5. Диффузия нейтронов. Характерные задачи стационарной теории
диффузии моноэнергетических нейтронов.
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(x) |
S |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
(1) Написать уравнение диффузии в данной среде (x) |
D |
||||||||||||||||||
(x>0) |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
L |
|
|
||||||
(x) C e |
|
C |
e |
|
|
S |
|
|
|
|
|
||||||||
L |
L |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
||
(2) Написать общее решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Общ. однр. |
|
|
|
|
Частн. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
неоднр. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
(aэ ) 0. |
|
|
|
|
|||||||||
(3) Написать условия однозначного |
|
|
|
(x 0) 0. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
выбора решения уравнения диффузии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
S |
|
|
cosh |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
L |
|
|
|
|
||||||||||||
(x) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
aэ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(4) Полученное решение |
|
|
|
cosh |
|
L |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Курс: Теория переноса нейтронов |
51 |
© НИЯУ МИФИ, Москва, Российская Федерация |
|
5. Диффузия нейтронов. Характерные задачи стационарной теории
диффузии моноэнергетических нейтронов.
Полученное решение
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
S |
|
|
cosh |
|
|
|
|
|
|
|||||
(x) |
|
1 |
|
L |
|
||
|
|
|
|
||||
a |
aэ |
||||||
|
|
|
|
cosh |
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
||
Вопрос: Как изменится распределение функции потока нейтронов, если мы будем увеличивать размер
пластины (а), то есть a >> L ? - a
э
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
a |
|
aэ |
|||
|
|
|
cosh |
|
|
|
|
|
|
L |
|
a
э
Курс: Теория переноса нейтронов |
52 |
© НИЯУ МИФИ, Москва, Российская Федерация |
|
Раздел 1. Характерные задачи стационарной теории диффузии
моноэнергетических нейтронов.
Полученное решение
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||
|
S |
|
|
cosh |
|
|
|
|
|
||
|
|
L |
|
||||||||
(x) |
|
1 |
|
|
|
, |
|||||
|
aэ |
|
|
||||||||
a |
|
||||||||||
|
|
|
|
cosh |
L |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
при aэ |
(x) |
S |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|||
Для закрепления материала: попробуйте нарисовать приблизительно
как ведутi себя(x); iфункции(x); i (x).
n n n
S
a
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a |
aэ |
|||||
|
|
|
cosh |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
L |
||
-
a
э
a
э
Курс: Теория переноса нейтронов |
53 |
© НИЯУ МИФИ, Москва, Российская Федерация |
|
Содержание лекции:
1.Экспоненциальный опыт
2.Размножающая среда
Решение уравнения диффузии в конечной среде на примере математического обоснования экспоненциального эксперимента.
Если на тонкую пластину падает пучок нейтронов интенсивностью I0 [н/(см2с)], а после |
||||
прохождения пластины интенсивность пучка равна |
I( x), то I( x) = Io exp - tot x , откуда |
|||
можно определить tot - x ln |
Io |
и рассчитать коэффициент диффузии D = 3 tot . |
||
1 |
I( x) |
|
1 |
|
I0
I( x)
Рис.10Схемаэкспериментапоопределению
полногомакроскопическогосечения взаимодействиянейтроноввсреде.
x Вподобных
Схема эксперимента по определению полного макроскопического сечения
взаимодействия нейтронов в среде.
Курс: Теория переноса нейтронов |
55 |
© НИЯУ МИФИ, Москва, Российская Федерация |
|
Решение уравнения диффузии в конечной среде на примере
математического обоснования экспоненциального эксперимента.
|
|
|
|
|
Уравнение диффузии нейтронов в призме имеет вид: |
||||||||||||||||
d2 |
|
|
|
|
d2 |
|
|
|
|
d2 |
|
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x, y,z) - |
|
(x,y,z) = 0 |
|
|||
|
|
2 |
|
dy |
2 |
|
|
dz |
2 |
2 |
|
||||||||||
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|||||||
( a |
,y,z) 0 |
, |
(x, a ,z) 0, (x, у,в) 0. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
X''(x) |
|
Y''(y) |
Z''(z) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X(x) |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Y(y) |
Z (z) |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Условия симметрии |
Граничные условия |
||||||||||||||||||
|
|
X(-x)=X(x),Y(-y)=Y(y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X( a) 0, |
Y(2a)0. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
a |
a |
|
Z |
||
|
||
b |
|
|
|
Y |
|
X |
|
Схема установки экспоненциального эксперимента
Курс: Теория переноса нейтронов |
56 |
© НИЯУ МИФИ, Москва, Российская Федерация |
|
Решение уравнения Лапласа.
Симметрия задачи |
Плоская |
Цилиндрическая |
|
|
|
|
1 d |
|
d ( ) |
|
||||
|
2 |
(x) |
2 (x) 0 |
|
|
|
|
d |
|
||
|
|
|
|||||||||
Уравнение Лапласа |
d |
d |
|
|
|
||||||
|
dx2 |
|
2 ( ) 0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
2 |
(x) C1 exp( x) |
( ) C1 I0 ( ) |
|
C2 exp( x) |
C2 K0 ( ) |
|||
|
|
Вид решения
2 |
2 |
(x) C1 sin( x) |
( ) C1 J0 ( ) |
|
C2 cos( x) |
C2 N0 ( ) |
|||
|
|
Сферическая
1 |
|
d |
2 |
d (r) |
|
|||
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
r |
2 |
|
|
dr |
||||
|
|
dr |
|
|
|
|||
2 (r) 0
(r) C exp( r) |
|||||
|
|
1 |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
C2 |
exp( r) |
|
|||
|
|
|
r |
|
|
|
(r) C sin( r) |
||||
|
|
|
1 |
|
r |
|
|
cos( r) |
|||
|
C2 |
|
|||
|
|
|
r |
|
|
Курс: Теория переноса нейтронов |
57 |
© НИЯУ МИФИ, Москва, Российская Федерация |
|
Решение уравнения диффузии в конечной среде на примере
математического обоснования экспоненциального эксперимента.
уравненияXX(x)''(x) 2 |
|
|
|
|
X(x)=C1exp Lx C2exp-Lx |
, |
|
|
|
|
|
|||||||
X''(x) |
- 2 |
|
|
|
|
X(x)=Acos x Bsin x , |
|
|
|
|
|
|
||||||
X(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
cos |
a |
|
0 |
|
|
|
a |
|
|
; |
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
() |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
a |
|||
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
2 |
2 |
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||
|
() |
= 2 |
|
|
|
|
|
|
L |
a |
|
-1 |
|
|
|
|||
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Z(z)=C1 exp - |
z |
|
C2 exp |
z |
|
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
Не удовлетворяет условию симметрии потока 
z
b
x
-a/2 0 a/2
Курс: Теория переноса нейтронов |
58 |
© НИЯУ МИФИ, Москва, Российская Федерация |
|
Раздел 3. Решение уравнения диффузии в конечной среде на примере
математического обоснования экспоненциального эксперимента.
Численный эксперимент:
Среда: D=0.1 см; L=20 см; а=50 см; b=100 см;
z |
Внешний источник S=105 |
н/с. |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
S |
x |
|
0 |
|
|
-a/ |
|
a/ |
|
2 |
|
|
2 |
Курс: Теория переноса нейтронов |
59 |
© НИЯУ МИФИ, Москва, Российская Федерация |
|
Решение уравнения диффузии в конечной среде на примере
математического обоснования экспоненциального эксперимента.
zСечение по оси х b
|
|
|
(3) z=30 см |
|
|
|
(2) z=20 см |
|
|
S |
(1) z=15 |
|
|
смx |
|
|
|
|
|
-a/ |
0 |
|
a/ |
2 |
|
|
2 |
(1) z=15 см
(2) z=20 см
(3) z=30 см
Курс: Теория переноса нейтронов |
60 |
© НИЯУ МИФИ, Москва, Российская Федерация |
|