(58:07) Получаем:
(58:54) Обозначим A ≡ (58:58) Тогда:
(59:16) Преобразуя:
|
1 + 2D0 |
nΦ(rS) |
|
|
β = |
|
Φ(rS) |
||
1 − 2D0 |
nΦ(rS) |
|
||
|
||||
|
Φ(rS) |
|||
nΦ(rS) . Φ(rS)
β(1 − 2D0A) = 1 + 2D0A
(29)
(30)
|
β − 2βD0A = 1 + 2D0A |
(31) |
|||||||||
(59:45) Откуда: |
|
|
β − 1 |
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
A = |
|
|
|
(32) |
|||||
(1:01:21) Учитывая, что D0 |
β + 1 2D0 |
||||||||||
|
|
|
|||||||||
≡ 3Σtr , где Σtr - транспортное макроскопическое сечение. |
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1:01:39) Ранее, в выражении граничных условий среда-вакуум, было: |
|
||||||||||
|
|
A = |
|
1 1 |
|
− β |
|
(33) |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
−α 1 |
+ β |
||||||||
|
|
|
|||||||||
где α = 0, 71λtr, λtr - транспортная длина.
3Математическое обоснование экспоненциального опыта
3.1Определение диффузионных параметров
(1:04:02) Наше решение уравнений диффузии зависит от констант D и L2. Их получают экспериментально. Зная спектр нейтронов (усреднение по спектру), их также можно определить через JANIS с помощью интегрирования по всей области.
3.2Определение коэффициента диффузии
(1:06:15) Коэффициент диффузии определяется как:
D ≡ |
1 |
(34) |
3Σtot |
где Σtot - полное макроскопическое сечение взаимодействия.
(1:06:45) Если нейтроны налетают на тонкую пластину толщиной δx, то, экспериментально определив интенсивности нейтронов I0 до и I(δx) = I0 exp (−Σtotδx) после пластины, логарифмированием получаем Σtot и соответственно D:
Σtot = − |
1 |
ln |
|
I(δx) |
|
(35) |
δx |
I0 |
6
3.3Определение длины диффузии
(1:08:16) Для определения L2 проводят экспоненциальный эксперимент. Возьмем неразмножающую призму со сторонами a и высотой b >> a. Найдем ее поток. Источник нейтронов разместим внизу, параллельно высоте. Начало координат примем за нижнюю грань (Ось Oz направлена вдоль высоты. Пересечение осей в центре нижней грани призмы). Расставим активационные детекторы (Материал, который под действием нейтронов испускает бета-частицы. Например, индий) по оси Oz. Активационными детекторами можно измерить поток в призме. Сравнив экспериментальный поток с расчетным, получим L2.
(1:12:05) Уравнение диффузии в призме:
1 |
|
(36) |
∆Φ(x, y, z) − L2 |
Φ(x, y, z) = 0 |
(1:12:42) Воспользуемся методом разделения переменных и представления Φ(x, y, z) =
X(x)Y (y)Z(z):
(1:14:24) Подставляя в уравнение и деля на Φ, получаем:
X′′(x) |
|
Y ′′(y) |
|
Z′′(z) |
1 |
|
(37) |
|||||
|
|
+ |
|
|
+ |
|
|
|
− |
|
= 0 |
|
X(x) |
Y (y) |
|
Z(z) |
L2 |
||||||||
(1:15:32) Вне зависимости от функций X, Y, Z из дробей в уравнении получим константы. Вопрос лишь в знаке.
(1:17:45) В силу симметрии выбираем:
X(x) = C cos(βx); X ± |
a |
= 0; |
β = |
π |
(38) |
2 |
a |
(1:19:21) Полная корректная запись будет: β = имеет только первая гармоника.
(1:19:44) Подставляя в уравнение:
− π 2 − π 2 + Z′′(z)
a a Z(z)
(1:20:26) Откуда:
Z′′(z) 1 Z(z) = Λ2
(1:20:56) Решение для Z(z):
πa + πn, n Z, но физический смысл
1 |
|
(39) |
|
− |
|
= 0 |
|
L2 |
|||
|
|
|
(40) |
Z(z) = C1 exp − |
z |
|
+ C2 exp |
z |
|
(41) |
|
|
|||||
Λ |
Λ |
(1:23:23) За счет протяженности призмы в области "О"среда бесконечная (не чувствует влияния границ и источника). Для этой части C2 ≡ 0 из условий ограниченности на бесконечности. То есть в этой области поток будет спадать по экспоненциальной зависимости. И где логарифм измеряемого детекторами потока константа, там искомая область "О". Константа Λ находится экспериментально.
7
(1:25:23) Из эксперимента определяется Λ как тангенс угла наклона логарифма потока:
1 |
|
= |
∆ ln Φ(z) |
= tg(α) |
(42) |
||
|
|
|
|
||||
Λ |
∆z |
||||||
|
|
|
|||||
(1:26:10) Длина диффузии определяется из соотношения:
|
= |
1 |
|
π2 |
|
−1 |
L2 |
|
− 2 |
|
(43) |
||
Λ2 |
a2 |
8