Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Элементы математической теории надежности

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.11.2025

Размер:

2.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 144 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

§5. Показатели надежности для сложных систем

5.1.Техническая система может быть невосстанавливаемой и восстанавливаемой. В последнем случае она продолжает работу после устранения отказа. При анализе работы таких систем рассматривают потоки случайных событий (потоки отказов и потоки восстановлений).

Для повышения надежности системы применяют структурное резервирование, когда в систему включают резервные единицы, которые, в случае отказа основного устройства, продолжают выполнять его функции. Резервирование может быть общим и поэлементным. Отношение числа np

резервных элементов к числу n0 основных называется кратностью резер-

вирования.

Можно также резервировать элементы подсистем в системе. Кратность в различных резервируемых подсистемах может быть различной. Если она одинакова, то ее называют кратностью резервирования всей

системы.

Пример 1.

Тип			Логическая схема		Комментарий
резервирования			Логическая схема		Комментарий
резервирования
Общее резерви-	0				Целая
рование, посто-				Осн. устр.	кратность 3
янно включен-
янно включен-
ный резерв
ный резерв				1




				2
				2


				3
				3

Резервирование					Целая крат-
Резервирование					Целая крат-
замещением		Осн. устр.			ность 3
замещением		Осн. устр.			ность 3

	0

		1
		1


		2
		2


		3
		3

Тип				Логическая схема					Комментарий
резервирования				Логическая схема					Комментарий
резервирования
Поэлементное, с									Целая крат-
постоянным ре-									ность 2
постоянным ре-		0				0		0	ность 2
зервом		0				0		0



		1				1		1
		1				1		1


		2				2		2
		2				2		2


Поэлементное,									Целая
замещением									кратность 1

	0				0			0
	0				0			0


	1				1			1
	1				1			1


Поэлементное,									Для элемента
с постоянным									01 – целая
с постоянным			01				02		01 – целая
резервом			01				02		кратность 2,


									для эле-
									мента 02 –
			11				12		мента 02 –
									целая


									кратность 1

			21
			21


Поэлементное,									Дробная
с постоянным									кратность	1
										1
резервом
резервом									2
									2

Замечание. В случае резервирования замещением резервные элементы подключаются после отказа соответствующих основных.

Элементы 01 , 02 , 0 , в таблице соответствуют основному устройству.

5.2. Рассмотрим нерезервированную невосстанавливаемую систему, логическая модель надежности которой:

1	2	n
1	2	n

Тогда функция надежности системы

	n
P (t) П p (t) ,			(1)
T	i 1	i
	i 1

где pi (t) – функция надежности i-го элемента.

Если (t) и i (t), i 1,... ,n функции интенсивности отказов системы и ее элементов, то, используя формулу (8) § 3, получим:

	t	t	n
	n i (t)dt			i (t) dt
p (t) П e 0		e 0	i 1
T	i 1
	i 1

(t) i (t) , (2)

i 1

то есть при последовательном соединении элементов интенсивности их отказов суммируются и дают интенсивность отказов системы.

В частности, если i (t) i const, i 1, 2, ..., n	(распределения
Ex( i ), i 1, 2, ..., n ), то из формулы (2) следует:
n
(t) i const,	(3)
i 1

то есть время жизни системы также распределено экспоненциально, при этом среднее время жизни

Tср	1	.	(4)

	n
	i
	i 1

Пример 2. Нерезервированная система состоит из 3-х последовательно соединенных элементов. Время жизни элементов – экспоненциальное:

Ex(0,0001	1	) ,	Ex(0,00008	1	) ,		Ex(0,00007					1	) .		Определить показатели
Ex(0,0001		) ,	Ex(0,00008		) ,		Ex(0,00007						) .		Определить показатели
	ч			ч								ч
надежности системы: , Tср , p(t),								f (t) .
Решение. По формулам (1)–(4):
										0,00025				1	;
						2			3	0,00025					;
			1			2			3					ч
														ч
			Tcp					1			4000 ч;


					0,00025

f (t) 0,00025e 0,00025t ;

p(t) e 0,00025t .

5.3. Рассмотрим резервированную невосстанавливаемую систему с постоянно включенным резервом кратности n:

Тогда функция ненадежности системы

	n	n	p (t)) ,
F (t) П F (t)		П (1	p (t)) ,	(5)
T	i 0 i	i 0	i
где Fi (t), i 0, ..., n – функции ненадежности элементов.
Поэтому
	n
	pT (t) 1 П (1 pi (t)) ,			(6)
	i 0

где pT (t), pi (t), i 0, ..., n – функции надежности системы и ее элементов.

ft (t)

t (t)

		n

pT (t) (1 p0 (t)) ... fi (t) ... (1 pn (t)) ;
		i 0
		n
	fT (t)	(1	p0 (t)) ... fi (t) ... (1	pn (t))
	fT (t)	i 0			.
			n		.

pT (t)	1	П (1	pi (t))
		i 0

(7)

(8)

Замечание. Из формулы (8) видно, что если время жизни элементов распределено по экспоненциальным законам, то время жизни системы не будет экспоненциальным.

Предположим,						что		p (t) e t , i ,										тогда p(t) 1 (1 e t )n 1 .
									i
Найдем Tср . По формуле (8) § 3:

			Т		ср		p(t)dt (1 (1 e t )n 1)dt
					ср
						0							0
	1 e t					x
	1 e t					x
		1								1	1	1 xn 1						1	1
	t			ln(1 x)												dx			(1 x ... xn )dx		(9)
	t			ln(1 x)												dx			(1 x ... xn )dx		(9)
											0		1 x						0
											0								0
	dt				dx

			(1 x)
								1				1		1	...			1
									1											.
									1			2		3						.
												2		3			n 1

Резервирование естественно предполагает повышение надежности системы. Выигрыш от введения резерва можно определить введя коэффициенты:

kT – выигрыш в надежности по Тср:

k =

Tcp резерв

;

(10)

T	Tcp нерезерв

k p – выигрыш в надежности по вероятности безотказной работы p(t):

k p =		pрезерв (t)		;	(11)
	pнерезерв (t)

k – выигрыш в надежности по интенсивности отказов (t) :
k =		нерезерв	.		(12)

		резерв

Пример 3. Резервированная невосстанавливаемая система состоит из 3-х параллельно соединенных элементов (постоянно включенный резерв кратности 2). Время жизни каждого элемента Ex( ) . Определить:

1)показатели надежности системы: p(t), f (t), (t), Tср ;

2)выигрыш в надежности kT , k p , k .

Решение. По формуле (6) p(t) 1 (1 e t )3 . Поэтому

p(t) 3e t 3e 2 t e 3 t ;

2 t

3 t

) ;

f (t) p (t) (3e

(t)

f (t)

(3e t

6e 2 t 3e 3 t )

(3 6e t 3e 2 t )

p(t)

3e t 3e 2 t e 3 t

3 3e t

e 2 t

По формуле (9)

Tcp

2) По формулам (10)–(12):

Tcp резерв

11 ;

Tcp нерезерв

2 t

3 t

резерв

3 3e

t e 2

t ;

e t

pнерезерв

k =

нерезерв

3 3e t

e 2 t

резерв

(t)

3 6e t

3e 2 t

Из расчетов видно, что lim (t) и

lim k 1;

lim k p 3.

Замечание.

Рассмотрим

формулу

(6)

предположим, что

p (t) p (t), i , тогда p

(t) 1 (1 p

(t))n 1 ;

1 p

(t) (1 p

(t))n 1,

сист

откуда, прологарифмировав, получим формулу (13):

ln(1 pсист )

(13)

ln(1 p )

которую можно использовать для нахождения кратности резервирования, которая бы обеспечивала необходимые показатели надежности системы.

Пример 4. Время наработки элемента на отказ Ex(10 3 1ч) . Опреде-

лить кратность его резервирования такими же элементами, чтобы вероятность безотказной работы системы в течение t = 1000 ч была 0.9.

Решение. p	(1000) 0,9 . p			e t . p		(1000) e 1 0,36788 .
сист			элемента		элемента
Тогда по формуле (13)		n	ln(1 0,9)		1 4,02 .

			ln(1 0,36788)

Округляя в большую сторону, получим n = 5.

Замечание. Необходимо отметить, что с ростом t кратность резервирования возрастает. Например, для вероятности p = 0,9 и распределения

Ex( )

n ln(1 0,9) 1 ln10 e t 1. ln(1 e t )

5.4. Рассмотрим резервированную невосстанавливаемую систему (резерв кратности 1, замещением):

Пусть f0(t), f1(t) – функции плотности вероятностей распределения времени наработки на отказ элементов; р0(t), р1(t) – функции надежности элементов, f(t), p(t) – аналогичные функции для системы. Тогда Т – время наработки системы на отказ: T T0 T1, где Т0, Т1 – время наработки на от-

каз элементов. Найдем p(t). Рассмотрим промежуток [0, t) и разобьем его на n частичных промежутков длины . Отказ 0-го элемента может произойти на любом из этих частичных промежутков. Пусть сi – точка отказа на i-м промежутке. Тогда по формуле полной вероятности

p(t) P(T t) p0 (t)	lim ( f0 (c1) p1(t c1) f0 (c2 ) p1(t c2 ) ...
	0
	(10)

f0 (cn ) p1(t cn )) p0 (t) f0 ( ) p1(t )d

или

p(t) p0(t) ( f0 * p1)(t) ,

(11)

где f0 p1 – свертка функций f0 (t), p1(t) . Далее

			t
	(t)
f (t) pt	(t)	( p0 (t) f0 ( ) p1(t )d )t
		0
			t


= f0 (t) f0 ( ) p1(t )			t ( f0 ( ) p1(t ))t d
= f0 (t) f0 ( ) p1(t )			t ( f0 ( ) p1(t ))t d
		0
	t		t
= f0 (t) f0 (t) f0 ( ) f1(t )d f0 ( ) f1(t )d .
	0	0
Таким образом
		t
	f (t) f0 ( ) f1(t )d ,			(12)
		0
или		f (t) ( f0 f1)(t) .
		f (t) ( f0 f1)(t) .		(13)

Аналогично, для резервирования замещением кратности n:

получаем формулы (14), (15):

p(t) p0(t) ( f0 p1)(t) ( f0 f1 p2)(t) ... ( f0 ... fn 1 pn)(t) .	(14)
f (t) ( f0 ... fn 1 fn )(t) .	(15)
p(t) можно находить такие же и по формуле (16):
t
p(t) 1 FT (t) 1 ( f0 ... fn )(x)dx .	(16)
0

Пример 5. Рассмотрим резервированную невосстанавливаемую систему (резерв замещением, кратности 1):

Ex(10 2 1ч)

Ex(2 10 2 1ч) .

Найдем показатели надежности p(t), f (t), (t), Tср системы.

			f	0	(t) e 0t ;											f (t) e 1t														;					p (t) e 0t													; p (t) e 1t ;
				0						0						1									1									0																			1
	p(t) e 0t											t	e 0						e 1(t )d e 0t																									t		e 1t e( 1 0 ) d
	p(t) e 0t												e 0						e 1(t )d e 0t																											e 1t e( 1 0 ) d
													0																																	0
											0																																0
e		t						t					1						(						)			t	e									t						0								t				(e			(					)t	1)
																												t

	0					0	e		1								e		1					0													0												e				1						1				0
						0						1 0																												1 0
												1 0																0												1 0
												0																0									0																	0
			e					t				0								t		e				t											0										t							0							t
							0								(e				0								1		)															e		0														e		1		;
							0							0	(e				0								1		)												0			e		0												0		e		1		;

											1																							1																			1
													f (t) p (t)														1 0									(e 0t e 1t ) ;
													f (t) p (t)																							(e 0t e 1t ) ;
																																		0
																											1							0
																											1					e 0t													0					e 1t
					T								p(t)dt														1																		0											dt
					T								p(t)dt																																											dt
						cp													0 1 0																							1 0
										0									0 1 0																							1 0
													1													0												1 0										1							1		.
													1													0
												(									(
											0	(				0		)			(									0		)							0												0
											0		1			0						1				1				0									0				1								0					1
Таким образом,
																																			t									t
																																	100 e
																p							(t) 2e										100 e										50 ,
																		резер
																															t										t					1
																											e												50							1
													f (t)						2 10						2				100 e																						,
													f (t)						2 10										100 e																						,
																																														ч

150 ч ,

(t)

f (t)

2 10

1 e

100

резер

p(t)

2 e

100

Найдем еще

выигрыши

kT , k p ,

k в

надежности системы по

Tср , p(t), (t) при сравнении ее с нерезервированной системой.

Tcp резерв

150

1,5 ;

Tcp нерезерв

100

p(t)резерв

100 e

100 ;

p(t)

нерезерв

e 100

10 2

нерезерв

k =

2 e

100

резерв

резер

1 e 100

2 2e 100

10 2

2 e

100

5.5. Рассмотрим резервированную систему из n элементов одинаковой надежности, для работы которой необходимо, чтобы работало не менее m элементов:

(17)

m + 1

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 144 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.11.20255.26 Mб1Электрофизические и электрохимические методы обработки материалов.pdf
#
30.11.20251.37 Mб0Элементы автоматики.pdf
#
30.11.20252.36 Mб1Элементы и детали оптических приборов.pdf
#
30.11.2025964.02 Кб1Элементы инженерно-геодезических изысканий в дорожном строительстве.pdf
#
30.11.20252.12 Mб0Элементы математического программирования.pdf
#
30.11.20252.21 Mб0Элементы математической теории надежности.pdf
#
30.11.20251.34 Mб0Элементы медицинских приборов и систем.pdf
#
30.11.20252.19 Mб0Элементы молекулярной и статистической физики.pdf
#
30.11.20251.79 Mб0Элементы приборов.pdf
#
30.11.20251.8 Mб0Элементы программирования на VBA.pdf
#
30.11.2025810.12 Кб0Элементы САПР гидропневмосистем.pdf