Национальный исследовательский ядерный университет
«МИФИ»
Институт ядерной физики и технологий
Конспект лекции №12
Диффузия моноэнергетических нейтронов
Преподаватель: Волков Ю.Н. Группа: ТПН Дата: 29.10.2025
Москва, 2025
Содержание
1 Решение уравнения диффузии моноэнергетических нейтронов в размно- |
|
жающей среде |
2 |
1.1Одномерная задача: пластина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2Сферическая задача: шар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3Трехмерная задача: куб . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4Пример расчета для кубического реактора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5Сравнение различных геометрий реактора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6 Нестационарная задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
5 |
2 Экспоненциальный эксперимент |
7 |
2.1Определение полного макроскопического сечения . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Математическое обоснование экспоненциального эксперимента . . . . . . . . |
7 |
3 Заключение |
8 |
1
1Решение уравнения диффузии моноэнергетических нейтронов в размножающей среде
1.1Одномерная задача: пластина
(00:34) Постановка задачи: Рассмотрим одномерный слой среды ширины a без внешних
источников. Среда конечна (справа и слева вакуум), a2 соответствует aэкстраполированной/2 границе среды справа (нулевая координата по оси Ox посередине среды). Экстраполи-
рованная граница означает, что поток на ней равен 0, среда гомогенна. Задача: найти зависимость потока от координаты x.
(04:17) Геометрия задачи: Рассмотрим пластину толщиной a, где ось X направлена от −a2 до +a2 . В этой среде отсутствуют внешние источники, но присутствует деление, то есть в среде находится делящееся вещество. Наша задача найти Φ(x).
(05:35) Уравнение диффузии: Начнем с уравнения диффузии для стационарного случая:
D∆Φ(x) − ΣaΦ(x) + νf Σf Φ(x) = 0 |
(1) |
где:
•D - коэффициент диффузии нейтронов
•∆ - оператор Лапласа
•Σa - макроскопическое сечение поглощения
•νf - среднее число нейтронов, рождающихся при одном акте деления
•Σf - макроскопическое сечение деления
(06:13) Преобразование уравнения: Перенесем члены и разделим на коэффициент диффузии:
Φ′′(x) + νf Σf − Σa Φ(x) = 0 (2)
D
(07:50) Обозначение константы: Обозначим νf Σf −Σa ≡ ±β2 – некая константа, знак
D
которой нам предстоит определить.
(08:41) Критический реактор: Если мы написали это уравнение, где уравнение баланса равно нулю, то это процесс стационарный. Поток нейтронов или плотность нейтронов не меняется с течением времени, то есть это реактор критический.
(09:25) Анализ знака константы: Чтобы понять, какой знак у этой константы, рассмотрим бесконечную среду. В бесконечной среде при тех же параметрах решение будет константой: Φ(x) = Φ0 = const.
(10:07) Решение для бесконечной среды: Если среда бесконечная, гомогенная и все параметры равномерно распределены, то решение будет константой, так как нет причин для пространственных изменений потока.
(10:58) Условие для бесконечной среды: Для бесконечной среды Φ(x) = Φ0 = const, что означает:
νf Σf − Σa |
Φ0 = 0 |
(3) |
|
D |
|||
|
|
2
У нас есть два варианта: либо Φ0 = 0 (тривиальное решение), либо скобка равна нулю. Нас интересует нетривиальное решение, поэтому:
νf Σf = Σa |
(4) |
(12:06) Эффективный коэффициент размножения в бесконечной среде: Вводят эффективный коэффициент размножения в бесконечной среде:
K∞ = |
νf Σf |
= 1 |
(5) |
Σa |
Это означает, что бесконечный реактор критический.
(13:00) Конечная среда: Если из бесконечного реактора вырезать пластину толщиной a, то появится дополнительный фактор утечки нейтронов. Для критичности такой конечной системы необходимо, чтобы νf Σf было немного больше, чем Σa, чтобы компенсировать утечку.
(13:44) Эффективный коэффициент размножения: Для конечной среды вводится эффективный коэффициент размножения Kэф = 1 (реактор критический), тогда νf Σf >
Σa.
(14:55) Связь коэффициентов размножения:
Kэф = K∞P |
(6) |
где P – вероятность избежать утечки из реактора.
(16:08) Определение знака константы: Так как для конечной среды νf Σf > Σa, то
β2 > 0, и общее решение уравнения (2) имеет вид: |
|
Φ(x) = C1 cos(βx) + C2 sin(βx) |
(7) |
(16:59) Граничные условия: Условие №1: Φ(±a2 ) = 0. Условие №2: C2 = 0 из симметрии задачи.
(18:07) Нахождение β: Из граничного условия Φ(a2 ) = C1 cos βa2 = 0 следует:
π |
+ πn, n N {0} |
(8) |
β = a |
В стационарном случае нас интересует только основная гармоника при n = 0.
(20:08) Условие критичности плоского реактора: Получаем условие критичности:
νf Σf − Σa |
= β2 |
= |
π |
|
2 |
(9) |
|
|
|||||
D |
a |
|
Это соотношение называется условием критичности плоского реактора, где левая часть - материальный параметр, а правая часть - геометрический параметр (баклинг).
1.2Сферическая задача: шар
(24:50) Постановка задачи: Рассмотрим задачу с шаром радиуса R = Rэк, где Rэк - экстраполированный радиус.
3
(27:10) Уравнение диффузии: Выбираем начало координат в центре шара. Уравнение диффузии в сферических координатах:
∆rΦ(r) + β2Φ(r) = 0 |
(10) |
где ∆r - радиальная часть оператора Лапласа.
(27:40) Общее решение: Общее решение уравнения (10) имеет вид:
Φ(r) = C1 |
cos(βr) |
|
+ C2 |
sin(βr) |
|
(11) |
|
r |
r |
||||||
|
|
|
|||||
(29:12) Ограничение в центре: Из условия ограниченности потока в центре шара (r = 0) следует, что C1 = 0.
(29:25) Граничное условие на поверхности: Из условия Φ(R) = 0 следует:
C2 |
β = |
π |
(12) |
|
|
sin(βR) = 0 |
|
||
R |
R |
|||
(высшие гармоники так же не рассматриваем в стационарном случае).
(30:35) Условие критичности для шара: Получаем условие критичности для шара радиуса R:
β2 = |
π2 |
(13) |
|
R2 |
|||
|
|
1.3Трехмерная задача: куб
(32:00) Постановка задачи: Рассмотрим куб со стороной a.
(32:35) Уравнение диффузии: Выбираем начало координат в центре куба. Уравне-
ние диффузии: |
|
∆Φ(x, y, z) + β2Φ(x, y, z) = 0 |
(14) |
(34:06) Разделение переменных: Пусть Φ(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z). Подставляя в уравнение и разделяя переменные, получаем:
X′′ |
Y ′′ |
|
Z′′ |
(15) |
||
|
+ |
|
+ |
|
+ β2 = 0 ≡ −3µ2 + β2 |
|
X |
Y |
Z |
||||
(35:15) Определение µ: Из симметрии задачи и одномерного решения следует:
µ = X′′ |
= |
Y′′ |
= |
Z′′ |
= − |
a |
|
(16) |
|
|
X |
|
Y |
|
Z |
|
π |
2 |
|
(36:53) Условие критичности для куба: Получаем условие критичности для куба
со стороной a: |
|
π |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
νf Σf − Σa |
|
= 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(17) |
|
D |
a |
|
|
|
|
|
|
||||||||
(38:12) Поток в кубе: Поток в случае куба равен: |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
πx |
|
|
|
πy |
|
πz |
|
|
|||||
Φ(x, y, z) = C cos |
|
cos |
|
|
|
cos |
|
|
|
(18) |
|||||
a |
a |
|
|
a |
|||||||||||
4
1.4Пример расчета для кубического реактора
(39:02) Исходные данные: Реактор - куб со стороной a = 80 см; Σf = 0, 1 см−1; Φ =
1013 см12с; νf = 2, 42; D = 1 см. Ранее нашли W = 16, 4 МВт.
(40:20) Расчет Σa для критичности: Зная D, νf , рассчитаем Σa такое, чтобы реактор был критический:
νf |
f |
a |
|
|
π |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Σ − Σ |
|
= 3 |
|
|
|
|
|
|
|
(19) |
||
|
D |
|
a |
|
π |
|
2 |
|
|||||
|
Σa = νf Σf − 3D |
|
|
|
≈ 0, 23737 |
см−1 |
(20) |
||||||
|
a |
||||||||||||
(49:35) Нахождение константы C: Константа C находится из соотношения для среднего потока по объему:
Φср = |
1 |
ˆV Φ(x, y, z)dV |
(21) |
V |
1.5 Сравнение различных геометрий реактора
(50:05) Сравнение Kэф для разных форм: Рассмотрим 4 фигуры с одинаковым объемом:
•Куб: Kэф = 1
•Плоская квадратная пластина: Kэф < 1
•Шар: Kэф > 1
•Цилиндр с оптимальными параметрами: Kшар > Kэф > 1
(58:04) Одномерная среда: Рассмотрим то, с чего мы начали: одномерную среду толщиной a. Kэф > 1 из-за отсутствия утечки со всех 6 сторон, а только с двух (слева и справа).
1.6Нестационарная задача
(1:02:05) Нестационарный поток: Так как Kэф > 1, поток нестационарный: Φ(x, t) (растет по экспоненте). Как найти поток?
(1:02:42) Нестационарное уравнение диффузии:
1 ∂Φ(x, t) |
= D∆Φ(x, t) − ΣaΦ(x, t) + νf Σf Φ(x, t) |
(22) |
V ∂t |
(1:05:21) Условно-критическая задача: Сформируем условно-критическую задачу (добавлением перед источником деления коэффициент λ для соблюдения стационарности):
0 = D∆Φ(x) − ΣaΦ(x) + λνf Σf Φ(x) |
(23) |
(1:07:07) Собственные значения и функции: Из задачи Штурма-Лиувилля: Этим
собственным значениям 1 ≡ λ0 < λ1 < λ2 < ... соответствуют собственные функции
(потока).
Kэф
5
(1:11:18) Предположение о виде потока: Предположим Φ(x) = C cos(βx) нахо-
дим λ0.
(1:13:58) Подстановка в уравнение: Подставим в (23):
−DCβ2 cos(βx) − ΣaC cos(βx) + |
1 |
νf Σf C cos(βx) = 0 |
|
||
Kэф |
(1:15:15) Выражение для Kэф: Разделим на Σa и введем обозначения:
− |
Dβ2 |
|
− |
1 + |
νf Σf |
= 0 |
|
|
||
Σa |
KэфΣa |
|
|
|||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
K∞ |
|
|
|
|
|
−L |
β |
|
− 1 + |
Kэф |
= 0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
≡ K∞P |
|
|
|
|
|
|
|
|
Kэф = K∞ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 + L2β2 |
|||
(24)
(25)
(26)
(27)
где L2 = D - квадрат длины диффузии.
Σa
(1:16:28) Расчет Kэф для шара: При прошлых значениях, например, для шара β2 = Rπ 2, получим:
Kэф = K∞ |
1 |
|
|
|
1, 01292 |
(28) |
|
|
|
|
|
|
|||
1 + L |
2 |
π |
|
2 |
|||
|
|
R |
|
|
|
||
(1:22:07) Нестационарное выражение потока: Нестационарное выражение потока:
|
|
|
|
Φ(x, t) = C cos(βx) exp |
t |
|
|
|
|
(29) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|||||
где T – период реактора. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
(1:23:22) Нахождение периода реактора: Подставим нестационарный поток в неста- |
|
|||||||||||
ционарную задачу (22) и найдем период реактора: |
|
T |
+νf Σf cos(βx) exp |
T |
|
||||||||
|
V1T cos(βx) exp T |
= Dβ2 cos(βx) exp T −Σa cos(βx) exp |
= 0 |
||||||||||
|
|
|
t |
|
t |
|
|
t |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(30) |
|
|
(1:24:56) Преобразование уравнения: После сокращения и деления на Σa:
1 |
= −L2β2 |
− 1 |
+ |
νf Σf |
= K∞ − 1 |
(31) |
|
V ΣaT |
Σa |
||||||
|
Λ0 |
= −L2β2 |
− 1 |
+ K∞ |
|
(32) |
|
|
T |
|
|||||
где Λ0 – время жизни нейтрона в бесконечной среде. (1:26:00) Время жизни нейтрона в конечной среде:
Λ0 1 |
= Kэф − 1 ≡ Λ′ |
1 |
(33) |
||
|
|
|
|
||
1 + L2β2 T |
T |
||||
где Λ′ – время жизни нейтрона в конечной среде.
6