Национальный исследовательский ядерный университет
«МИФИ»
Институт ядерной физики и технологий
Конспект лекции №10
Диффузия моноэнергетических нейтронов
Преподаватель: Волков Ю.Н. Группа: ТПН Дата: 17.10.2025
Москва, 2025
Содержание
1 Характерные задачи теории диффузии моноэнергетических нейтронов |
2 |
|
1.1 |
Организационные моменты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
2 |
1.2 |
Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
2 |
1.3 |
Этапы решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
2 |
2 Задача о точечном источнике в бесконечной среде |
2 |
|
2.1 |
Уравнение диффузии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
2 |
2.2 |
Общее решение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
3 |
2.3 |
Граничные условия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
3 |
2.4 |
Решение и анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
3 |
3 Задача о плоском источнике в бесконечной среде |
4 |
|
3.1 |
Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
4 |
3.2 |
Уравнение диффузии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
4 |
3.3 |
Общее решение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
4 |
3.4 |
Граничные условия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
4 |
3.5 |
Решение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
4 |
4 Задача о шаре с равномерно распределенным источником |
5 |
|
4.1 |
Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
5 |
4.2 |
Уравнение диффузии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
5 |
4.3 |
Общее решение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
5 |
4.4 |
Граничные условия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
5 |
4.5 |
Решение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
6 |
5 Задача о пластине с равномерно распределенным источником |
6 |
|
5.1 |
Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
6 |
5.2 |
Уравнение диффузии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
6 |
5.3 |
Общее решение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
6 |
5.4 |
Граничные условия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
6 |
5.5 |
Решение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
6 |
5.6 |
Анализ решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
6 |
6 Физический смысл длины диффузии |
7 |
|
6.1 |
Средний квадрат смещения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
7 |
6.2 |
Физическая интерпретация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
7 |
1
1Характерные задачи теории диффузии моноэнергетических нейтронов
1.1Организационные моменты
(00:01) Преподаватель сообщает о необходимости сдачи работ по почте, напоминает о правильном оформлении работ и устанавливает срок сдачи до шести вечера.
1.2Постановка задачи
(00:47) Параграф пятый называется "Характерные задачи теории диффузии моноэнергетических нейтронов". Рассматривается среда бесконечная, гомогенная, неразмножающая, в которой есть один точечный источник, испускающий нейтроны мощностью Q нейтрон в секунду. Источник считается изотропным, среда гомогенной, поэтому поток нейтронов будет зависеть только от расстояния до источника.
1.3Этапы решения задач
(02:00) Все задачи решаются в четыре приёма, которые должны явно фигурировать при решении на семинарах и в домашних заданиях:
1.Уравнение диффузии
2.Общее решение
3.Граничные условия
4.Решение и анализ решения
(04:00) Анализ решения необходим, так как диффузия является приближением, и в областях, где это приближение работает не очень хорошо, могут получаться странные результаты.
2Задача о точечном источнике в бесконечной среде
2.1Уравнение диффузии
(04:32) Записываем уравнение диффузии для данной задачи:
1 |
|
Qδ(r) |
|
(10.1) |
||
∆Φ(r) − |
|
Φ(r) + |
|
|
= 0 |
|
L2 |
D |
|||||
где ∆ - оператор Лапласа, Φ(r) - поток нейтронов, L - длина диффузии, Q - мощность источника, D - коэффициент диффузии, δ(r) - дельта-функция Дирака.
(05:40) Это уравнение баланса нейтронов в сантиметре кубическом: нейтроны прибывают и убывают из любого элементарного объёма. В стационарной задаче приход равен уходу.
(06:44) В уравнении:
• L12 Φ(r) - поглощение (скорость реакции, количество актов поглощения в см³ в секунду)
•∆Φ(r) - утечка (количество нейтронов, вылетающих из элементарного объёма)
•QδD(r) - внешние источники
(08:28) Так как задача сферически симметричная, лапласиан можно записать в виде:
1 d |
r2 |
dΦ |
1 |
|
(10.2) |
||||
|
|
|
|
|
− |
|
Φ(r) = 0 |
||
r2 dr |
dr |
L2 |
|||||||
2
2.2Общее решение
(09:38) Для решения задачи с дельта-функцией используется следующий подход: пишем уравнение диффузии для всех r ̸= 0, а наличие источника учитываем в граничных условиях.
(10:05) Общее решение дифференциального уравнения:
Φ(r) = |
C1 exp(−r/L) |
+ |
C2 exp(r/L) |
(10.3) |
||
r |
|
r |
|
|||
|
|
|
|
|||
2.3 Граничные условия
(11:04) Граничные условия:
•Поток неотрицательный и ограниченный
•Условие локализованного источника
(11:44) Из условия ограниченности при r → ∞ следует, что C2 = 0, так как exp(r/L) → ∞ при r → ∞.
(12:54) Условие локализованного источника: если источник мощностью Q окружить сферой радиуса r, то утечка через эту сферу будет равна:
r→0 ZS |
i |
n |
dS = Q |
(10.4) |
lim |
|
|
где in - нормальная компонента тока нейтронов.
(14:44) Так как задача сферически симметричная, ток нейтронов не зависит от площадки, и интеграл можно вычислить как:
Z
in dS = 4πr2in(r) |
(10.5) |
S
(15:17) Ток нейтронов вычисляется из закона Фика:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dΦ |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
in(r) = −D dr r |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(16:31) Подставляя решение в закон Фика: |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
||||||||||||||||||
n |
|
− |
dr |
|
|
r− |
|
|
|
|
|
− |
|
1 −L |
r |
|
r2 |
|||||||||||||
i |
(r) = |
|
D |
d |
|
C1 exp( |
|
r/L) |
= |
|
DC |
|
|
|
|
1 |
|
exp(−r/L) |
|
|
exp(−r/L) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
(20:19) Применяя условие локализованного источника: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
r→0 |
|
· |
|
|
1 L |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
lim 4πr2 |
|
DC |
|
|
1 |
|
exp(−r/L) |
+ |
exp(−r/L) |
|
= Q |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
(21:33) Отсюда находим C1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 = |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4πD |
|
|
|
|
|
|||||||||
(10.6)
(10.7)
(10.8)
(10.9)
2.4 Решение и анализ
(22:13) Окончательное решение: |
|
|
|
|
|
Φ(r) = |
Q |
|
exp(−r/L) |
(10.10) |
|
4πD |
r |
||||
|
|
|
(23:25) Анализ решения: при r = 0 функция стремится к бесконечности, что неверно с физической точки зрения. Это означает, что на расстоянии 2-3 транспортных длин свободного пробега диффузионное приближение работает некорректно. Однако на больших расстояниях решение является адекватным.
3