Национальный исследовательский ядерный университет
«МИФИ»
Институт ядерной физики и технологий
Конспект лекции №11
Диффузия моноэнергетических нейтронов
Преподаватель: Волков Ю.Н. Группа: ТПН Дата: 22.10.2025
Москва, 2025
Содержание
1 Диффузионные функции влияния. Функции Грина. Принцип суперпози- |
|
ции источника |
2 |
1.1 Понятие функции Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
2 |
1.2Уравнение диффузии для функции Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3Функции влияния для разных геометрий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4Принцип суперпозиции источников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.5Пример использования функции Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Альбедо |
4 |
2.1Понятие альбедо . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2Формула альбедо . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 |
Пример: альбедо плоского слоя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
4 |
2.4 |
Постановка граничных условий с помощью альбедо . . . . . . . . . . . . . . |
5 |
3 Математическое обоснование экспоненциального опыта |
6 |
|
3.1Определение диффузионных параметров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2Определение коэффициента диффузии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3Определение длины диффузии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1
1Диффузионные функции влияния. Функции Грина. Принцип суперпозиции источника
1.1Понятие функции Грина
(03:30) В классической теории переноса нейтронов вводят понятие функции Грина. Функция Грина G(r, r0) - это поток в точке r от локализированного источника с единичной мощностью (q = 1) в r0.
1.2Уравнение диффузии для функции Грина
(04:43) Чтобы найти функцию Грина, запишем уравнение диффузии в общем виде:
div D(r) G(r, r0) − Σa(r)G(r, r0) + 1 · δ(r − r0) = 0 |
(1) |
где:
•D - коэффициент диффузии нейтронов в среде
•Σa - макроскопическое сечение поглощения нейтронов
•δ(r − r0) - дельта-функция Дирака, описывающая точечный источник
1.3Функции влияния для разных геометрий
(05:53) Рассмотрим случай бесконечной гомогенной среды. Для сферической геометрии функция Грина имеет вид:
Gсфер(r, r0) = |
1 |
|
exp − |
|r−Lr0| |
|
|
|
4πD |
|r − r0| |
||||||
|
|
||||||
где L - длина диффузии нейтронов.
(07:12) Для плоской геометрии функция Грина имеет вид:
|
плос |
0 |
|
2D |
−| |
L |
|
|
|
G |
|
(x, x |
) = |
L |
exp |
|
x − x0 |
| |
|
|
|
|
|
|
|
||||
(2)
(3)
1.4Принцип суперпозиции источников
(07:40) Принцип суперпозиции источников заключается в том, что поток от нескольких источников равен сумме потоков от каждого источника. Для N точечных источников:
|
N |
|
|
Xi |
(4) |
Φ(r) = |
qiG(r, ri) |
|
|
=1 |
|
где qi - мощность i-го источника. |
|
|
(10:35) Для распределенного источника по объему V : |
|
|
Φ(r) = ˆ |
q(r0)G(r, r0)dr0 |
(5) |
V |
|
|
2
1.5Пример использования функции Грина
(12:30) Рассмотрим пример использования функции Грина для плоской геометрии. Имеем бесконечную пластину с источником нейтронов мощностью q [нейтрон/(см2·с)], перпендикулярную оси Ox.
(13:05) Поток нейтронов от такой пластины:
|
qL |
− |
x |
|
(6) |
|
Φ(x) = |
|
exp |
|
|||
2D |
L |
|||||
(14:10) Теперь получим это же выражение, используя принцип суперпозиции. Рассмотрим точечный источник на пластине на расстоянии ρ от оси Ox. Расстояние от этого источника до точки наблюдения x равно r.
(14:55) Поток от точечного источника:
|
|
|
exp |
r− |
r |
|
|
G(x, r) = 4πD |
|
L |
(7) |
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(15:49) Рассмотрим кольцо радиуса ρ и толщиной dρ на пластине. Площадь этого коль-
ца:
Sкольца = 2πρdρ |
|
|
|
|
|
|
(8) |
|
(16:29) Поток от кольца: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
exp |
r− |
r |
|
|
|
|
dΦ(x) = q · G(x, r) · Sкольца = q · 4πD |
L |
· 2πρdρ |
(9) |
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
||
(19:03) Связь между расстояниями: |
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 = ρ2 + x2 |
|
|
|
|
|
|
(10) |
|
(19:17) Дифференцируя, получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rdr = ρdρ |
|
|
|
|
|
|
|||||
(19:17) Интегрируя по всей пластине: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
∞ |
1 |
exp |
− |
r |
|
|
|
||||
Φ(x) = q ˆ0 |
|
|
|
|
L |
2πρdρ |
|||||||
4πD |
|
|
|
r |
|
||||||||
|
q |
∞ exp |
|
r |
|
|
|||||||
= |
|
|
2π ˆx |
|
|
|
− |
L |
rdr |
||||
4πD |
|
|
|
r |
|
||||||||
|
qL |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||
= |
|
exp − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2D |
L |
|
|
|
|
|
|
||||||
(11)
(12)
(13)
(14)
(22:12) Преимущество использования функции Грина заключается в том, что если она известна, то можно найти поток от распределенного источника без необходимости решать уравнение диффузии с соответствующими граничными условиями.
3