Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Элементы математической теории надежности

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.11.2025

Размер:

2.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Тогда функцию надежности pc (t) системы найдем по формуле полной вероятности (18).

pc (t) Cnm pm (t)(1 p(t))n m Cnm 1pm 1(t)(1 p(t))n m 1 ... pn (t) (18)

	n	p(t))n k ,
	Ck pk (t)(1	p(t))n k ,
	n
	k m

где p(t) – функция надежности каждого элемента.

Найдем функцию плотности вероятностей распределения времени наработки на отказ

	m	p	m 1	(1	p)	n m	f (t) ,	(19)
fc (t) pc (t) mCn

где f(t) – функция плотности вероятностей для каждого элемента. Действительно:

k p

k 1

n k

f (t)

n 1

(n k)(1 p)

n k 1

fc (t) pc (t)

Cn p

k m

n 1

pk 1(1 p)n k f (t)

pk (1 p)n k 1

k m (k 1)!(n k)!

k m k!(n k 1)!

pm 1(1 p)n m

pk 1(1 p)n k

f (t)

1)!(n m)!

k m 1 (k 1)!(n k)!

n 1

pk (1 p)n k 1 f (t)

pm 1(1 p)n m

k m k!(n k 1)!

(m 1)!(n m)!

m Cnm pm 1(1 p)n m f (t) .

f (t)

f(t)

(20)

Данный тип резервирования используется в цифровых устройствах, когда сигнал в двоичном коде (логическое 0 или 1) подается на систему вида (17), состоящую из нечетного числа элементов одинаковой надежности.

Для нормальной работы системы необходимо, чтобы сигнал проходил без искажений большинство элементов (закон большинства, или мажоритарный закон). На практике часто рассматривают системы «2 из 3-х» или

«3 из 5».

Пример 6. Рассмотрим систему «2 из 3-х»:

1
1


2		4


	3
	3

Сигналы на входе и выходе элементов – в двоичном коде. Сигнал на выходе четвертого элемента формируется по мажоритарному принципу из 3 входящих и равен значению большинства. Элементы 1, 2, 3 – равнона-

дежны: p1(t) p2(t) p3(t) p(t) .

Для нормальной работы такой системы необходимо и достаточно, чтобы работали без искажений хотя бы 2 из 3 первых элементов и 4-й элемент.

Тогда, используя формулу (18), получим

pc (t) ( p3(t) C32 p2(t)(1 p(t)) p4(t) (3 p2(t) 2 p3(t)) p4(t) .

Предположим, что p1 p2 p3 p4 e t и найдем выигрыш k p в

надежности по вероятности безотказной работы системы при сравнении ее с системой

p(t)

k p

p (t)

3 p3 2 p4

3 p 2 p

p2 (t)

Решим неравенство k

1; 3 p 2 p2 1.

при p(t)

2 p2 3 p 1

0 p

; 1

, т.е.

надежность системы,

по сравнению с нерезервированной, больше. Найдем интервал времени:

e t	1	0 t	ln 2	.

	2

Найдем Tcp , c .

Tcp p(t)dt

c (t)

(3 p3

2 p4 )dt (3e 3 t 2e 4 t )dt

(3e

3 t

4 t

(9 8e

)

pc (t)

)

;

pc (t)

3e 3 t 2e 4 t

3 2e t

c (0) и lim c (t) 3 .

Упражнения

5.1. Нерезервированная

невосстанавливаемая

система

состоит

из

3 последовательно

соединенных

элементов. Время жизни элементов

экспоненциальное:

Ex(0,0002

) ,

Ex(0,0003

) , Ex(0,0005

) . Определить

показатели надежности системы:

p(t), f (t), (t), Tср

. Определить время, в

течение которого система будет исправна с вероятностью p 0,9.

5.2. Резервированная

невосстанавливаемая

система

состоит

из

2-ух параллельно соединенных элементов (постоянно включенный резерв).

Время жизни каждого элемента Ex(0,0005 1ч) . Определить:

а) показатели надежности системы: p(t), f (t), (t), Tср ; б) выигрыш в надежности kT , k p , k при t = 2000 ч.

Ответ.

а) p(t) 2e 0,0005t e 0,001t ,

f (t) 0,001(e 0,0005t		e 0,001t ) ,
	0,001(e0,0005t 1)	,
	2e0,0005t 1

Tcp 3000 ч, Tcp (для одного элемента) 2000 ч .
5.3. Нерезервированная система состоит из			2-х последовательно
соединенных элементов. Время жизни каждого			U (0; 1000 ч) . Найти

показатели надежности системы. Найти Tср.

5.4. Невосстанавливаемая система состоит из 2-х параллельно соединенных элементов. Время жизни каждого U (0; 1000 ч) . Найти

показатели надежности системы. Найти Tср .

5.5. Система состоит из пяти параллельно соединенных элементов.

Время наработки на отказ каждого Ex 0,001

. Для нормальной работы

системы необходимо, чтобы работали хотя бы 3 из 5 элементов:

0. у.

0.у.

(резерв кратности

Пусть Т – время наработки на отказ системы. Написать формулы для

p(t), f(t), найти Tcp .

Ответ: Tcp 783 ч.

5.6. Время наработки

элемента на

отказ

Ex 10

. Определить

кратность его резервирования такими же элементами, чтобы вероятность безотказной работы системы в течение t = 1500 ч была равна 0,9.

Ответ: 9.

5.7. Рассмотрим резервированную систему (резерв замещением кратности 1):

		1
Ex 10	3
Ex 10
		ч



		1
Ex 10	3
Ex 10
		ч

а) Найти показатели надежности.

б) Определить выигрыш в надежности kT , k p , k при t = 2000 ч.

Ответ: kT 2, k 1,5, k p 3, Tcp 2000 ч.

5.8. Система состоит из трех параллельно соединенных элементов.

			1
Время наработки на отказ каждого	Ex 10	3		.	Для нормальной работы

			ч

системы необходимо, чтобы работало хотя бы 2 элемента из 3-х:

а) Найти показатели надежности работы системы.

б) Определить выигрыш в надежности k p при сравнении ее с системой

			1
Ex 10	3
Ex 10
			ч



Ответ: k		p		3 е 0,001t 2 e 0,002t .
		p

§ 6. Гамма-функция и ее свойства

Определение 1. Несобственный интеграл

	xz 1e xdx,
Г(z)	xz 1e xdx,	(1)
0

где z 0 , называется эйлеровым интегралом 2-ого рода, а функция Г(z) переменной z называется гамма-функцией Эйлера. При этом функция

xz 1e xdx

I (z,t)	0		(2)

		Г(z)

называется неполной гамма-функцией.

Замечание. Проинтегрируем по частям интеграл (1):

xdx

u e x du e x

xz 1e

z 1

1 z

x xz

dv x

dx v x

Таким образом,

Г(z 1) z Г(z), z 0 .

	1
xze xdx		Г (z 1) .
	z

(3)

Так как Г(1) 1, то из формулы (3) следует:

Г(2) 1 Г(1) 1,	Г(3) 2 Г(2) 2 1 2! Г(4) 3 Г(3) 3 2! 3! …
Г(n) (n 1) Г(n 1) (n 1) (n 2)! (n 1)!
Таким образом,			Г(n) (n 1)!.
						(4)
Еще одно соотношение для функции Г(z) :
			Г(z) Г(1 z)
					.	(5)
				sin( z)
Поэтому при z		1	получим:
	2

									1					1
								Г2			Г				.
									2					2
Далее, используя формулу (3), получим:
		1				1						1			1			3		3	...
Г n		2		n		2		Г		n			n		2	n		2	Г n		...
		2				2						2			2			2		2
	1		3	...	1					1		(2n 1)(2n 3) ... 1								(2n 1)!!		.
n	n			...	2		Г							2n							2n	.
	2		2		2					2				2n							2n
То есть
				Г					1		(2n 1)!!					,	n N .					(6)
				Г	n							2n				,	n N .					(6)
									2			2n
Замечание. Перепишем формулу (3) в виде:
										Г(z) Г(z 1) ,												(7)
													z
что позволяет доопределить функцию Г(z)																для отрицательных значений z.
									Гр афик фу нкции Г z
								Г(z)
								Г z
							15
							10
								5
																						zz
	2															2					4
								5
							10
								Рис. 1. График функции Г(z)

Пример 1. Найти Г 3 1 .

2

Решение. По формуле (6):

	1		(2 3 1)!!						5!!				1 3 5			15
	1		(2 3 1)!!						5!!				1 3 5			15		.
Г 3		=
Г 3		=		23
	2			23					8				8			8
							Упражнения
					1					2
6.1. Вычислить 1)				Г		1 ; 2)		Г			1	, если а) 0,2 ; б) 0,4 .
6.1. Вычислить 1)				Г		1 ; 2)		Г			1	, если а) 0,2 ; б) 0,4 .

																	1
														Г(z)Г z
														Г(z)Г z
6.2. Проверить			справедливость						формулы								2				при
																	2
															Г(2z)				2	2z 1
																				2z 1

z2; 52 ; 3.

6.3.Вычислить:


а)	lim (x 1) (x) ;
	x 1
б)	lim (x 2) (x) ;
	x 2
в)	lim (x 3) (x) .
	x 3
Ответ: а) –1; б)		1	; в)	1	.
Ответ: а) –1; б)			; в)		.
	2			6

§7. Некоторые законы распределения времени наработки на отказ

7.1.Экспоненциальный закон Ex( ) . Подробно рассмотрен в §§ 2, 3.

F (t) 1 e t ; p(t) e t ; (t) ; f (t) e t ; T									1 .
								ср
	Функция плотности вероятности
f(t)
f t
0.00030
0.00025
0.00020
0.00015
0.00010
0.00005
									t	t, ч
									t	час
2000	4000	6000	8000	10 000		12 000		14 000
	Фу нкция интенсивности отказов
λ(t)
0.0006
0.0005
0.0004
0.0003
0.0002
0.0001
									t	t, ч
									t	час
2000	4000	6000	8000	10 000		12 000		14 000
Рис. 1. Графики f (t), (t), p(t) для Ex						1	1
Рис. 1. Графики f (t), (t), p(t) для Ex
					3000 ч
48

			Функция надежности
p(t)
p	t
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
							t	t, ч
							t	час
	2000	4000	6000	8000	10 000	12 000	14 000

Рис. 1 (Окончание)

7.2. Нормальный закон N(a; ); 3 a . Подробно рассмотрен в §§ 2, 3.

	1		(t a)2			1	t a
			2	2
				2
f (t)		e			, F (t)			,
f (t)		e			, F (t)			,
	2					2

	1	t a	; (t)	f (t)
p(t)					; Tср а .
	2			p(t)

7.3. Распределение Рэлея R( ) .

Определение 1. Случайная величина Т называется распределенной по

закону Рэлея R( ) , если ее функция распределения
	F (t) 1 e ( t)2 ; 0 – параметр распределения.					(1)
	T
Замечание.
		p(t) 1 F(t) e ( t)2 – функция надежности,				(2)
	2	( t)2		– функция плотности распределения вероятностей,		(3)
f (t) F (t) 2 t e
	(t)		f (t)		2 2t – функция интенсивности отказов.	(4)

			p(t)

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.11.20255.26 Mб0Электрофизические и электрохимические методы обработки материалов.pdf
#
30.11.20251.37 Mб0Элементы автоматики.pdf
#
30.11.20252.36 Mб1Элементы и детали оптических приборов.pdf
#
30.11.2025964.02 Кб0Элементы инженерно-геодезических изысканий в дорожном строительстве.pdf
#
30.11.20252.12 Mб0Элементы математического программирования.pdf
#
30.11.20252.21 Mб0Элементы математической теории надежности.pdf
#
30.11.20251.34 Mб0Элементы медицинских приборов и систем.pdf
#
30.11.20252.19 Mб0Элементы молекулярной и статистической физики.pdf
#
30.11.20251.79 Mб0Элементы приборов.pdf
#
30.11.20251.8 Mб0Элементы программирования на VBA.pdf
#
30.11.2025810.12 Кб0Элементы САПР гидропневмосистем.pdf