Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Элементы математической теории надежности

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.11.2025

Размер:

2.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

ff(tt)	Фу нкция плотности вер оятности
ff(tt)
0.00025
0.00020
0.00015
0.00010
0.00005
						t, ч
						t	час
2000		4000	6000	8000	10 000	12 000
λ(tt)		Функция интенсивности отказов
λ(tt)
0.0030
0.0025
0.0020
0.0015
0.0010
0.0005
						t t,час
2000		4000	6000	8000	10 000	12 000
ppt(t)		Фу нкция надежности
ppt(t)
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
						t часt, ч
2000		4000	6000	8000	10 000	12 000
Рис. 2. Графики	f (t), (t),		p(t) для распределения N(5000 ч; 1500 ч)

ff(tt)	Плотность вероятности
ff(tt)
0.0004
0.0003
0.0002
0.0001
								t t,часч
1000	2000	3000	4000					5000
λ(tt)	Интенсивность отказов
λ(tt)
0.0025
0.0020
0.0015
0.0010
0.0005
									час
								t	t, ч
1000	2000	3000	4000					5000
p(t)	Фу нкция надежности
p(t)
p t
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
									t, ч
									t час
1000	2000	3000		4000				5000
Рис. 3. Графики f (t), (t),		p(t) для		1	10		1
Рис. 3. Графики f (t), (t),		p(t) для	R		10	3
				2			ч

График (t) в распределении R( ) прямо пропорционально зависит

от t. Поэтому этот закон применяют для исследования систем с ярко выраженным эффектом старения.

Так как
Так как		p (t) f (t), то точка локального максимума для функции
y f (t) t0		1				будет точкой перегиба для функции p(t) .


			2
			2
Найдем еще M (T ) и D(T ) . По формуле (9) § 3

							M (t) T								p(t)dt e ( t)2 dt
									ср
											0						0

				1																1						1
						e ( t)2 d ( t)							x t									e x2 dx								,

																												2
						0																0						2
						0																0
	e x2 dx
так как	e x2 dx							– интеграл Пуассона. Таким образом,

											T							.													(5)
											T							.													(5)
												ср				2
																2
По формуле (10) § 3

	D(T )						2t p(t)dt M								2 (T ) 2t e ( t)2 dt
	D(T )						2t p(t)dt M								2 (T ) 2t e ( t)2 dt														4 2
							0										0												4 2
			1				e ( t)2 d ( t)2														1		e ( t)2


			2											4 2							2				0		4 2
			2			0															2
						0
											1								4					.
															4 2									.
											2				4 2				4 2
Таким образом,					D(T )				4	.																					(6)
Таким образом,					D(T )					.																					(6)
									4 2
Пример 1. Время Т наработки системы на отказ распределено по за-
кону R( ) . При этом интенсивность отказов (t)																									при t = 1000 ч равна
(1000)	1	1
					.
					.
500		ч

Найти:

1)вероятность безотказной работы системы в течение 500 ч;

2)f (500), (500) ;

3)Tср .

Решение.

		(1000) 2 2 1000						1		2	10 6; 10 3							1	.
		(1000) 2 2 1000								2	10 6; 10 3								.
								500										ч
Тогда:
				1
						0,7788 ;
1)	p(500) e ( 500)2 e			4		0,7788 ;
	f (500) 2 2 500e ( 500)2 2								500 10 6				1	10 3		1	0,7788 10 3			1

2)												e	4		e	4					;
2)												e	4		e	4				ч	;
																				ч
(500) 2 2 500 10 3					1		;
(500) 2 2 500 10 3							;
					ч

3)	Tср		500 886			ч.

		2
		2

7.4. Распределение Вейбулла.

Определение 2. Случайная величина Т называется распределенной по закону Вейбулла W ( , ) , если ее функция распределения

F (t) 1 e ( t) , 0, 0 – параметры распределения, t 0 .						(7)
T
Замечание.
	p(t) 1 F	(t) e ( t)			– функция надежности,	(8)
	T
			t	1 ( t)	– функция плотности
f (t) FT (t)			t	e	– функция плотности
	распределения вероятностей,					(9)
(t) t 1 – функция интенсивности отказов.						(10)
При 1	W (1; ) становится экспоненциальным распределением Ex( ) .
При 2	W (2; ) становится распределением Рэлея R( ) .

f(t)		Плотность вероятностей								λ(tt)		Интенсивность отказов
		Плотность вероятностей

f t
										0.0014
0.00025
										0.0012
0.00020										0.0010
										0.0010
0.00015										0.0008
										0.0008
0.00010										0.0006
										0.0006
0.00005										0.0004
										0.0004
									t, ч							t, ч
								t	час							t	час
		1000	2000		3000		4000			0		1000		2000	3000	4000
			p(tt)				Функция надежности
			p(tt)
			0.40
			0.35
			0.30
			0.25
			0.20
			0.15
													t	t,часч
			0		200	400		600	800	1000	1200	1400
	Рис. 4. Графики				f (t),		(t),	p(t)	для распределения				W (0,3 ; 0,01			1
					f (t),		(t),	p(t)					W (0,3 ; 0,01			ч)

f(t)		Плотность вероятностей								λ(t)		Интенсивность отказов
		Плотность вероятностей

f t											t
0.0007										0.0030
										0.0030
0.0006										0.0025
										0.0025
0.0005										0.0020
										0.0020
0.0004
0.0003										0.0015
0.0003
0.0002										0.0010
0.0002
0.0001										0.0005
0.0001																t, ч
									t t,часч							t, ч
									t t,часч							t час
		1000	2000		3000		4000	5000				1000	2000	3000	4000	5000
				p(t)			Функция надежности
			p	p(t)
			p		t
			1.0
			0.8
			0.6
			0.4
			0.2
													t часt, ч
						1000		2000		3000		4000
	Рис. 5. Графики				f (t), (t),			p(t)	для распределения W (1,5 ; 0,001							1)
																ч
54

ff(tt)	Плотность вероятностей									Интенсивность отказов
ff(tt)									λt(t)
									λt(t)
0.0014									0.030
0.0012									0.025
									0.025
0.0010									0.020
									0.020
0.0008									0.015
0.0006									0.015
0.0006
0.0004									0.010
0.0004
0.0002									0.005
0.0002								t, ч						ч
								t, ч						ч
								t час						t,час
	500	1000		1500			2000			500		1000	1500	2000
		p(t)			Функция надежности
		p(t)
		p t
		1.0
		0.8
		0.6
		0.4
		0.2
											t, час
					500		1000		1500	2000
	Рис. 6. Графики		f (t),			(t),	p(t)	для распределения						1
	Рис. 6. Графики							для распределения				W (4 ; 0,001 ч)
												W (4 ; 0,001 ч)
Найдем М(Т) и D(Т).

									( t) x
													1
M (t) T					e ( t) dt				t		1	x
M (t) T					e ( t) dt				t			x
		ср			0
					0
										1	1			1	1
								dt				x			1
																dx
																dx

	1		1	1			1	1			1	1
	1			1			1	1			1	1
		x			e	xdx										1 .
		x			e	xdx										1 .
0
0

Таким образом,

	1	1
Tср			1 .	(11)
Tср			1 .	(11)


	D(T )				2t p(t)dt M 2 (T ) 2t e ( t) dt M 2 (T )
					0																	0
																		1	( t) x							1		1
																			( t) x
															1					1			1
											t					x ; dt								x
																													dx
																													dx

	1	1		1			1			1		1															1				2	1
												1																				1
2			x					x						e xdx M 2 (T ) 2																x		e xdx M 2 (T )
2			x					x						e xdx M 2 (T ) 2											2					x		e xdx M 2 (T )
0																									2					0
		2				2			1								1					1					2						1
													2						1										1		2			1 .
			2						2				2						1										1		2			1 .
			2						2												2

Таким образом,

	1	2			1
D(T )			1	2		1 .
D(T )	2		1	2		1 .
	2

(12)

Пример 2. Время Т наработки системы на отказ распределено по закону Вейбулла W (0,4; ) . При этом интенсивность отказов (t) в момент

времени t = 1000 ч равна (1000) 5 10 4 1ч . Найти:

1)вероятность безотказной работы системы за это время;

2)Tср .

Решение.

1) По формуле (10):

(t) 0,4 0,4 t 0,6 ; (1000) 0,4 0,4 10 1,8 5 10 4 ;

0,4 5 10 4 101,8 25 10 2,2 .

0,4 2

По формуле (8):

p(t) e ( t)0,4 e 0,4 t0,4 .

p(1000) e	0,4	1,2		25	10 2,2	101,2		25	10 1	e 1,25 0,2865 .

		10	e	2			e	2

2) По формуле (11)

								1						5			1			1
					Tср					1								3				.
					Tср					1				2				3		2		.
														2						2
Далее (см. пример 1 § 6)
					1		5!!						1		15				1		3,3233.
		T			1		5!!						1		15				1
		T
			ср			23										8
						23										8
									5
	25							25														1
Так как 0,4	25	10						25			2											1
				2,2 , то								10 5,5 и Tср											105,5	3,3233 1902	ч.
				2,2 , то								10 5,5 и Tср										5	105,5	3,3233 1902	ч.
	2									2												5

																				25 2
																				25 2


																						2

Упражнения

7.1. Нерезервированная невосстанавливаемая система состоит из трех последовательно соединенных элементов. Время жизни элементов

				1				1						1
распределено по закону Рэлея	R	3 10	3		, R	4	10 3		, R		5	10	3		.

				ч				ч						ч
Определить показатели надежности системы:					p(t),		f (t), (t),			Tср.			Опре-

делить время, в течение которого система будет исправна с вероятностью p 0,9.

Ответ. (t) 0,0001t ,	p(t) e 0,00005t2 ,	f (t) 0,0001t e 0,00005t2 ,
Tcp 125 ч , t 46 ч .
7.2. Нерезервированная	система состоит	из n последовательно

соединенных элементов, время жизни которых R( i ), i 1, ..., n .

1) Найти показатели надежности системы.

2) Определить по какому закону распределено время жизни системы.

Ответ. 1)

p(t) e

i 1

;

i 1

;

f (t) p (t) 2

i 1

(t) 2

i2 t .

i 1

... 2n

7.3. Резервированная невосстанавливаемая система состоит из двух параллельно соединенных элементов (постоянно включенный резерв).

			1
Время жизни каждого элемента R		5 10 3			. Определить показатели
Время жизни каждого элемента R		5 10 3			. Определить показатели
			ч
надежности	системы: p(t), f (t), (t),	Tср .	Определить			Tср	для	одного
элемента, выигрыш в надежности kT .
Ответ.	p(t) 2 e 25 10 6 t2 e 50 10 6 t2 , T			229 ч ,		Тср	(для	одного
		cp

элемента) = 177 ч, kT 1,29 .

7.4. Время Т наработки элемента на отказ распределено по закону Вейбулла W ( ; ) . При этом интенсивность отказов (t)

(100 ч) 2 10 4 1ч , (200 ч) 4 10 4 1ч . Найти :

1)параметры ; ;

2)показатели надежности при t = 2000 ч;

3)Tср , D(T).

Ответ.

1)2, 10 3;

2)f (2000) 7,326 10 5 1ч , p(2000) 0,018 , (2000) 4 10 3 1ч ;

3) Т 500 886 ч , D(T ) 0,215 106 1 .

ср	ч2

7.5. Нерезервированная система состоит из 8 последовательно соединенных элементов, время жизни которых распределено по закону W (3; ) . Определить по какому закону распределено время жизни систе-

мы.

Ответ. T ~ W (3, 2 ) .

7.6. Время Т наработки детали на отказ распределено по закону Рэлея

		10		1		p(t), f (t), (t)
R	5		3		. Найти показатели надежности работы детали

				ч

при а) t = 10000 ч, б) t = 20000 ч. Найти Tср , D(T).
7.7. Время Т наработки системы на отказ распределено		по закону
R( ) , при этом интенсивность отказов	(t) при t =	5000 ч

(5000) 10 2 1ч . Найти:

1)параметр ;

2)Tср , D(T);

3) показатели надежности работы системы p(t), f (t), (t) а) через 1 месяц, б) через полгода (считать, что в году 8760 ч).

Ответ. (4380) 8,76 10 3 1ч ; f (4380) 4,08 10 11 1ч , p(4380) 4,66 10 9 ,

0,001 1ч ; Тср 886 ч, D(T ) 2,15 105 ч2 .

7.8.Нерезервированная система состоит из двух последовательно со-

единенных элементов. Время жизни 1-го элемента распределено по закону

		1				10		1
Ex 10	4		, 2-го –	R	5		3		. Найти:

		ч						ч

1)показатели надежности системы;

2)Tср .

7.9. Время Т наработки элемента на отказ распределено по закону Вей-

булла W (2; ) . При этом интенсивность отказов (1000 ч) 10 3 1ч . Найти:

1)параметр ;

2)показатели надежности через t = 2000 ч;

3)Tср .

	Ответ.					1		10 3						1	; f (2000) 0,00027				1	, p(2000) 0,135 ,


						2								ч					ч
(2000) 0,00196							1		;		Т			1253 ч .
(2000) 0,00196									;		Т	ср		1253 ч .
							ч					ср
							ч
	7.10. Время Т наработки устройства на отказ распределено по закону
	2		1
W		; 10	3		. Найти Тср, D(T), показатели надежности через t = 2000 ч.
W		; 10			. Найти Тср, D(T), показатели надежности через t = 2000 ч.
	3			ч
																p(2000) e				3 4	, D(T ) 4,23	6		2
	Ответ.				T	750							1329 ч ;							3 4		6	ч	2	;
	Ответ.				T	750							1329 ч ;									10	ч		;
					cp
f (2000) 1,08 10 4										1	, (2000) 5,3 10 4						1	.
f (2000) 1,08 10 4											, (2000) 5,3 10 4							.
										ч							ч

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.11.20255.26 Mб1Электрофизические и электрохимические методы обработки материалов.pdf
#
30.11.20251.37 Mб0Элементы автоматики.pdf
#
30.11.20252.36 Mб1Элементы и детали оптических приборов.pdf
#
30.11.2025964.02 Кб1Элементы инженерно-геодезических изысканий в дорожном строительстве.pdf
#
30.11.20252.12 Mб0Элементы математического программирования.pdf
#
30.11.20252.21 Mб0Элементы математической теории надежности.pdf
#
30.11.20251.34 Mб0Элементы медицинских приборов и систем.pdf
#
30.11.20252.19 Mб0Элементы молекулярной и статистической физики.pdf
#
30.11.20251.79 Mб0Элементы приборов.pdf
#
30.11.20251.8 Mб0Элементы программирования на VBA.pdf
#
30.11.2025810.12 Кб0Элементы САПР гидропневмосистем.pdf