Лекции / Лекция 5
.pdf
3 МЕТОДЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
3.3 Метод определителей Якоби
Решение термодинамических задач, связанное с использованием производных от термодинамических функций, упрощается, если использовать свойства определителей Якоби второго порядка.
Определитель Якоби второго порядка – это определитель составленный из частных производных функций Y1(x1,x2) и Y2(x1,x2) по переменным x1 и x2:
J(Y ,Y ) = |
|
, |
= |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
2 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1
Метод определителей Якоби
Свойства определителей Якоби:
1) |
|
|
1,2 |
= |
|
|
1 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1,2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2) |
|
|
1,2 |
= - |
|
|
1,2 |
|
, |
|
|
1,2 |
= - |
|
|
2,1 |
; |
|
||||||||||||
|
|
1,2 |
|
|
2,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
1,2 |
|||||||||||||||
3) |
|
|
1,2 |
, |
|
|
1,2 |
· |
|
|
1,2 |
= |
|
1,2 |
· |
|
1,2 |
; |
||||||||||||
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
1,2 |
|
1,2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
||||||||||||||||
|
|
1,2 |
|
|
|
1,2 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4) |
|
= |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
, |
2 |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 1: Используя свойства определителей Якоби, получить дифференциальное уравнение состояние, если имеется f(p,v,T)= 0.
2
Метод определителей Якоби
Пример 2: Если заданы таблицы термодинамических функций v = v(p,T) и s = s(p,T), то можно определить производные
|
|
, |
|
|
, |
|
|
и |
|
|
и, соответственно, J(v,s) = |
|
, |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
Использую свойства определителей Якоби получить четыре эквивалентные выражения для определителя Якоби для переменных (p,s), (T,s), (p,v), (v,T), которые необходимы для вычисления производных по направлениям v = Const (изохоры) и s = Const (адиабаты):
|
|
, |
|
, |
|
|
, |
v |
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3
3.4 Термодинамическое подобие. Методы анализа размерностей и подобия
3.4.1 Метод анализа размерностей
Под анализом размерностей понимают использование размерностей физических величин для вывода формул и уравнений.
Размерная физическая величина – это величина, численное значение которой зависит от выбора размерностей физических величин, положенных в основу системы измерений.
Безразмерная физическая величина – это величина, численное значение которой не зависит от выбора размерностей физических величин, положенных в основу системы измерений.
Размерность физической величины отражает ее связь с величинами, положенными в основу системы измерений. В международной системе измерений (SI) СИ в основу положено 7 величин.
4
3.4 Термодинамическое подобие. Методы анализа размерностей и подобия
3.4.1Метод анализа размерностей
Вмеждународной системе измерений (SI) СИ в основу положено 7 величин: м, кг, с, К, моль, А, кд. Размерность физической величины отражает ее связь с величинами, положенными в основу системы измерений.
5
Метод анализа размерностей
Явления природы не зависят от масштаба величин, положенных в основу системы измерений. Это требование будет выполнено, если привести уравнения к безразмерному виду.
а) Уравнения в безразмерном виде содержат меньшее число определяющих параметров.
б) Обладают свойством описывать совокупность подобных друг другу явлений.
6
Метод анализа размерностей
Величины, имеющие одинаковый физический смысл и одинаковую размерность называются однородными.
Симплекс (s) – безразмерное отношение двух однородных величин.
Комплекс (π) – безразмерное отношение нескольких размерных величин.
7
Метод анализа размерностей
Практическое применение метода анализа размерностей основывается на использовании
π -теоремы:
Если физическое уравнение
f(x1, x2,…. xn) = 0
содержит n физических величин, l – групп однородных по размерности физических величин и k – величин основной размерности, то после приведения к безразмерному виду
F(s1,…sn-l, π 1,… π l-k) = 0,
оно будет содержать n-l симплексов и l-k
комплексов.
8
Метод анализа размерностей
Пример. В эксперименте по исследованию свойств одноатомных газов при нормальных условиях была установлена функциональная взаимосвязь следующих параметров:
f(p,V,T) = 0. |
(1) |
Пошагово реализуем метод анализа размерностей с использованием π-теоремы:
1.Выпишем размерности величин в (1): p = Па = Н/м2 = кг/(с2м);
V = м3; T = К;
2.Определим n = 3, l = 3, k = 4 и s = 0, π = -1?
Вывод – учтены не все определяющие параметры!
9
Метод анализа размерностей
f(p,V,Т,M,µ) = 0 . |
(2) |
1.Выпишем размерности величин в (2): p = Н/м2 = кг/(с2м);
V = м3; Т = К; M = кг ;
µ = кг/моль.
2.Определим n = 5, l = 5, k = 5 и
s = n-l = 0, π = l-k = 0?
10