Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Институт ядерной физики и технологий

Конспект лекции №8

Диффузионное приближение в теории переноса нейтронов

Преподаватель: Волков Ю.Н. Группа: ТПН Дата: 03.10.2025

Москва, 2025

Содержание

1

1Введение в диффузионное приближение

[00:03] В предыдущей лекции было рассмотрено балансное уравнение, уравнение Больцмана и уравнение в интегральной форме. В общем виде было представлено уравнение переноса излучения и, в частности, нейтронного излучения.

[04:39] Сегодня мы рассмотрим диффузионное приближение - один из вариантов упрощения общего уравнения Больцмана, которое позволяет получить аналитическое решение. Уравнение Больцмана в чистом виде аналитически в общем случае нерешаемо, так же как и уравнение Навье-Стокса в гидродинамике. Существует множество подходов для сведения нерешаемого уравнения Больцмана к более решаемым формам.

[05:16] Диффузионное приближение - это одно из самых простых приближений, которое позволяет свести уравнение к аналитически решаемому в определённых условиях, и численно решаемому во всех остальных случаях.

[05:42] Сегодняшняя лекция посвящена введению в диффузионное приближение. Диффузионное приближение основано на том, что взаимодействие нейтронного поля с ядрами среды подчиняется примерно тем же законам, что и распределение молекул газа в термодинамике или молекул химических веществ в химии.

[06:54] Мы рассмотрим, какие приближения необходимо сделать для того, чтобы это работало, и выведем закон Фика. Закон Фика универсален в том плане, что он формулируется для уравнения диффузии и в термодинамике, и в химии. Однако следует отметить, что закон Фика для нейтронной диффузии и закон Фика для химической диффузии имеют лишь аналогичную форму, но разную физическую природу.

[07:26] Название "резонансы"в сечениях также используется по аналогии с механическими волнами, хотя физически это разные явления. Точно так же закон Фика для нейтронной диффузии работает по аналогии с диффузией в других областях физики. Нейтроны не образуют газ в среде, но процесс распределения нейтронного поля похож на распределение молекул газа.

[07:57] Суть диффузии заключается в том, что частицы перераспределяются в среде из области с высокой плотностью в область с низкой плотностью. Мы можем оперировать связкой векторного тока частиц и скалярного потока частиц.

[08:27] Связь между векторным током и скалярным потоком описывается законом Фика, который мы сегодня выведем.

2Основные приближения диффузионной теории

[08:36] Для начала мы рассмотрим самый простой вариант диффузии - моноэнергетическую диффузию. Мы делаем предположение, что не рассматриваем зависимость нейтронов от энергии, не рассматриваем изменение нейтронного поля при взаимодействии нейтронов с ядрами, которые приводят к изменению энергии нейтрона, и оперируем только средними характеристиками для среды.

[09:15] Мы предполагаем, что у нас есть стационарная среда, в которой за короткий промежуток времени не меняются её свойства. Соответственно, мы можем описывать нейтронное поле в этой среде по свойству средней энергии спектра нейтронов.

[09:49] Спектр нейтронов описывает распределение вероятности нейтрона иметь соответствующую энергию. Спектр зависит от состава среды и полностью им определяется. Если среда во времени не изменяется, то спектр остаётся постоянным, и мы можем описать распределение нейтронного поля, оперируя средней энергией.

[10:19] Для одного нейтрона такое приближение в корне неверно. Но если мы оперируем большим количеством нейтронов (порядка 1013 в единицу времени и более), то на уровне статистики наше решение получится верным с погрешностью 10-20%.

2

[10:47] Таким образом, мы оперируем моноэнергетическими нейтронами. Мы не рассматриваем изменение энергии нейтрона при взаимодействии с ядрами. Предполагаем, что энергия не меняется, что нейтрон сразу рождается со средней энергией спектра, и во всех остальных взаимодействиях эта средняя энергия сохраняется. Все сечения мы считаем тоже от этой средней энергии.

[11:17] В более сложном варианте диффузии мы можем добавить зависимость от энергии или разбить на несколько моноэнергетических областей с условиями сшивки между ними.

[11:48] Сейчас же мы будем рассматривать только зависимость от пространственных координат. Мы хотим получить распределение потока нейтронов по пространству в разных геометриях и из разных материалов.

[12:19] Рассмотрим условия, при которых такое приближение может выполняться:

1.Источник нейтронов моноэнергетический и изотропный (равновероятное вылетание нейтронов в любом направлении).

2.Происходит рассеяние только на тяжёлых ядрах (массовое число A > 10) или ядрах, связанных в кристаллических решётках или молекулярными связями.

[13:45] Среды, содержащие водород, подходят нам только в том случае, если этот водород связан в молекулах или кристаллических решётках (например, вода или гидриды металлов). Уран как тяжёлое ядро с массой более десяти также удовлетворяет этому условию.

[14:00] Изначально фазовое пространство семимерное: три пространственных координаты, одна энергия, два угла и время. Мы избавляемся от углов, так как считаем, что у нас происходит изотропное рассеяние, потому что ядра тяжёлые либо жёстко связанные в кристаллических решётках или молекулах, и источники изотропные. Мы отказываемся от рассмотрения зависимости по углам.

[14:43] Мы предполагаем, что не происходит изменения энергии, и отказываемся от рассмотрения зависимости нейтронного потока от энергии. Эти три переменных мы исключили из рассмотрения. Функция осталась четырёхмерной: три пространственных координаты и время.

[15:10] Этот курс посвящён только изучению стационарных процессов, поэтому временных зависимостей вы здесь не увидите. В общем случае базовое пространство будет трёхмерным, только с рассмотрением пространственных координат, либо двумерным или одномерным для упрощённых геометрий.

3Уравнение баланса для скоростей процессов

[15:51] Рассмотрим уравнение баланса, представленное на слайде. Для элементарного объёма мы рассматриваем баланс скоростей процесса:

где:

•n(r, t) - плотность нейтронов в объёме,

•L(r, t) - скорость утечки нейтронов из объёма,

•A(r, t) - скорость поглощения нейтронов в объёме,

3

•F (r, t) - скорость генерации нейтронов за счёт реакции деления,

•S(r, t) - скорость генерации нейтронов внешними источниками.

[16:28] Под внешним источником можно понимать в том числе и реакции деления, если распределение скорости реакции деления по пространству нам заранее известно и мы его задаём в виде известной функции.

[17:30] Рассмотрим элементарную площадку площадью dS на поверхности этого элементарного объёма с нормалью n. Чтобы найти количество нейтронов, утекающих из этого объёма, мы рассмотрим ток в направлении нормали n, умноженный на площадь площадки dS и проинтегрированный по всей поверхности:

Z

· (3.2)

L(r, t) = i(r, t) n dS

S

[18:08] По теореме Остроградского-Гауса от поверхностного интеграла перейдём к объёмному:

Z

· · (3.3)

L(r, t) = i(r, t) dV = i(r, t)∆V

V

[19:19] Скорость реакции можно выразить как произведение макросечения на поток. Для скорости реакции поглощения:

[19:49] Для генерации за счёт деления:

где ν - средний выход нейтронов за одно деление.

[20:23] Разделив всё уравнение на ∆V и выразив поток через плотность (Φ = V n), получим:

[21:04] В этом уравнении у нас две неизвестных: векторный ток и скалярный поток , i Φ

а уравнение одно. Нам нужно добавить ещё одно уравнение, связывающее эти величины. [22:09] Данное уравнение получено при соблюдении следующих условий:

•Все функции - статистические величины (рассматриваем большое количество нейтронов).

•Нейтрон рассматривается как точечная частица.

•Не учитывается взаимодействие нейтрон-нейтрон.

•Нейтрон - стабильная частица (не учитывается распад).

•Все нейтроны имеют одну и ту же энергию.

[23:06] Мы не рассматриваем взаимодействие одного нейтрона с несколькими ядрами одновременно, так как в активных зонах реакторных установок такие процессы при низких энергиях нейтронов в основном не реализуются.

4

[23:43] Если вы хотите описать эксперимент по охлаждению потока нейтронов через графитовую или тяжеловодную колонну для получения холодных нейтронов, то распределение их по пространству диффузионными уравнениями описать нельзя, так как они взаимодействуют с несколькими ядрами сразу из-за большой длины волны.

[24:34] Взаимодействие нейтрон-нейтрон не учитывается, поскольку плотность нейтронов на много порядков меньше плотности ядер.

[24:57] Нейтрон считается стабильной частицей, так как среднее время жизни нейтрона в реакторной установке составляет 10−10 секунд, в то время как в свободном состоянии нейтрон может находиться примерно 10 минут.

4Закон Фика

[25:28] Теперь нам нужно найти связь тока с потоком. Для этого представим среду, в которой поместим в произвольной точке пространства систему координат XYZ. Эта система координат делит среду на две половины: условно верхнюю полусферу и нижнюю полусферу.

[26:03] Поместим в центр системы координат элементарную площадку площади dS и рассмотрим, сколько нейтронов пересекает эту площадку сверху вниз и снизу вверх.

[26:33] Рассмотрим ток вдоль оси Z через площадку dS в направлении сверху вниз. Для этого рассмотрим элементарный объём dV , расположенный на расстоянии r под полярным углом θ и азимутальным углом ϕ от начала координат.

[27:41] В этом объёме в единицу времени рассеивается ΣsΦ(r)dV нейтронов. Часть из них имеет вероятность пересечь площадку dS. Та часть, которая вписывается в телесный угол, построенный из центра объёма dV в сторону площадки.

[28:25] Проекция площадки dS на поверхность сферы, построенной из центра объёма dV , будет равна dS cos θ. Площадку пересечёт количество нейтронов, пропорциональное соотношению поверхностей проекции на всю сферу:

[29:33] Не все эти нейтроны достигнут площадки, так как по пути они могут испытать любое взаимодействие (рассеяние, поглощение, деление). Количество нейтронов, достигших площадки:

Z r

exp − Σtotdr (4.2)

0

[30:44] Перепишем объём в полярных координатах: dV = r2 sin θdϕdθdr. [31:26] Запишем, сколько всего нейтронов достигнет площадки:

[32:04] Для рассматриваемой области среды справедливы следующие утверждения:

1.Область находится далеко (более трёх длин свободного пробега нейтрона) от локальных неоднородностей (точечные источники, границы сред).

2.В этой области реализуется случай слабого поглощения (Σs Σa).

3.Сечение не зависит от пространственной координаты.

5

[33:07] Если мы всё это применим, то Σs можно вынести из-под интеграла. Остаётся Φ(r), зависящее от координаты. Разложим Φ(r) в ряд Тейлора около нуля с точностью до первого члена:

[34:51] Так как мы рассматриваем ток в направлении оси Z, то производные по X и по Y будут равны нулю. Подставим это разложение в уравнение и проинтегрируем:

[36:00] Для потока снизу вверх (ток со знаком плюс) получим то же самое, но со знаком минус для второго слагаемого:

[36:33] Полный ток в направлении Z равен разности этих потоков:

[37:12] Повторив те же выкладки для осей X и Y, получим:

[37:47] Векторный ток можно представить как сумму токов по направлению каждому из трёх направлений, помноженных на единичный вектор в соответствующем направлении:

[38:50] Выражение в скобках - это градиент потока по определению. Таким образом, мы получаем закон Фика:

[39:49] Так как Σtot может зависеть от пространственной координаты, то и коэффициент диффузии тоже может зависеть от пространственных координат. Однако эта зависимость должна быть слабой, так как в случае сильной зависимости сделанные нами ранее предположения не выполняются.

[40:14] Закон Фика работает только при следующих условиях:

1.Для больших сред, размеры которых много больше длины свободного пробега.

2.Для слабо поглощающих сред.

3.Для сред, состоящих из тяжёлых ядер либо связанных жёстко в молекулах или кристаллических решётках.

6

4.На расстоянии более трёх длин свободного пробега от локальных неоднородностей.

5.В случае, когда макроскопическое сечение слабо зависит от пространственных переменных.

[41:19] Подставив закон Фика в уравнение баланса, получим одно уравнение с одной неизвестной функцией потока:

[42:16] В случае, когда коэффициент диффузии не зависит от пространственной переменной, можно переписать уравнение в виде:

[42:46] Для неразмножающей среды (Σf = 0) и стационарного случая (∂∂tΦ = 0):

Разделив всё на D и введя обозначение L2 = D (квадрат длины диффузии), получим:

Σa

5Транспортная коррекция коэффициента диффузии

[44:34] В законе Фика используется выражение 1 , но это не совсем точно, так как этот

3Σtot

вывод сделан в предположении полной изотропии рассеяния. На самом деле рассеяние не совсем изотропно.

[45:04] Средний косинус угла рассеяния зависит от типа молекулы или ядра, на котором происходит рассеяние. Для тяжёлых ядер типа урана-238 косинус угла рассеяния близок к нулю (средний угол близок к 90°), что соответствует изотропному рассеянию.

[45:30] Для более лёгких ядер, таких как углерод-12 (графит) или бериллий, средний косинус угла рассеяния отличается от нуля. Для молекул воды результат тоже неплохой, но всё равно не ноль.

[46:02] Средний косинус угла рассеяния можно выразить через µ0 = 32A , где A - массовое число для молекулы, из которой состоит среда.

[46:50] Для учёта имеющейся анизотропии рассеяния вводится поправка. Мы заменяем

[47:32] В вычислительной нейтронной физике часто используются коэффициенты подгона, которые позволяют получить численное решение, близкое к реальному. Особенно это актуально для старых программ, которые были написаны до того, как метод Монте-Карло стал доступен на обычном оборудовании.

[48:03] Эти программы часто используют несложные алгоритмы, такие как метод конечных разностей или метод конечных элементов, и различные коэффициенты подгона под тип реактора, тип среды и т.д.

[49:01] Транспортная коррекция физически обоснована. В чистом виде:

7

В случае слабого поглощения можно выразить Σtot через Σs:

[49:32] В случае слабого поглощения и рассеяния на тяжёлых ядрах получим Σtotr ≈

13 Σs[50:09]. Суть транспортной коррекции в том, что на тяжёлых ядрах нейтроны испытывают много последовательных рассеяний. Мы заменяем большое количество последовательных не изотропных рассеяний одним общим, средним, но изотропным рассеянием.

[51:23] Средняя длина пробега до первого рассеяния: λs. После первого рассеяния на угол θ средняя длина пробега: λs cos θ. После второго: λs cos2 θ, и так далее.

[51:54] Вся последовательность рассеяний даёт нам транспортную длину свободного пробега:

[52:22] Транспортное сечение - это обратная величина к транспортной длине свободного пробега:

[53:34] Закон Фика справедлив в условиях полного хаотического движения частиц в среде, подобного броуновскому движению молекул. Там, где мера хаоса нарушается (локальные неоднородности, сильное поглощение), закон Фика не работает.

[54:09] Вектор тока направлен из области с высокой плотностью в область с низкой плотностью, то есть рост плотности нейтронов обратно пропорционален вектору тока.

8