Ответы_зачет_заочка
.docx1.1 Векторы электромагнитного поля. Классификация сред Основные векторы:
E — напряжённость электрического поля (сила на единичный заряд), В/м
D = ε₀E + P — электрическая индукция (учитывает поляризацию диэлектрика)
H — напряжённость магнитного поля (аналог E для магнитного)
B = μ₀(H + M) — магнитная индукция (учитывает намагниченность)
j — плотность тока проводимости
ρ — плотность свободного заряда
Классификация сред по ключевым признакам:
По зависимости D(E), B(H): линейные (D=εE, B=μH) ↔ нелинейные
По направлению: изотропные (ε, μ — скаляры) ↔ анизотропные (ε, μ — тензоры)
По потерям: без потерь (σ=0) ↔ с потерями (σ>0)
По частоте: диэлектрики (σ ≪ ωε) ↔ проводники (σ ≫ ωε)
1.2 Основные уравнения электромагнитного поля Интегральная форма:
∮_L E⋅dl = − dΦ_B/dt (Фарадея)
∮_L H⋅dl = ∫_S (j + ∂D/∂t)⋅dS (Ампер-Максвелл)
∮_S D⋅dS = Q_св (Гаусс для D)
∮_S B⋅dS = 0 (Гаусс для B)
Дифференциальная форма (в точке):
rot E = − ∂B/∂t
rot H = j + ∂D/∂t
div D = ρ_св
div B = 0
1.3 Полная система Максвелла со сторонними токами и зарядами rot E = − ∂B/∂t rot H = j_ст + j_св + ∂D/∂t div D = ρ_ст + ρ_св div B = 0
уравнение непрерывности: ∂ρ/∂t + div j = 0
материальные уравнения: D = εE, B = μH, j_св = σE
1.4 Граничные условия для электрического поля
Касательная составляющая E непрерывна: E₁ₜ = E₂ₜ ⇒ E_{1∥} = E_{2∥}
Нормальная составляющая D разнится на поверхностный заряд: D₂ₙ − D₁ₙ = ρ_пов
1.5 Граничные условия для магнитного поля. Идеальный проводник
Касательная H непрерывна (если нет поверхностного тока): H₁ₜ = H₂ₜ
Нормальная B непрерывна: B₁ₙ = B₂ₙ
Идеальный проводник (σ→∞):
Внутри: E = 0, H = 0 (в переменном поле — только скин-слоем)
На поверхности: Eₜ = 0, Hₙ = 0, Bₙ = 0, Dₙ = ρ_пов, Hₜ = j_пов × n
1.6 Полная система граничных условий Векторная форма: n × (E₂ − E₁) = 0 n × (H₂ − H₁) = j_пов n ⋅ (D₂ − D₁) = ρ_пов n ⋅ (B₂ − B₁) = 0 Метод комплексных амплитуд (гармоническое поле ~e^{jωt}):
Мгновенное значение: Re{ Ē e^{jωt} }
Ē(r) — комплексная амплитуда (содержит амплитуду и начальную фазу)
Все производные по времени → jω
1.7 Максвелл для монохроматического поля (комплексные амплитуды) rot Ē = −jωB̃ rot H̃ = J̃_ст + (σ + jωε) Ē div (ε Ē) = ρ̃_ст div B̃ = 0 2.1 Теорема Пойнтинга (баланс энергии для мгновенных значений) Вывод: (E⋅rot H − H⋅rot E) = −E⋅∂D/∂t − H⋅∂B/∂t − E⋅j → div(E×H) = − ∂w/∂t − P_потерь Вектор Пойнтинга Π = E × H — плотность потока энергии (Вт/м²) 2.2 Средняя за период мощность = (1/2) Re{ Ē × H̃∗ } — активная мощность = (1/4) Im{ Ē × H̃∗ } — реактивная мощность 2.3 Комплексная мощность P̃_комп = (1/2) Ē × H̃∗ = P_акт + j P_реакт Скорость переноса энергии в плоской волне = групповая скорость v_гр = dω/dk 2.4 Волновые уравнения Для H̃: rot rot H̃ = −ω²εμ H̃ + grad(…) → при однородной среде ∆H̃ + k² H̃ = 0 (уравнение Гельмгольца), k² = ω²εμ (1 − j σ/(ωε)) 2.5 Волновые уравнения для потенциалов В калибровке Лоренца: ∆φ − με ∂²φ/∂t² = −ρ/ε₀ ∆A − με ∂²A/∂t² = −μ j Решения — запаздывающие потенциалы. Алгоритм решения прямой задачи:
Заданы j(r′,t), ρ(r′,t)
Находим φ и A (запазд. потенциалы)
E = −grad φ − ∂A/∂t B = rot A
2.6 Плоская волна в декартовых координатах Ē = E₀ e^{-j k⋅r}, H̃ = (1/η) k̂ × Ē k = ω√(εμ) (в без потерь) Фазовая скорость v_ф = ω / |k| = 1/√(εμ) 2.7 Плоская волна в среде без потерь (σ=0)
E ⊥ H ⊥ k (поперечная TEM)
|H| = |E|/η, η = √(μ/ε)
E, H, k — правая тройка векторов
Поток энергии по направлению k
2.8 Плоская волна в среде с потерями (σ≠0) k = β − jα (комплексный)
α > 0 — затухание по направлению распространения
В диэлектриках: слабые потери, η почти вещественно
В хороших проводниках: сильное затухание, скин-слой δ = √(2/(ωμσ)), η ≈ √(jωμ/σ)
2.9 Сферическая и цилиндрическая волны
Сферическая: ~ (e^{-jkr}/r) — из точечного источника
Цилиндрическая: ~ H₀^{(2)}(kr) ≈ √(1/r) e^{-jkr} — из линейного источника Условия излучения Зоммерфельда: волна только уходящая, (∂/∂r + jk) u → 0 при r→∞
3.1–3.2 Элементарный электрический вибратор (диполь Герца) l << λ, треугольное распределение тока I₀ Поле в дальней зоне (kr ≫ 1): E_θ ≈ j (k I₀ l η / (4π r)) sinθ e^{-jkr} H_φ = E_θ / η Диаграмма направленности: f(θ) = sinθ (бублик) Мощность излучения P_изл = (μ₀ p₀² ω⁴)/(12π c) Сопротивление излучения R_изл = 80π² (l/λ)² Ом 3.4 Элементарный магнитный вибратор (маленькая петля) Эквивалентен магнитному диполю. Поле в дальней зоне аналогично электрическому, но E и H меняются местами: E_φ ∼ sinθ, H_θ ∼ sinθ Диаграмма направленности та же: sinθ 3.5 Поляризация
Линейная: E лежит в одной плоскости
Круговая: две ортогональные компоненты равной амплитуды, разность фаз ±90°
Эллиптическая: любые амплитуды и фазы Коэффициент эллиптичности τ = b/a (отношение осей эллипса)
4.2–4.3 Коэффициенты Френеля, угол Брюстера Для параллельной поляризации (p): угол Брюстера θ_B = arctan(n₂/n₁) → R=0 Для перпендикулярной (s): полного прохождения нет 4.4–4.5 Полное внутреннее отражение (ПВО) Условие: n₁ > n₂, угол падения θ₁ > θ_кр = arcsin(n₂/n₁) Во второй среде — неоднородная волна e^{-αz} e^{-jβx}, поверхностная волна вдоль границы, фазовая скорость > c/n₁ 4.7 Приближённые Г.У. Леонтовича Ē_τ = Z [n × H̃_τ], Z = √(jωμ/(σ + jωε)) — поверхностный импеданс Потери в проводнике: P_пот = (1/2) R_s |H_τ|², R_s = √(ωμ/(2σ)) 5.1–5.4 Основные операции векторного анализа grad f = ∂f/∂x i + ∂f/∂y j + ∂f/∂z k div A = ∂A_x/∂x + ∂A_y/∂y + ∂A_z/∂z rot A = (∂A_z/∂y − ∂A_y/∂z)i + … ∇ = i ∂/∂x + j ∂/∂y + k ∂/∂z grad f = ∇f, div A = ∇⋅A, rot A = ∇×A Теорема Гаусса-Остроградского: ∫_V div A dV = ∮_S A⋅dS Теорема Стокса: ∫_S rot A ⋅ dS = ∮_L A⋅dl 5.6 Потенциальное поле A = −grad φ → rot A = 0 (безвихревое) 5.7 Соленоидальное поле div A = 0 → можно представить как A = rot B 5.8 Коэффициенты Ламе H₁, H₂, H₃ — масштабные коэффициенты
Декартова: H_x = H_y = H_z = 1
Цилиндрическая: H_ρ=1, H_φ=ρ, H_z=1
Сферическая: H_r=1, H_θ=r, H_φ=r sinθ