4Задача о шаре с равномерно распределенным источником
4.1Постановка задачи
(33:40) Рассматривается сфера радиуса R (экстраполированная граница), в которой равномерно распределены источники нейтронов мощностью Q нейтрон/(см³·с). Вне сферы - вакуум.
4.2Уравнение диффузии
(36:21) Уравнение диффузии:
1 |
|
Q |
|
(10.18) |
|
∆Φ(r) − |
|
Φ(r) + |
|
= 0 |
|
L2 |
D |
||||
В сферических координатах:
1 d |
dΦ |
1 |
|
Q |
|
(10.19) |
|||||
|
|
|
r2 |
|
|
− |
|
Φ(r) + |
|
= 0 |
|
r2 dr |
dr |
L2 |
D |
||||||||
4.3Общее решение
(38:19) Решение складывается из общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.
Общее решение однородного уравнения:
Φ(r) = |
C1 exp(−r/L) |
+ |
C2 exp(r/L) |
|
r |
r |
|||
|
|
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде константы:
Φ(r) = QL2 = Q D Σa
Общее решение:
Φ(r) = |
C1 exp(−r/L) |
+ |
C2 exp(r/L) |
+ |
Q |
||
r |
|
r |
|
Σa |
|||
|
|
|
|
||||
(10.20)
(10.21)
(10.22)
4.4Граничные условия
(44:15) Из условия ограниченности при r → 0 следует, что C1 = −C2, так как иначе функция стремится к бесконечности.
(48:16) Можно переписать решение через гиперболические функции:
Φ(r) = C2 |
sinh(r/L) |
+ |
Q |
(10.23) |
|
r |
Σa |
||||
|
|
|
(51:29) На границе шара (r = R) поток равен нулю:
Φ(R) = C2 |
sinh(R/L) |
|
+ |
Q |
= 0 |
(10.24) |
||
|
|
|
||||||
|
|
R |
|
Σa |
|
|||
Отсюда находим C2: |
QR |
|
|
|
|
|
||
C2 = − |
|
|
|
|
(10.25) |
|||
|
|
|||||||
Σa sinh(R/L) |
||||||||
5