3. Диффузия нейтронов. Закон Фика
?
i(r,t) ....... (r,t)
Курс: Теория переноса нейтронов |
11 |
© НИЯУ МИФИ, Москва, Российская Федерация |
|
1. Диффузия нейтронов. Закон Фика
z
Представление элементарного объема в сферических координатах:
dr |
rdθ |
r |
2 |
ssinn |
d d dr |
|
|
||||
|
|
dV = |
|
d d dr |
|
|
r |
d |
|
|
|
r |
ssinnθdψ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θ |
|
x = r sin cos ; |
|||
dθ |
|
||||
|
y = r sin sin ; |
||||
|
|
z = r cos |
|
|
|
|
y |
dψ |
|
x
rssinθdψd
Курс: Теория переноса нейтронов |
12 |
© НИЯУ МИФИ, Москва, Российская Федерация |
|
1. Диффузия нейтронов. Закон Фика
Рассмотрим большую среду
Рассчитаем количество нейтронов, которое за единицу времени пересекаю площадку dS в направлении из верхней полусферы в нижнюю:
i-z (0) dS
Верхняя полусфера: 0 r
0 2
0 2
in
dS
in
Курс: Теория переноса нейтронов |
13 |
© НИЯУ МИФИ, Москва, Российская Федерация |
|
1.Диффузия нейтронов. Закон Фика
(1)Число актов рассеяния в единицу времени в dV:
dS cos 4 r2
dS
|
(2) |
Число нейтронов полетевших в |
|
|
направлении площадки dS в |
|
|
предположении изотропии |
|
|
рассеяния: dS cos |
|
|
4 r2 |
|
(3) |
Число нейтронов долетевших до |
|
|
dS без столкновений с ядрами |
|
|
среды: |
|
(4) |
Число нейтронов из dV, которые |
|
|
пересекают в единицу времени |
dS:
dV =r2 sinqdqdjdr
Курс: Теория переноса нейтронов |
14 |
© НИЯУ МИФИ, Москва, Российская Федерация |
|
1. Диффузия нейтронов. Закон Фика
Предположим, что для рассматриваемой области справедливы следующие утверждения:
1.эта область находится далеко (более 2-3 длин свободного
пробега нейтрона) от локальных неоднородностей
(локализованные источники нейтронов, граница среда-вакуум, граница раздела двух сред с разными свойствами).
2. в этой области слабое поглощение нейтронов ( |
то есть |
) tot s |
s a |
|
3.сечение рассеяния в этой области не зависит от пространственной координаты.
Курс: Теория переноса нейтронов |
15 |
© НИЯУ МИФИ, Москва, Российская Федерация |
|
1. Диффузия нейтронов. Закон Фика
|
s |
|
2 |
|
|
|
2 |
||||
i-z (0)= |
dr d d (r) exp - s r cos sin |
||||
4 |
|||||
|
0 |
0 |
0 |
||
Разложение в ряд Тейлора до первого члена:
|
|
|
|
|
|
|
(r) (0)+ |
x |
(0) x+ |
y |
(0) y+ |
z |
(0) z |
x = r sin cos ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
y = r sin sin ; |
(0) x+ |
(0) y+ |
(0) z |
|||||
(r) (0)+ |
x |
y |
z |
|||||
|
|
|
|
|
z = r cos
|
s |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
i-z (0)= |
4 |
(0) |
dr |
d |
d exp{- totr} cos sin + |
|||||||
|
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|||
|
|
s |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
+ |
|
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
r cos exp{- totr} cos sin |
||||||
|
4 |
z |
(0) |
|
dr |
d |
d |
|||||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|||
Курс: Теория переноса нейтронов |
16 |
© НИЯУ МИФИ, Москва, Российская Федерация |
|
1. Диффузия нейтронов. Закон Фика
i-z (0)= |
|
|
1 |
|
(0)+ |
|
1 |
|
|
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 |
|
6 tot z |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
iz (0)= |
|
|
1 |
|
(0)- |
|
1 |
|
|
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 |
|
|
6 tot z |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
iz (0)=- |
|
|
1 |
(0); |
|
ix (0)=- |
1 |
(0); |
iy (0)=- |
1 |
(0). |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3 tot z |
|
3 tot x |
3 tot y |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Таким образом, получаем выражение для закона 
Фика, который является основой диффузионного 
приближения 
Курс: Теория переноса нейтронов |
17 |
© НИЯУ МИФИ, Москва, Российская Федерация |
|
1. Диффузия нейтронов. Закон Фика
Выражения для односторонних токов в диффузионном приближении:
|
- |
|
1 |
|
D(r) |
|
|
|
|
|
in (r,t) |
= |
|
(r, t) + |
|
|
n (r, t) |
|
|
|
4 |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
+ |
|
1 |
|
D(r) |
|
|
|
|
|
in (r,t) |
= |
|
(r, t) - |
|
|
n (r, t) |
|
|
|
4 |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Закон Фика справедлив для: |
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
больших сред(размер среды много больше длины свободного пробега нейтрона в |
||||||||
|
среде) |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
слабопоглощающих сред, |
|
|
|
|
|
|
||
3. |
состоящих из тяжелых (атомная масся больше 10а.е.м.) ядер, |
||||||||
4. |
далеко (более 3-х длин свободного пробега нейтрона в среде) от локальных |
||||||||
|
неоднородностей |
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
и в случае, если макроскопическое сечение рассеяния слабо зависит от |
||||||||
|
пространственной переменной |
|
|
1 |
|
tot |
|||
Одним из существенных |
|
|
D |
|
|
||||
предположений является |
|
|
3 tot |
3 |
|||||
изотропия рассеяния |
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
Курс: Теория переноса нейтронов |
|
|
|
|
|
|
|
||
© НИЯУ МИФИ, Москва, Российская Федерация
2. Диффузия нейтронов. Уравнение диффузии
моноэнергетических нейтронов
Подставив закон Фика в уравнение баланса скоростей процессов:
|
|
|
|
1 (r, t) |
||
divD(r) (r, t) - a (r) (r, t) + f f (r) (r, t) +S(r, t) = |
|
|
||||
V t |
||||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Перепишем последнее уравнение в виде:
|
1 |
|
1 |
|
|
(r) - |
|
(r) + |
|
S(r) |
= 0. |
2 |
D |
||||
|
L |
|
|
|
|
ивведем новое обозначение: L2 D [см2] – квадрат длины диффузии
a
Курс: Теория переноса нейтронов |
19 |
© НИЯУ МИФИ, Москва, Российская Федерация |
|
Содержание лекции:
1.Транспортная коррекция коэффициента диффузии
2.Условия выбора однозначного решения уравнения диффузии