МИНОБРНАУКИ РОССИИ Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина) Кафедра микро- и наноэлектроники |
||||||
отчет по лабораторной работе № 2 по дисциплине «Моделирование и проектирование микро- и наносистем» Тема: Численное моделирование нестационарного процесса теплопроводности в неоднородном теле с учётом зависимости плотности мощности источников (стоков) тепла от температуры с использованием явной схемы. Вариант №10
|
||||||
|
||||||
Санкт-Петербург 2024 |
ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ
Исходные данные для расчетов представлены в таблице 1, вид исследуемой структуры представлен на рисунке 1.
Таблица 1 – Исходные данные для выполнения задания
№ п/п |
L, мм |
W, мм |
Коэффициент теплопроводности
|
Плотность
|
Удельная теплоемкость
|
Начальное и граничные условия (род) |
Зависимость плотности мощности источников (стоков) тепла от температуры
|
Интервал времени t, с |
13 |
30 150 230 |
10 10 20 10 50 10 20 30 30 130 |
1000 100 200 100 300 10 10000 |
10000 2000 1000 2000 1000 2000 300 |
10000 100 1000 100 1000 100 300 |
100(1) 0(2) 0(2) 0(2) 0(2) |
1·107 |
10 |
Рисунок 1 – Общий вид неоднородной структуры
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Дифференциальное уравнение теплопроводности для нестационарного случая с начальным и граничными условиями задается системой (1):
|
(1) |
При этом две пространственные и одна временная переменные принимают значения (2):
|
(2) |
Дискретизируя задачу теплопроводности, получаем систему (3):
|
(3) |
Дискретная
задача будет решаться с помощью явной
схемы: на дискретизированном пространстве
строится прямоугольная сетка, на которой
искомое значение функции
будет
находиться с использованием имеющихся
значений
,
,
.
То есть значения j-го
слоя формируют значения j+1-го
слоя, а переменные i
и j
изменяются в пределах от 2 до I-1
и от 2 до J-1
соответственно. Значения при i
и j,
равных 1 и I
или J,
определяются граничными условиями. В
явном виде это можно представить как
соотношения (4).
|
(4) |
где τ – шаг сетки по координате, за которую отвечает переменная j, h – шаг сетки по координате, за которую отвечает переменная i.
Для реализации сходимости задачи нужно выполнить требование по времени, подобрав правильное соотношение между шагом по координате и шагом по времени.
Дискретная система в случае решения уравнения теплопроводности с помощью явной схемы может быть записана в виде выражения (6).
|
(6) |
РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ
Результаты моделирования представим на рисунках 2 – 11:
Рисунок 2 – Распределение температуры в пространстве в момент времени t = 0 секунд
Рисунок 3 – Распределение температуры в пространстве в момент времени t = 1 секунда
Рисунок 4 – Распределение температуры в пространстве в момент времени t = 2 секунды
Рисунок 5 – Распределение температуры в пространстве в момент времени t = 3 секунды
Рисунок 6 – Распределение температуры в пространстве в момент времени t = 4 секунды
Рисунок 7 – Распределение температуры в пространстве в момент времени t = 5 секунд
Рисунок 8 – Распределение температуры в пространстве в момент времени t = 6 секунд
Рисунок 9 – Распределение температуры в пространстве в момент времени t = 7 секунд
Рисунок 10 – Распределение температуры в пространстве в момент времени t = 8 секунд
Рисунок 11 – Распределение температуры в пространстве в момент времени t =9 секунд
Рисунок 12 – Распределение температуры в пространстве в момент времени t =10 секунд
КОД ПРОГРАММЫ
clear all
close all
clc
NG='Figure_';
GrStep=1e+6;
Tmin=-180;
Tmax=-40;
%исходные данные
L=[30 150 230];
W=[10 10 20 10 50 10 20 30 30 130];
L=L.*1e-3;
W=W.*1e-3;
L(3)=L(3)-L(1)-L(2);
kL=[1000 100 200 100 300 10 10000];
rL=[10000 2000 1000 2000 1000 2000 300];
cL=[10000 100 1000 100 1000 100 300];
%граничные и начальные условия
gt=100;
gxmin=0;
gxmax=0;
gymin=0;
gymax=0;
tmax=10;
t=0;
dt=1e-5;
% число шагов в каждом слое структуры
Sx=5;
Sy=9;
%координаты и сеточные функции
x(1)=0;% первый элемент массива х
kV(1)=kL(1);
rV(1)=rL(1);
cV(1)=cL(1);
for i=1:length(kL)% пробег по кол-ву слоев
x=[x max(x)+W(i)/Sx:W(i)/Sx:max(x)+W(i)]; %присоединение массивов
kV=[kV ones(1,Sx).*kL(i)];
rV=[rV ones(1,Sx).*rL(i)];
cV=[cV ones(1,Sx).*cL(i)];
end
dx=diff(x);% функция возвращает массив из разностей соседних элементов
I=length(x);
kV=kV'; % транспонирование
rV=rV';
cV=cV';
y(1)=0;
for j=1:length(L)% пробег по кол-ву слоев
y=[y max(y)+L(j)/Sy:L(j)/Sy:max(y)+L(j)];% присоединение массивов
end
dy=diff(y);
J=length(y);
k=kV;
r=rV;
c=cV;
for j=2:J % делаем двумерный массив со значениями в узлах сетки
k=[k kV];
r=[r rV];
c=[c cV];
end
f=zeros(I,J);
T=ones(I,J).*gt;
ct=0;
ctt=0;
% вывод графика распределение температуры в пространстве в момент времени t=0
NG='Fig 2';
NameG=[NG num2str(ctt)];
mesh(y.*1e3,x.*1e3,T-273)
xlabel('y, mm','FontSize',19)
ylabel('x, mm','FontSize',19)
zlabel('T, ^oC','FontSize',19)
grid on
xlim([min(y.*1e3) max(y.*1e3)])
ylim([min(x.*1e3) max(x.*1e3)])
zlim ([Tmin Tmax])
colormap([0 0 0])
print(gcf,'-djpeg',NameG)
pause(1e-3)
while t<=tmax
ct=ct+1;
t=t+dt;
for j=Sy+1:2*Sy+1 % вбиваем параметры теплового источника
for i=1:I
if x(i)>=W(9)&& x(i)<=W(9)+W(8) % область, где располагается источник
f(i,j)=1e8/log10(T(i,j));
end
end
end
for j=1:J % ГУ 2 рода
TT(I,j)=T(I-1,j)+gxmax*dx(I-1);
TT(1,j)=T(2,j)-gymin*dx(1);
end
for i=2:I-1 % ГУ 2 рода
TT(i,1)=T(i,2)-gymin*dy(1);
TT(i,J)=T(i,J-1)+gymax*dy(J-1);
end
for i=2:I-1 % основной расчетный цикл
for j=2:J-1
TT(i,j) = T(i,j) + (2/(dx(i)+dx(i-1)) * (k(i,j)*(T(i+1,j)-T(i,j))/dx(i)...
- k(i-1,j)*(T(i,j)-T(i-1,j))/dx(i-1)) + 2/(dy(j)+dy(j-1)) ...
*(k(i,j)*(T(i,j+1)-T(i,j))/dy(j) - k(i,j-1)*(T(i,j)-T(i,j-1))/dy(j-1))...
+ f(i,j)) * dt/(r(i,j)*c(i,j));
end
end
if mod(ct,GrStep)==0
ctt=ctt+1;
NameG=[NG num2str(ctt)];
figure
mesh(y.*1e3,x.*1e3,TT-273)
xlabel('y, mm','FontSize',19)
ylabel('x, mm','FontSize',19)
zlabel('T, ^oC','FontSize',19)
grid on
xlim([min(y.*1e3) max(y.*1e3)])
ylim([min(x.*1e3) max(x.*1e3)])
zlim ([Tmin Tmax])
colormap([0 0 0])
clc
print(gcf,'-djpeg',NameG)
clc
t
ct
pause(1e-3)
end
T=TT; % переход к следующей итерации
end
ВЫВОД: для выполнения лабораторной работы использовался сеточный метод решения системы линейных алгебраических уравнений теплопроводности с помощью явной схемы. Данный метод является последовательным, что дает преимущество перед прямыми методами: он позволяет значительно экономить оперативную память, а это, в свою очередь, позволяет решать сложные задачи с большим количеством шагов по времени, сохраняя только значения для предыдущего момента времени. Однако явная схема условно устойчива, т.е. для корректности вычислений необходимо согласовывать интервалы по координатам и времени с целью соблюдения условий устойчивости, что является основным ее недостатком.