Решение уравнения диффузии в конечной среде на примере
математического обоснования экспоненциального эксперимента.
z |
Z( |
Сечение по оси z |
b |
z) |
|
|
|
|
|
S |
x |
|
0 |
|
|
-a/ |
|
a/ |
|
2 |
|
|
2 |
Курс: Теория переноса нейтронов |
61 |
© НИЯУ МИФИ, Москва, Российская Федерация |
|
Решение уравнения диффузии в конечной среде на примере
математического обоснования экспоненциального эксперимента.
|
|
|
( , , )= cos |
|
cos |
|
exp − |
|
Сечение по оси z в |
|
|
|
|
|
|
логарифмическом |
|||||
|
|
|
lnФ |
=ln − |
|
|
||||
|
|
|
Ф |
|
|
у |
|
масштабе |
||
|
Ф |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
= Δz |
2= 12−222−1 |
|
|
|
|
|
Z(z)=C1 exp - z C2 exp z |
||
b
Курс: Теория переноса нейтронов |
62 |
© НИЯУ МИФИ, Москва, Российская Федерация |
|
Критический реактор - баланс деления, поглощения и утечки – это условие критичности
Прибыль Потеря
Генерация |
Поглощение |
за счет |
|
деления Утечка
Условие
критичности
реактора
Утечка |
Поглощение |
|
|
|
Генерация за |
0 |
|
|
|
счет реакции |
|||
|
|
|||||
|
|
|
||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
деления |
|
63
Решение уравнения диффузии в размножающей среде
Решение уравнения диффузии в размножающей области, присутствует |
|||||||
внутренний источник нейтронов- ядерная реакция деления ядра. |
Экстрапол. |
||||||
|
|
|
|
|
|
||
Задача: Найти поток |
|
|
граница |
||||
среда |
среда |
aэ a |
|||||
нейтронов в пластине |
|||||||
|
|
|
|||||
толщиной а |
|
|
f f (x) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
f f a |
вакуум |
|
вакуум |
||||
|
|
|
|||||
(x) |
|
|
(x) 0 |
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
x
0
(x) L12 (x) D1 f f (x) 0
Курс: Теория переноса нейтронов |
64 |
© НИЯУ МИФИ, Москва, Российская Федерация |
|
Получается дифференциальное уравнение второго порядка + граничные условия – все это позволяет найти решение
f f a |
|
|||
(r) |
|
|
(r) 0 |
|
D |
||||
|
|
|
||
Утечка |
Поглощение |
|
||
Генерация за счет деления
65
Решение уравнения диффузии в размножающей среде
Представим, что среда бесконечная, то есть a → ∞. Так как среда однородная, то решение будет константа
|
f f a |
(x) 0 |
||
|
|
|
|
|
|
D |
|||
|
|
|
|
|
Для нетривиального решения необходимо, чтобы:
f f a |
|
|
|
|
|
|
f |
|
f |
|
|
или K |
|
|
1 |
||
|
a |
|
|||
|
|
|
|
||
K∞ - эффективный коэффициент размножения в бесконечной среде.
Если среда конечная, то присутствует утечка нейтронов в вакуум, для
еекомпенсации должно быть
f f a
Курс: Теория переноса нейтронов |
66 |
© НИЯУ МИФИ, Москва, Российская Федерация |
|
Решение уравнения диффузии в размножающей среде
Тогда в уравнении:
f f a |
|
f f a |
0 |
|||||
(x) |
|
|
(x) 0; |
|
|
|
||
D |
D |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
(x) B2 (x) 0
Решение этого уравнения будет комбинация косинуса и синуса:
(x) C1 cos(B x) C2 |
sin(B x) |
|
|
Из условия симметрии, С2 = 0. |
|
||
Из условия на границе среда-вакуум: |
|
||
(aэ ) C1 cos(B aэ ) 0. |
|
||
B aэ |
-a/2 |
a/2 |
|
2 |
2 |
|
|
Курс: Теория переноса нейтронов |
67 |
© НИЯУ МИФИ, Москва, Российская Федерация |
|
Решение уравнения диффузии в размножающей среде
Получается: B aэ
|
|
f |
|
f |
|
a |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
aэ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2
Это, так называемое, формула равенства материального и геометрического параметра среды, если соотношение выполняется, то реактор критичен
-a/2 |
a/2 |
Курс: Теория переноса нейтронов |
68 |
© НИЯУ МИФИ, Москва, Российская Федерация |
|
Решение уравнения диффузии в размножающей среде
z
Пример:
Реактор в виде куба со стороной а = 80 см.
Реактор однородный, параметры среды:
f f 0.242 см 1;
a |
D 1 см. |
|
0
y Найти, чему должно быть равно сечение
x поглощение, то есть a , чтобы реактор был критичен?
Курс: Теория переноса нейтронов |
69 |
© НИЯУ МИФИ, Москва, Российская Федерация |
|
Решение уравнения диффузии в размножающей среде
z |
Решение. |
|
|
|
|
Уравнение диффузии в данной среде: |
|||
|
f f a |
|
||
|
x, y,z (x, y, z) |
|
|
(x, y, z) 0 |
|
D |
|||
|
|
|
|
|
a |
(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z). |
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
X (x) |
|
Y ( y) |
|
Z (z) |
f f a |
3 B2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y |
X (x) |
Y ( y) |
Z (z) |
D |
||||||
|
|
|
|
|
||||||
x |
Таким образом: X (x) C sin(B x); |
|
||||||||
|
|
|
|
|
Y ( y) C sin(B y); |
|
||||
|
|
|
|
|
Z (z) C sin(B z). |
|
||||
Курс: Теория переноса нейтронов |
70 |
© НИЯУ МИФИ, Москва, Российская Федерация |
|