обратная теорема подобия. Чтобы физические процессы были подобны друг другу, достаточно чтобы они были

качественно одинаковые, а их одноименные критерии подобия имели попарно одинаковые значения.

18

Метод подобия

Для установления безразмерных критериев подобия необходимо определить характерные

масштабы, свойственные данному процессу.

Например, любое физическое свойство вещества представляют собой следствие молекулярной динамики, межмолекулярных взаимодействий и структуры вещества. Естественными мерами, или масштабами, этих явлений служат масса молекул, средняя энергия межмолекулярных взаимодействий и среднее расстояние между молекулами.

При описании термодинамических свойств жидкостей и реальных газов наиболее характерным их соответственным состоянием является критическое состояние вещества, которое определяется набором критических параметров: температурой Tk , плотностью k (или удельным объемом vk = 1/ k) и давлением pk.

19

Метод подобия

Пример: Преобразуем уравнение состояния реального газа в безразмерную форму. Уравнение Боголюбова-Майера:

Используем в качестве характерных масштабов переменных (T, v, p) их значения в критической точке

Tk,vk pk и перейдем к безразмерным переменным:

T/Tk = , v/vk = , p/pk = .

Витоге уравнение состояния (4) преобразуется

кбезразмерной форме

20