Методичка_КурсРасчет

1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Направляющие устройства обеспечивают движение потока энергии, переносимого электромагнитной волной, в заданном направлении. В зависимости от вида направляющих устройств в них могут распространяться электромагнитные волны разных типов: чисто поперечные (TEM-волны); электрические (Е-волны или ТМ-волны); магнитные (Н-волны или ТЕ-волны); а также гибридные волны. Отнесение электромагнитной волны к определенному типу определяется наличием продольных (вдоль оси направляющего устройства) и поперечных (лежащих в перпендикулярной оси плоскости) векторных компонент полей. В ТЕМ-волнах векторы E и H имеют только поперечные составляющие; в Е-волнах вектор E имеет поперечные и продольную составляющие, а вектор H – только поперечные; в Н-волнах вектор H имеет поперечные и продольную составляющие, а вектор E – только поперечные.

По наличию в конструкции замкнутого проводящего экрана направляющие устройства принято разделять на открытые и закрытые линии передачи (волноводы). По количеству изолированных проводящих поверхностей, входящих в состав конструкции направляющего устройства, различают односвязные, двухсвязные, многосвязные линии передачи и линии передачи нулевой связности. Так, прямоугольный (рис. 1.1, а) и круглый (рис. 1.1, б) волноводы относят к односвязным закрытым линиям передачи, а коаксиальный волновод (рис. 1.1, в) − к двухсвязным. Поперечные (ТЕМ) волны могут распространяться только в двухсвязных или многосвязных линиях передачи; электрические и магнитные волны − в любых линиях передачи.

Метод изучения волновых процессов в волноводах основан на решении уравнений Гельмгольца для комплексных амплитуд электрического и магнитного полей:

где k = ωε0εrμ0μr − волновое число; ε0 8.85 10−12 Ф/м, 0 4 10−7 Гн/м − диэлектрическая и магнитная проницаемости свободного пространства; εr иr − относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости материала, заполняющего волновод.

Специфической особенностью любого закрытого волновода независимо от формы его поперечного сечения и диэлектрического заполнения является

3

дискретный характер спектра собственных мод (электрических и магнитных волн), являющихся решениями уравнений Гельмгольца (1.1) при заданных граничных условиях для компонент электромагнитного поля.

z

2b

φ r

2а

в

Рис. 1.1. Виды волноводов: а – прямоугольный; б – круглый; в – коаксиальный

Пусть проводящие элементы волновода изготовлены из идеального проводника, тогда граничные условия на внутренней поверхности стенки волновода L имеют вид

H − нормальная компонента напряженности магнитного поля.

4

Собственные моды волновода обозначаются как Emn и Hmn. Модальные индексы m и n характеризуют число вариаций компонент поля по координатам соответствующей системы координат.

В поперечном сечении закрытого волновода электромагнитное поле представляет собой стоячие волны, для описания распространения которых вводят поперечное волновое число κ . Поперечное волновое число κ зависит лишь от геометрии поперечного сечения волноведущей структуры и индексов mn.

Каждая мода имеет свою дисперсионную кривую, определяемую дисперсионным уравнением, причем каждой моде соответствует свое значение продольного волнового числа γ , характеризующего распространение волны вдоль волновода. Спектр продольных волновых чисел для моды mn волновода определяется выражением

Выражения (1.3), (1.3а) и (1.3б) представляют собой дисперсионные уравнения, характеризующие связь временной и пространственной периодичности волны. Из данных выражений можно вывести законы дисперсии фазовой и групповой скоростей, а также дисперсии длины волны в волноводе.

Анализ решения уравнения (1.1) с граничными условиями (1.2) позволяет заключить, что для наличия распространяющихся волн в волноведущей структуре продольное волновое число γ должно быть чисто вещественной, а не мнимой величиной. Исходя из дисперсионного уравнения (1.3а), для выполнения этого условия необходимо, чтобы частота была больше, чем критическая ωкр. Граничным случаем является равенство нулю постоянной распространения γ , именно это условие соответствует критической частоте моды mn

или критической длине волны

5

В спектре мод Emn и Hmn можно выделить так называемую основную моду, которая имеет минимальную критическую частоту и, следовательно, максимальную критическую длину волны. Для прямоугольного волновода основной модой является волна H10, для круглого − H11, для коаксиального − ТEM. Существованию единственной − основной моды соответствует одномодовый режим работы волновода. Волновод, работающий в режиме отсечки для всех мод, называют запредельным волноводом.

Важной характеристикой волновода является его волновое сопротивление, которое вводится как отношение поперечных (Et и Ht ) к направлению

распространения волны составляющих комплексных амплитуд векторов поля электромагнитной бегущей волны

Волновые сопротивления для направляющих систем представленных на рис. 1.1, исходя из конфигурации полей заданных мод определяются:

Частотные зависимости фазовой (vф) и групповой (vгр) скоростей волны в волноводе также являются одним из представлений закона дисперсии и могут быть получены из (1.3а) и (1.3б):

Как видно из (1.7) и (1.8), и фазовая, и групповая скорости асимптотически приближаются к скорости света при устремлении угловой частоты ω к бесконечности.

6

1.1.Распространение электромагнитной волны

впрямоугольном волноводе

Найдем выражения для собственных мод, распространяющихся в волноводе прямоугольного сечения (прямоугольном волноводе). Для этого запишем уравнения связи поперечных компонент напряженностей электрического и магнитного полей в прямоугольном волноводе через их продольные составляющие в следующем виде:

H z с граничными условиями (1.10а) и (1.10б), а также с учетом уравнений (1.9) являются следующие выражения для всех шести компонент векторов напряженностей электромагнитного поля:

− для электрических волн (E-волны):

Ez = E0 sin m x sin n y e−i z ;

a b

7

ответственно. Модальный индекс m в обозначении типа волны показывает, сколько полуволн стоячей волны укладывается вдоль широкой стенки волновода (вдоль оси х), а модальный индекс n − сколько полуволн вдоль узкой стенки волновода (вдоль оси y). Поперечное волновое число для прямоугольного волновода определяется выражением

Особенностью прямоугольного волновода является совпадение критических частот электрических и магнитных мод с одинаковыми индексами, а сами такие моды называются вырожденными (например, моды H11 и E11).

Волновое сопротивление прямоугольного волновода записывается в соответствии с уравнением (1.6) в следующем виде:

1.2.Распространение электромагнитной волны

вкруглом волноводе

Круглый волновод − односвязный закрытый волновод, поперечное сечение которого имеет форму круга радиусом a (см. рис. 1.1, б). Уравнение Гельмгольца в общем виде в цилиндрической системе координат имеет вид

где Ψ − комплексная амплитуда электрического или магнитного поля.

Тогда уравнения связи поперечных компонент напряженностей электрического и магнитного полей в круглом волноводе через их продольные составляющие записываются в следующем виде:

Запишем граничные условия для электромагнитного поля на стенке волновода, выполненного из идеального проводника:

Решение уравнения (1.13) для продольных компонент электрического и магнитного полей с учетом граничных условий (1.15а) и (1.15б) ищется в виде комбинации функций Бесселя первого рода Jm и функций Бесселя второго рода Nm (называемых функциями Неймана) порядка m по радиальной координате r и тригонометрических функций по угловой координате .

В общем виде решение уравнения Гельмгольца в цилиндрической системе координат для продольной компоненты поля имеет вид

9

Однако в силу условий физической задачи поле в центре волновода не может быть бесконечно большим, что навязывается значением функции Неймана при r = 0, следовательно, необходимо положить Bm = 0 в (1.16). Кроме того, в (1.16) можем опустить sin (m ). Так как начало отсчета угла может быть выбрано произвольно, выберем за начало отсчета полуплоскость= const, в которой Ψ z имеет максимальное значение. Косинус имеет макси-

мальное значение при m = 0, а синус при этом равен нулю. Перепишем (1.16) в соответствии с изложенными соображениями:

В отличие от прямоугольного волновода в круглом волноводе поперечные волновые числа различны для электрических ( κE ) и магнитных ( κH ) волн. Для электрических волн они находятся через корни функций Бесселя ( mn) в соответствии с граничным условием (1.15а), а для магнитных – через корни производных функций Бесселя ( mn) в соответствии с граничным усло-

вием (1.15б):

Значения первых трех ненулевых корней функций Бесселя и корней их производных приведены в табл. 1.1 и 1.2.

Из таблиц 1.1 и 1.2 видно, что некоторые корни функций Бесселя разных порядков совпадают друг с другом. Следовательно, дисперсионные характеристики таких мод также будут численно совпадать. Полностью совпадающие моды принято называть вырожденными.

10