Добавил:

Y-FT-WE Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет)

Предмет:

Механика

Файл:

kr3_v74 (1)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.12.2025

Размер:

496.9 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

	Контрольная работа № 5
Расчет на прочность и жесткость при простых видах нагружения стержня.
Задача 1. Допускаемое напряжение на растяжение – сжатие [σ]= 150 МПа,
модуль продольной упругости Е = 2∙1011			Па,	допускаемое	значение
удлинения стержня [ l] = Σli∙10-4 м, где li – длины грузовых участков.
F1=50 кН	F2=30 кН	F3=60 кН
				R=20 кН
	l1=2 м	l2=4 м	l3=2 м
	80
50
N, кН				20
N, кН
39,9
	31,25
l ∙104, м
			3,47
Для определения размеров постоянного по длине поперечного
стержня квадратного сечения воспользуемся условием прочности:

				N
				max
		max		A
		max

где σmax – максимальное значение нормального напряжения при растяжении – сжатии; |Nmax| – максимальное значение продольной силы, определяемое по эпюре; А – площадь поперечного сечения стержня. |Nmax| = 80 кН (см. эпюру), [σ]= 150 МПа. Решая предыдущее неравенство относительно площади А, получаем:

A	Nmax	80 103	5,33 10 4 м2 . .
	Nmax

тр		150 106
		150 106
			2

Так как по условию задачи поперечное сечение имеет форму квадрата, то сторона квадрата:

a		A	5,33 10	4	2,31 10	2	м 23,1мм.
	тр
		тр

Расчетное значение стороны квадрата а округляем до ближайшего большего значения из стандартного а = 24 мм. Тогда А = 242 = 576 мм2 .

Нормальные напряжения в материале при растяжении-сжатии стержней:

N		max	80 103		1,39 10 8 Па 139МПА.
		max
	A		5,76 10	4
	A		5,76 10

Внешние силы действуют строго

по

оси

стержня.

Следовательно,

напряжения

сечении

будут

распределены равномерно.

Деформация на i - м участке

стержня при растяжении – сжатии

определяется

по

закону

Гука,

записанному для деформаций:

x(i 1)k

где

lx(i-1)k –

перемещение

крайнего

сечения

границе с i -м участком.

Nxi – продольная сила на i - м участке;

xi – координата произвольного сечения на

начала.

1 – й грузовой участок 0 ≤ x1 ≤ 2:

lx 0 0

20 103 0

5,76

2 10

σ, МПа 139

i - 1 грузового участка на

i-м участке относительно его


				20 10		3	2
l			0	20 10			2
l	x	2	0	11	5,76 10
	1			11
				2 10

3,47 10	4	м,

2 – й грузовой участок 0 ≤ x2 ≤ 4:

						80 10				3	0
l		3,47 10	4			80 10					0			3,47 10		4	м,
			4													4
	x2 0							11					4
	x2 0				2 10			11	5,76 10				4
					2 10				5,76 10
lx2 4		3,47 10 4				80 103					4			31,25	10 4		м,
lx2 4		3,47 10 4			2 10		11		5,76 10			4		31,25	10 4		м,
					2 10				5,76 10
3 – й грузовой участок 0 ≤ x3 ≤ 2:
lx 0		31,25 10 4				50 103					0			31,25	10 4		м,
lx 0		31,25 10 4				1011			5,76 10 4					31,25	10 4		м,
	3			2		1011			5,76 10 4

						50 10		3	2
l			31,25	10	4	50 10			2
					4
	x	2				11
	3					11	5,76 10
						2 10	5,76 10

39,9 10	4	м.

Эпюра перемещений показана под расчетной схемой стержня. Эпюра позволяет определить перемещение любого сечения стержня, определить полную деформацию стержня, оценить жесткость стержня на интересующем участке в соответствии с условием жесткости (5.12):

l	max	l ,

39,9 10			4	8	10	4	.

Поскольку условие жесткости не выполняется необходимо определить новые размеры поперечного сечения стержня. Требуемая площадь поперечного сечения стержня находится из условия:

							A				А		l			max	,
																max
														l
								тр						l
								тр
									39,9 10						4
		A		5,76 10			4		39,9 10								28,75 10			4	м	2	,
							4													4		2
														4
		тр									8 10			4
											8 10
a			А			28,75 10						4		5,36 10				2	м	53,6мм,
a	тр		А			28,75 10								5,36 10					м	53,6мм,
	тр			тр
Окончательно получаем					a	56мм.				.
Окончательно получаем										.

Стержень квадратного поперечного сечения со стороной квадрата 56 мм под действием заданных нагрузок будет удовлетворять и условию прочности, и условию жесткости.

Задача 2. допускаемое напряжение на кручение [τ] = 90 МПа, модуль
сдвига G =	8∙1010 Па,	допускаемый	относительный		угол закручивания
[Φ]=1,2∙10-2 рад/м.
М1 = 20 кНм		М3	= 10 кНм	М0	= -20 кНм
	М2 = 50 кНм			М0	= -20 кНм
	М2 = 50 кНм
	l1 = 2 м	l2 = 4 м	l3 = 2 м
20
T, кНм
	30			20
φ∙10-2,			2,4
φ∙10-2,	7,3
рад	7,3	9,7
рад		9,7
Для определения диаметра стержня воспользуемся условием прочности
при кручении в форме:

max	Tmax	,
	Wp

где τmax – максимальное значение касательного напряжения при кручении; |Тmax| – максимальное значение крутящего момента, определяемое по эпюре |Тmax| = 40 кН; Wp – полярный момент сопротивления поперечного сечения стержня.

Решая неравенство относительно Wp , получаем:

									T		30 10	3
												3
					W					max			3,33 10	4	3	.
					W		p				90 10	6	3,33 10		м	.
							p					6

для	круга:			Wp			d 3			0,2d 3 , то			для диаметра d стержня получим:
								16
		Wp		3,33 10 4
d 3			3			0,119м 119мм..
d 3	0,2		3	0,2		0,119м 119мм..
	0,2			0,2

Расчетное значение d округляем до ближайшего большего значения из
стандартного ряда, d = 120мм. Полярный момент сопротивления такого вала
W			0,2 0,12						3	3,46 10						4				3	.
W		p	0,2 0,12							3,46 10								м			.
		p
				Для определения распределения касательных напряжений в сечении
выбранного стержня воспользуемся формулой:
																				Tmax r ,
																						I p
где r – расстояние от центра сечения до рассматриваемой точки; Ip –
полярный момент инерции поперечного сечения стержня. Для сечения в виде
круга диаметром d:
														d		4
										I				d						0,1d					4	0,1 0,12			4	2,07 10	5	м	4	,
																									4				4		5		4
											p				32
											p

При r = 0						, τ = 0. Максимальное значение τ = τmax																										имеет место при r = d/2 и
определяется по формуле:
																										T					y			τ, МПа
																						max				max .					y			τ, МПа
																						max				W								86,7
																										W	p
																											p
				30 10					3																					120
				30 10						8,67 10							7		Па 86,7МПа.															z
																	7
	max							4
	max			3,46		10		4																						Φ
				3,46		10

Эпюра					касательных											напряжений												в						86,7
Эпюра					касательных											напряжений												в
сечении выбранного стержня приведена на рисунке.																																	Направление вращения
стержня противоположно изображенному на рисунке.
		Углы закручивания на i-м грузовом участке определяются по формуле:
													xi					x(i		1)k				Ti xi				,
													xi					x(i		1)k						G I p
																										G I p
где				x(i 1)k			– угол закручивания крайнего сечения i-1 грузового участка на
где				x(i 1)k
границе с i-м участком.
			Тi – крутящий момент на i-м участке;
			xi – координата произвольного сечения на i-м участке относительно его
начала.
		1 – й грузовой участок 0 ≤ x1 ≤ 2:
					x 0				0			20 103								0						0 рад,
					x 0				0			10			2,07					10				5		0 рад,
					1							10												5
										8 10
					x 2		0					20 103							2							2,4		10 2		рад,
					x 2		0					10											5			2,4		10 2		рад,
					1							10			2,07 10								5
										8 10					2,07 10

2 – й грузовой участок 0 ≤ x2 ≤ 4:

x2 0	2,4 10	2	30	103	0		2,4 10 2 рад,
			10	2,07	10	5
		8	10

									30 10				3	4
			2,4 10		2				30 10					4			9,7 10			2	рад,
					2															2
	x2 4							10		2,07				10		5
	x2 4							10								5
							8 10
3 – й грузовой участок 0 ≤ x3 ≤ 2:
							20 10				3	0
			9,7 10	2			20 10					0				9,7 10		2	рад,
				2														2
	x	0					10		2,07 10						5
	3						10								5
						8 10
							20 10				3	2
			9,7 10	2			20 10					2				7,3 10		2	рад.
				2														2
	x	2					10		2,07 10						5
	3						10								5
						8 10

Эпюра углов закручивания, отражающая полученные результаты, приведена под расчетной схемой стержня. Проверим выбранный стержень на жесткость:

Tmax ,

GI p

	30 10		3
	30 10					1,81 10	2
							2
10		2,07		10	5
10					5
8 10

рад/м

относительный угол превышает допускаемое значение.

Поскольку условие жесткости не выполняется необходимо определить новые размеры поперечного сечения стержня. Требуемый момент инерции и диаметр поперечного сечения стержня:

					1,81 10				2
I		2,07 10	5		1,81 10						3,125 10		5	м		4	,
			5										5			4
	pтт				1,2	10		2
	pтт							2


							I pтт					3,125 10 5
		d		тр		4					4				0,133м 133мм,
		d				4					4				0,133м 133мм,
						0,1				0,1
						0,1				0,1

Принимаем: d = 140 мм.

Задача 3. Допускаемые нормальные и касательные напряжения при изгибе
[σ] = 160 МПа, [τ] = 100 МПа, модуль продольной упругости Е = 2∙1011 Па,
допускаемый прогиб балки [y] = l/300 – для пролетной части балки и [y] =
l/100 – для консоли.
	YA = 17,5 кН				YB = 22,5 кН
					YB = 22,5 кН
F1 = 50 кН				q3 = 20 кН/м		М2 = 50 кНм
F1 = 50 кН				q3 = 20 кН/м
						F2 = 30 кН
	ℓ1 = 2 м			ℓ2 = 4 м	ℓ3 = 2 м
50
	10	27,5
Q, кН
						30
				78,9
					52,5
	60
					10
М, кНм
						50
				6,9	6,5	4,3
				4,7		4,3
				4,7
y'∙103, рад				0,5
y'∙103, рад
		9	4,5
13,7	12,3	9
13,7	12,3
24						12,4
24
					6,9
y∙103, м	10,8
y∙103, м
			6,8	6
			6,8
				8,8
				8

		Для выбора из условия прочности по нормальным напряжениям
стандартной балки двутаврового поперечного сечения воспользуемся
формулой:
									M		max				,
											max
						max			W
						max
												z
												z
Решая предыдущее неравенство относительно момента сопротивления,
получаем:
								M								78,9 10				3
					W			M		x max						78,9 10					4,93 10	4	3	.
					W														6		4,93 10		м	.
					zтт											160 10			6
																160 10
		По сортаменту прокатной стали (см. приложение А) и найденному
значению Wz определяем номер двутавра с ближайшим большим значением
момента сопротивления. Это двутавр № 30а.
		Распределение напряжений σ при изгибе в опасном сечении определим
по формуле Навье:
											M		x max			y	,
													x max
														I
														I
															z
где y – расстояние от нейтральной оси сечения до рассматриваемой точки; Iz
– осевой момент инерции поперечного сечения стержня. Из соотношения
Навье следует, что напряжение σ прямо пропорционально расстоянию y от
нейтральной оси. При y = 0, σ = 0. Максимальное значение σ = σmax имеет
место при y = h / 2 и определяется по формуле:
											M			x max		.
														x max
							max						W
							max

															z
Для выбранного двутавра:
	max		78,9 103		1,52 108 Па 152МПа.
	max		518 10 6
			518 10 6
Эпюра нормальных напряжений показана на рисунке.
													σ, МПа								τ, МПа
			1				1						σ, МПа					152			1,04			23,3
																					1,04
			2		3	3		2
			2		3	3		2									+
																	+
				4		4															–
			300	4		4											0							30,3
																								30,3


			6	5		5		6							–
			7				7		152												1,04		23,3
			7	145			7		152
				145
																		9

Распределение касательных напряжений в сечении выбранной балки определим для опасного сечения, где поперечная сила принимает по абсолютной величине максимальное значение, IQуmax I = 52,5 кН.

Напряжения τ определяются по формуле Журавского:

	Q			S	*
	Q	x max		S	i
		x max			i
i	b I
i
			zст
		i	zст

где bi – ширина сечения при данном

значении у;

Si*

- статический момент

относительно нейтральной оси части той части сечения, которая удалена от нейтральной оси больше, чем на у. Значения τ вычисляются для семи точек сечения, указанных на предыдущем рис.

Для выбранного сечения: b1 = b2 = b6 = b7 = b = 145 мм; b3 = b4 = b5 = s = 6,5

мм. Статические моменты для точек 1 и 7 равны нулю:

S	*	S	*	0.
			7
1

Для

точек 2, 3, 5, 6 статические моменты определяются по формуле:

						h				t
S * S * S * S * b t								ст
S * S * S * S * b t
2	3		5	6	ст				2
		3			3		300 10				3	10,7 10	3		6	3
145 10			10,7 10											224,4 10		м	.
145 10			10,7 10											224,4 10		м	.
												2
												2

Последнее значение	S	*	S
		*
		4		z

сортаменту (приложение А).

292 10	6

м	3

где

- находится по

Подставляя найденные значения bi и

Si*

формулу Журавского,

находим семь значений τi и строим эпюру касательных напряжений:

														52,5 10					3	0
														52,5 10						0					0;
							1				7			145 10	3			7780 10			8				0;
							1				7				3						8

						52,5 10						3	224,4 10				6
						52,5 10							224,4 10						1,04 10			6		Па 1,04МПа;
																						6
	2			6		145		10			3		7780 10			8
	2			6							3					8

					52,5 10					3			224,4 10			6
					52,5 10								224,4 10						23,3 10				6		Па	23,3МПа;
																							6
3		5			6,5 10				3			7780 10			8
3		5							3						8

			52,5 103						292 10 6						30,3 106 Па 30,3МПа.
	4		6,5 10 3 7780 10 8												30,3 106 Па 30,3МПа.
	4

Проверка прочности выбранной балки по касательным напряжениям состоит в сравнении максимальных абсолютных значений касательных

напряжений ( max = 30,3 МПа) с допускаемыми их значениями ([τ] = 100 МПа). Прочность по касательным напряжениям обеспечена, т.к. max < [τ].

Для построения эпюр углов поворота у' и прогибов y воспользуемся методом начальных параметров. При этом необходимо следовать ряду рекомендаций:

1.Начало координат (х = 0) должно совпадать с левым концом балки;

2.Распределенную нагрузку нужно условно продолжить в положительном направлении оси x до конца балки с приложением компенсирующей нагрузки;

3.Знаки «+» и «–» перед каждым слагаемым ставить по правилам, изложенным в 5.7.

Универсальные уравнения изогнутой оси:

EIz y EIz y0

M i

(x ai )

Fi (x bi )2

qi (x ci )3 ,

i 1

2! i 1

3! i 1

y EI

y x

(x a )

F (x b )

q (x c )

i 1

Здесь у' – угол поворота сечения, у – прогиб балки, у'0 и θ0 – их значения на левом конце балки (начальные параметры), ai , bi – координаты приложения сосредоточенных моментов и сосредоточенных сил, ci – координата начала участка действия распределенной нагрузки.

						x				x				x 2	2			x 6	2			x 6
							2				3				2				2			3
EI	z	y EI	z	y	F			q	3			Y	A			Y	В			q	3
	z		z	0	1	2			3	6			A	2			В	2			3	6
						2				6				2				2				6

										x				x				x 2			x 6			x 6
											3				4			3			3				4
EI	z	y EI	z	y	0	EI	z	y x F				q	3			Y	A		Y	В		q	3
	z		z		0		z	0	1	6			3	24			A	6		В	6		3	24
										6				24				6			6			24

Начальные параметры определяются из условий закрепления концов балки. На опоре А прогиб равен нулю. Подставляя во второе уравнение х = 2,

и х = 7, получаем y0'= –13,7·10-3, y0 = 0,024 м.

Зная значения начальных параметров, вычислим правые части универсальных уравнений, меняя координату х через каждый метр. Результаты, в том числе и промежуточных вычислений удобно занести в таблицу:

x, м	0	1	2	3	4	5	6	7	8
y'∙103,	-13,7	-12,3	-9	-4,5	0,5	4,7	6,9	6,5	4,3
рад

y∙103,	24	10,8	0	-6,8	-8,8	-6	0	6,9	12,4
м

По значениям углов поворота и прогибов строим эпюры этих величин. Условие жесткости проверяем отдельно для пролета балки и ее

консольной части.

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Механика

#
05.12.2025405.73 Кб0kr1_v74 (1).pdf
#
05.12.2025393.96 Кб0kr2_v74 (1).pdf
#
05.12.2025496.9 Кб0kr3_v74 (1).pdf
#
04.12.2025429.74 Кб0v_74.docx