Элементы математической теории надежности

2) Вектор p распределения вероятностей состояний системы через

3) Для нахождения финальных вероятностей (q1, q2, q3) решим систему уравнений (11):

При этом необходимо учесть дополнительное условие q1 q2 q3 1.

Отбросим третье уравнение, т.к. оно является следствием двух первых (сумма двух первых уравнений дает третье). Получим систему

90

Умножая первое уравнение на –10, а второе на 5, получим:

6q1 q2 q3 0;q1 q2 q3 0;q1 q2 q3 1.

Решим систему по правилу Крамера, получим:

Замечание. Систему уравнений (8) можно переписать в виде:

Система (12) называется системой балансовых уравнений: слева стоит суммарный поток вероятностей переводящий систему из любого состояния в состояние sj; справа – суммарный поток вероятностей выводящий систему из состояния sj; j 1, 2, ..., n .

Пример 7. Для цепи Маркова из примера 4 составить систему балансовых уравнений и найти финальные вероятности.

Решение.

Проходя по вершинам цепи составляем систему уравнений,

91

Далее, отбрасывая 3-е уравнение, получим:

q2 3q1

3q1 2q3 3q2q3 3q4

q1 q2 q3 q4 1.

Решение системы:

(q1, q2, q3, q4 ) 1 ; 3; 3; 1 .8 8 8 8

Упражнения

13.1. Заданы матрица P ( pij ) j 1,2,3 вероятностного перехода цепи

i 1,2,3

Маркова и вектор p начального распределения вероятностей. Требуется:

1)построить граф состояний системы;

2)найти вектор p распределения вероятностей p состояний систе-

мы через 2 шага; 3) найти финальные вероятности.

92

93

§ 14. Потоки событий

Определение 1. Потоком событий будем называть последовательность однородных событий, появляющихся в случайные моменты времени.

Пример 1. Поток заявок на обслуживание, поток отказов элемента, поток его восстановлений.

Замечание. С потоком событий можно связать случайный процесс X(t) – число событий потока на промежутке времени 0, t (см. пример 2

§ 12). Для СП X(t) везде ниже будем рассматривать еще случайную величину X (t, t) X (t t) X (t) – число событий потока на промежутке

времени t, t t .

Определение 2. Поток называется потоком без последействий, если

X (t2, t3 t2 ),..., X (tn 1,tn tn 1) – независимы.

При этом СП X(t) также называется процессом без последействий или марковским процессом.

Поток называется ординарным, если t R выполняется равенства:

где (t) 0, o( t) – бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем t при t 0;

(t) – параметр потока.

Ординарный поток без последействий называется пуассоновским потоком, а соответствующий случайный процесс X(t) – пуассоновским процессом.

Замечание. Как следует из определения 2, в потоке без последействийt0 R будущие моменты наступления событий потока при t t0 не зави-

сят от прошлых. Ординарность потока означает, что вероятностью наступления двух и более событий на промежутке времени длины t при малом

P(X (t, t) 1) при малом t .

Определение 3. Поток называется стационарным, если t1, t2 R, t1 t2 , случайные величины X (t1, t) и X (t2, t) одинаково распределены.

Стационарный пуассоновский поток называется простейшим.

94

Замечание. Из стационарности потока следует, что t(t) const , где (t) – функция в формуле (1).

Теорема 1. Рассмотрим стационарный пуассоновский поток, пусть X(t) – соответствующий случайный процесс. Рассмотрим СВ X(0, t). Тогда X(0, t) распределена по закону Пуассона ( t) , т.е.

t0 t1 t2 ... tn 1 tn . Тогда вследствие ординарности потока при достаточно малых t случайные величины X (ti , t) принимают значения 1 (с вероятностью p t o( t) ) или 0 (с вероятностью q 1 t o( t) ),

вероятности остальных значений пренебрежительно малы по сравнению сt при t 0. Тогда

Определение 4. Пусть m(t) M (X (0, t)) , где M ( X (0, t)) – математи-

ческое ожидание СВ X(0, t). Параметром потока событий будем называть функцию

среднее число событий потока на промежутке [t, t + t), отнесенное к длине этого промежутка. Если поток простейший, то из теоремы 1 следует, что m(t) t, (t) m (t) , и поэтому параметр в формуле (1) задает

среднее число событий потока в единицу времени.

95

Найдем еще закон распределения СВ Т – времени между двумя соседними событиями в простейшем потоке.

СВ Т принимает значения из промежутка 0; , при этом

Поэтому СВ Т распределена по закону Ex( ) .

Определенный таким образом поток событий хорошо работает в системах массового обслуживания. При этом поток требований, поступающих в систему часто принимается простейшим. Если же рассматривать потоки отказов и восстановлений элемента на промежутке времени [0, t), то этот промежуток необходимо разбить на последовательность чередующихся промежутков i его работы и i его восстановления, i 1,2,... :

отказов. А на промежутках 1, 2,... – в потоке восстановлений. Если время

где Тср – среднее время безотказной работы элемента.

И (t) – параметр потока отказов удовлетворяет уравнению Вольтерра второго рода:

где f (t) – плотность распределения СВ Т – времени наработки на отказ. При этом в случае простейшего потока (t) , t .

96

Пример 2. Поток отказов элемента – простейший с интенсивностью4 (отказа/сутки). Найти вероятность того, что 1) за 12 ч: а) элемент от-

Предположим, что промежутками восстановлений пренебречь нельзя. Пусть Xот(0, t), Xв(0, t) – случайные величины, задающие соответственно

где P(t, t) – вероятность отказа элемента на промежутке [t , t + t). Тогда

Определение 5. Интенсивностью потока отказов (восстановлений) элемента будем называть функцию

97

если K p (t) 0 (Kот (t) 0) ; K p (t) (Kот (t)) – вероятность того, что элемент находится в рабочем (отказовом) состоянии в момент времени t.

Замечание. Из формул (10), (9) следует, что

условную вероятность перехода из отказового состояния в рабочее на промежутке t, t t при условии, что элемент был в отказовом состоянии в

момент времени t.

Таким образом характеристиками потока отказов элемента являются:от (t) – параметр потока отказов;

от (t) – интенсивность потока отказов;

K p (t) – вероятность того, что элемент находится в рабочем состоянии

в момент времени t;

Тр – среднее время наработки элемента на отказ. Аналогично для потока восстановлений элемента:в (t) – параметр потока восстановлений;

в (t) – интенсивность потока восстановлений;

Kот (t) – вероятность того, что элемент находится в отказовом состоя-

нии в момент времени t;

Т от – среднее время восстановления элемента.

ность того, что элемент будет в рабочем (отказовом) состоянии при длительной эксплуатации (финальные вероятности)

При этом

98

§ 15. Марковcкие процессы

Определение 1. Случайный процесс Х(t) с дискретными состояниями S s1, s2, ..., sn и непрерывным временем называется марковским, если

бых подмножеств B1, B2,..., Bk 2 S выполняется условие

Замечание. Отличие от определения 1 § 13 в том, что моменты времени ti , i 1, ..., k не обязательно целые. Если строго следовать определе-

нию 1 из § 12, то в качестве S надо брать множество S 1, 2, ..., n и запись X (tk ) s j подразумевает X (tk ) j .

Будем считать, что переходы из состояния в состояние происходят под воздействием пуассоновских потоков событий, то есть

где ij – интенсивность потока, переводящего систему из состояния si в

состояние sj, и при использовании графов состояний на дугах будем ставить интенсивности соответствующих потоков:

Найдем вероятность того, что P( X (t t) s1) .

Пусть ( p1(t), p2(t), ..., pn (t)) – вектор распределения вероятностей со-

стояний системы в момент времени t. Тогда по формуле полной вероятности:

P( X (t t) s1) =

99