2Альбедо
2.1Понятие альбедо
(24:00) Рассмотрим вогнутую границу среда-вакуум (вылетев, нейтрон не вернется в среду). На границе применяется отражатель. Функции рассеивателя: должен хорошо рассеивать, плохо поглощать. Примеры отражателей (замедлители нейтронов): H2O, D2O, Be, C, BeO, U238 (для быстрых реакторов).
(26:37) Для описания характеристик отражателей вводят понятие альбедо. Рассмотрим точку rS на поверхности среды (на границе среда-отражатель). Выделим единичную площадку с внешней нормалью n в сторону отражателя. Тогда альбедо определяется как:
|
односторонний ток В среду |
in−(rS) |
||
β = |
|
= |
|
|
односторонний ток ИЗ среды |
in+(rS) |
|||
(27:31) Альбедо изменяется в пределах:
β [0; 1)
(15)
(16)
2.2Формула альбедо
(28:09) Используя выражения для односторонних токов, получаем:
|
|
Φ(r ) |
+ D20 nΦ(rS) |
|
|
|
|
|
S |
|
|||
β = |
|
4 |
|
(17) |
||
Φ(r ) |
− D20 nΦ(rS) |
|||||
|
|
S |
|
|
||
|
|
4 |
|
|||
где D0 – константа отражателя.
2.3Пример: альбедо плоского слоя
(30:35) Рассмотрим альбедо плоского слоя толщиной a. Выбираем начало координат x = 0 на границе среда-отражатель. x = a ≡ aэ – экстраполированная граница отражательвакуум.
(32:07) Альбедо этого слоя (берется на границе среда-отражатель):
|
1 + 2D0 Φ(′ x) x=0 |
||||
|
|
|
|
Φ (x) |
|
β = |
|
|
|
|
|
|
|
|
Φ′ (x) |
|
|
|
|
|
|
||
1 |
− |
2D0 |
|
|
|
Φ(x) |
|||||
|
|
|
|
x=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(33:54) Ищем Φ(x) в отражателе. Запишем уравнение диффузии:
Φ′′(x) − 1 Φ(x) = 0
L20
(34:20) Общее решение уравнения:
Φ(x) = C1 exp |
−L0 |
|
+ C2 exp |
L0 |
|
||
|
|
x |
|
|
|
x |
|
(18)
(19)
(20)
4
(34:52) Нам нужно одно граничное условие (так как для альбедо нам нужно найти отношение потоков). Используем условие Φ(a) = 0 на экстраполированной границе:
Φ(a) = C1 exp |
−L0 |
|
+ C2 exp |
L0 |
|
= 0 |
||
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
(37:45) Из этого условия находим:
C1 = −C2 exp
2a
L0
(38:08) Подставляя в общее решение:
Φ(x) = C(− exp |
L0 |
exp |
−L0 |
|
+ exp |
L0 |
) |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
(39:28) Производная потока: |
|
L0 |
exp |
−L0 |
|
+ exp L0 |
) |
|
|
||||||||||
Φ′(x) = L0 |
(exp |
|
|
||||||||||||||||
|
C |
|
|
2a |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||
(40:15) Значение потока при x = 0: |
|
|
|
|
|
|
|
L0 |
sinh L0 |
|
|||||||||
Φ(x) x=0 = C(− exp L0 |
+ 1) = −2C exp |
||||||||||||||||||
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
||
(49:22) Значение производной при x = 0: |
|
cosh |
L0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Φ′(x) x=0 = 2L0 |
exp L0 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
C |
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
(50:47) Подставляя в формулу для альбедо:
β = |
− |
2D |
|
a |
||||
1 |
|
2D0 |
coth |
|
a |
|
||
|
|
|
L0 |
|
|
L0 |
|
|
1 + |
L00 |
coth |
|
|
|
|
||
L0 |
||||||||
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
(53:05) Если a > 3L0 (при coth(3) 1), то отражатель принимается за бесконечный:
|
1 |
− |
2D0 |
|
|
β∞ = |
L0 |
(28) |
|||
|
1 |
+ |
2D0 |
||
|
|
|
|
L0 |
|
(54:16) Из этого следует, что при Σa → 0 β → 1, что соответствует идеальному отражателю.
2.4Постановка граничных условий с помощью альбедо
(57:22) Пусть альбедо заранее известно (расчетно или экспериментально).
5