Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Элементы математической теории надежности

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.11.2025

Размер:

2.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 147 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

	§ 8. Усеченное нормальное распределение
Рассмотрим			СВ		Т1	распределенную												по			нормальному							закону
		1		t a										1				(t a)2
																		2	2
																			2
N (a, ), FT (t)						, fT (t)											e			,			t (см. § 2

		2											2
1		2						1					2
1								1
опр. 4). Ограничим интервал t промежутком 0;																						и рассмотрим СВ Т с
															с fT (t), t 0; ;
функцией плотности вероятностей fT (t)																	1								. При этом с
функцией плотности вероятностей fT (t)																		0, t 0.							. При этом с
																		0, t 0.
найдем из условия нормировки:
																							1				a
																							1				a
fT (x)dx 1,		c fT (x)dx 1,								с(F1( ) F1(0)) 1,													с					1,
fT (x)dx 1,		c fT (x)dx 1,								с(F1( ) F1(0)) 1,													с					1,
			1																				2
			1
0			0
							с				1					.											(1)

									1			a

									2
									2
Тогда при t 0			FT (t) 0 . При						t 0
				t				t
FT (t) fT (x)dx c										fT (x)dx c(FT (t) FT (0))
			0					0			1							1					1
			0					0
1			t a			1					a								a					t a
c																c										.
c																c										.
2						2

Определение 1. Случайная величина Т называется распределенной по усеченному нормальному закону TN(a, ) (truncated normal), если ее функ-

ция плотности вероятностей

	1		(t a)2
fT (t) c		e	2 2	, t 0 ,	(2)
			2 2

	2
	2

где с определяется по формуле (1).

Замечание. Функция ненадежности для TN(a, )

	a	t a
FT (t) c			.	(3)

Найдем p(t).

p(t) P T t;

Таким образом,

p(t)

F ( ) F (t) c		1		t a	.

T	T		2

1		t a
с			– функция надежности,

	2


						(t a)2
				1
						2 2
					e	2 2

(t)	f (t)		2				– интенсивность отказов.
(t)	p(t)	1			t a		– интенсивность отказов.

		2
		2

Для TN(a, ) :

TN(a, ) : Tcp M (T ) a k – среднее время жизни.

(4)

(5)

(6)

(T )				1				ak			k 2 – cреднее квадратическое отклонение, (7)
(T )				1							k 2 – cреднее квадратическое отклонение, (7)

где
																					c							a2

															k											e 2 2 .																(8)

																					2
																					2
Действительно, найдем, например, M(T).
																								1												(t a)2
																																				2 2 dt
	M (T )						t cf (t)dt c																									t e
	M (T )						t cf (t)dt c																			2						t e
						0																				2					0
																	(t a)2																				(t a)2
		1																													a
																		2 2																				2 2
																		2 2																				2 2
c						(t a)e																dt													e					dt
c		2				(t a)e																dt								2					e					dt
		2				0																								2				0

	c												(t a)2																		1								(t a)2
														2 2																									2 2
			(t a)e																dt a c																e						dt
			(t a)e																dt a c																e						dt
	2 0																																2		0
				c										(t a)2									(t a)2
				c											2			2					(t a)2
										e										d													a p(o)
																													2

					2																					2
					2				0																	2
						c										(t a)2



												e						2 2									a k a .
																		2 2

							2
							2
																									0
																									0

ff(tt)	Плотность вероятностей
ff(tt)
0.0004
0.0003
0.0002
0.0001
	1000	2000	3000	4000	5000	t, час
λ(t)	Интенсивность отказов
λ(t)
t
0.0030
0.0025
0.0020
0.0015
0.0010
0.0005
	1000	2000	3000	4000	5000 t, час
p(t)	Функция надежности
p(t)
p t
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
						t, ч
	1000	2000	3000	4000	5000	t час
	1000	2000	3000	4000	5000
Рис. 1. Графики		f (t), (t),	p(t)	для TN(2000,1000)

f(t)			Плотность вероятностей
f(t)
f	t
0.0004
0.0003
0.0002
0.0001
							ас
			1000	2000	3000	4000	5000 t, ч
λ(t)			Интенсивность		отказов
λ(t)
	t
0.004
0.003
0.002
0.001
			1000	2000	3000	4000	5000 t, час
p(t)			Функция надежности
p(t)
p t
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
							t, ч
							t час
			1000	2000	3000	4000	5000
		Рис. 2. Графики		f (t), (t),	p(t) для TN(1000,1000)

Пример 1. Время наработки изделия на отказ распределено по закону TN(2000 ч,1000 ч) . Найти Тср, (Т ) , параметры надежности при t = 2000 ч.

Решение. По формуле (1):

c		1			1	1,02333.

	1		a	1	(2)
	1		a

	2			2

По формуле (9):

	c					a2		1,02333								4 106			1,02333				e 2 0,05525.
k	c		e			2 2		1,02333					e			2 106			1,02333
k			e			2 2							e			2 106
	2											2								2
По формуле (6):
			Tcp a k 2000 55,25 2055,25 (ч) .
По формуле (7):

(T ) 1000	1			a	k k 2					1000					1 2 0,5525 (0,05525)2									1052, 4 (ч) .
(T ) 1000	1				k k 2					1000					1 2 0,5525 (0,05525)2									1052, 4 (ч) .
По формуле (3):
							f (2000)								c		0,000408					1	.

														2
														2								ч
По формуле (4):
									1						2000 a						1
		p(2000) c																c					0,512 .
		p(2000) c																c					0,512 .
											2										2

По формуле (5):

(2000) pf (2000)(2000) 0,0008 1ч .

§ 9. Логарифмически нормальное распределение

Определение 1. Пусть СВ Т принимает положительные значения. Т называется распределенной по логарифмически нормальному закону LN(a; ) , если X ln(T ) , распределена по нормальному закону N (a; ) .

Замечание.

FT (t) P(T t) P(ln(T ) ln(t)) Fln(T ) (ln(t))

Таким образом,

	1	ln t a
FT (t)			,
	2

или

1	ln t a
		.
2

(1)

		F (t)					1		1		(ln t a)		t2

												e		2 dt .				(2)
												e		2 dt .				(2)
		T				2			2
						2			2	0
										0
Поэтому
		1					(ln t a)2							1			(ln t a)2

								2 2			(ln t a)						2 2
fT (t) FT	(t)				e											e		. (3)
fT (t) FT	(t)		2		e										2 t	e		. (3)
			2												2 t
Можно показать также, что
												2
					T			M (T ) ea 2 .										(4)
						cp
				D(T ) e2a 2 (e 2								1) .						(5)

Замечание. Логарифмически нормальное распределение применяют при рассмотрении случайных величин, являющихся произведением большого числа независимых случайных величин. Подобно тому, как распределение

N (na; n ) применяют при рассмотрении суммы Sn X1 ... Xn одинако-

во распределенных независимых случайных величин, таких что M (Xi ) a, ( Xi ) , i (центральная предельная теорема).

f(t)		Функция плотности вероятности
f(t)
f	t
0.0012
0.0010
0.0008
0.0006
0.0004
0.0002
					час
					t, ч
		500	1000	1500	2000
λ(tt)		Функция интенсивности отказов
λ(tt)
0.0035
0.0030
0.0025
0.0020
0.0015
0.0010
0.0005
					t, час
		500	1000	1500	2000
p(t)		Фу нкция надежности
p(t)
p t
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
					t, ч
					t	час
		500	1000	1500	2000
Рис. 1. Графики		f (t), (t),	p(t) для распределения LN(6,94 ; 0,33)

§ 10. Гамма-распределение

Определение 1. Случайная величина Т имеет гамма-распределение( , ) , если ее функция распределения

	F (t) I ( , t)	1	t
			x	1e	xdx ,	(1)
			x	1e	xdx ,	(1)
	T	( ) 0
		( ) 0
где I ( , t) – неполная гамма-функция (см. § 6);
0, 0	– параметры распределения; t 0 .

Замечание.

f (t) F (t)

Таким образом,

x e

( t)

( ) 0

( )

t 1e t .

( )

f (t)	1		t 1e t			– функция плотности вероятностей,		(2)
f (t)	( )		t 1e t			– функция плотности вероятностей,		(2)
	( )
					1		x 1e xdx – функция надежности,
p(t) 1 I ( , t)					1			(3)
p(t) 1 I ( , t)								(3)
					( ) t
(t)		f (t)		t 1e t			– функция интенсивности отказов.	(4)
(t)							– функция интенсивности отказов.	(4)
		p(t)
		p(t)		x 1e xdx
				x 1e xdx
				t

Из формулы (2) видно, что для (1, ) f (t) e t и, следовательно, распределение (1, ) совпадает с Ex( ) .

f(t)		Плотность вероятностей
f(t)
f	t
0.0006
0.0005
0.0004
0.0003
0.0002
0.0001
					t,	ч
					t,	час
	1000	2000	3000	4000	5000
λ(tt)		Интенсивность отказов
λ(tt)
0.0025
0.0020
0.0015
0.0010
0.0005
					t, ч
					t час
	1000	2000	3000	4000	5000
p(t)		Функция надежности
p(t)
p t
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
					t, час
	1000	2000	3000	4000	5000
Рис. 1. Графики		f (t), (t), p(t) для распределения Г(5;1/300)

ff(tt)		Плотность вероятностей
ff(tt)
0.0004
0.0003
0.0002
0.0001
							t, ч
							t	час
	1000	2000	3000	4000	5000	6000	7000
λ(t)			Интенсивность отказов
λ(t)
t
0.0008
0.0007
0.0006
0.0005
							t, ч
							t час
0	1000		2000	3000	4000		5000
p(t)		Функция надежности
p(t)
p t
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
								t, ч
								t час
1000	2000		3000	4000	5000	6000	7000
Рис. 2. Графики		f (t), (t), p(t) для распределения Г(1/2;1/3000)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 147 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.11.20255.26 Mб0Электрофизические и электрохимические методы обработки материалов.pdf
#
30.11.20251.37 Mб0Элементы автоматики.pdf
#
30.11.20252.36 Mб0Элементы и детали оптических приборов.pdf
#
30.11.2025964.02 Кб0Элементы инженерно-геодезических изысканий в дорожном строительстве.pdf
#
30.11.20252.12 Mб0Элементы математического программирования.pdf
#
30.11.20252.21 Mб0Элементы математической теории надежности.pdf
#
30.11.20251.34 Mб0Элементы медицинских приборов и систем.pdf
#
30.11.20252.19 Mб0Элементы молекулярной и статистической физики.pdf
#
30.11.20251.79 Mб0Элементы приборов.pdf
#
30.11.20251.8 Mб0Элементы программирования на VBA.pdf
#
30.11.2025810.12 Кб0Элементы САПР гидропневмосистем.pdf