Элементы математической теории надежности

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Белорусский национальный технический университет

Кафедра «Высшая математика № 2»

А. Н. Рудый

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ

Конспект лекций

Минск

БНТУ

2014

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет

Кафедра «Высшая математика № 2»

А. Н. Рудый

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ

Конспект лекций

Минск

БНТУ

2014

УДК 519.21(075.8) ББК 22.17я7

Р83

Рецензенты:

доктор физико-математических наук, профессор А. В. Чигарев; кандидат технических наук, доцент В. И. Юринок

Рудый, А. Н.

Р83 Элементы математической теории надежности : конспект лекций / А. Н. Рудый. – Минск : БНТУ, 2014. – 131 с.

ISBN 978-985-550-211-2.

В издании рассмотрены основные законы распределения времени наработки на отказ, возникающие в теории надежности, их характеристики. Рассмотрено также резервирование и его виды, а также связанные с надежностью случайные процессы и потоки событий (потоки отказов и потоки восстановлений). Для закрепления теоретического материала приводятся упражнения. Расчет показателей надежности проводится в пакете

Mathematica.

Издание предназначено для студентов 3-го курса энергетического факультета.

2

Введение

Воснову курса положены лекции спецкурса, читаемого автором для студентов специальности 1-43 01 02 «Электроэнергетические сети и системы» ЭФ БНТУ, цель которого – ввести математические термины и характеристики, используемые в теории надежности, а также изложить математическую составляющую, лежащую в ее основе.

Теория надежности широко используется в инженерной практике на этапах проектирования, сооружения и эксплуатации электроэнергетических систем. В процессе проектирования необходимо правильно рассчитывать надежность создаваемой системы, в процессе эксплуатации экспериментально проверить показатели надежности.

Влекциях рассмотрены основные законы распределения времени наработки на отказ, возникающие в теории надежности, их характеристики. Рассмотрено также резервирование и его виды, а также связанные с надежностью случайные процессы и потоки событий(потоки отказов и потоки восстановлений).Для закрепления теоретического материала приводятся необходимые упражнения. Расчет показателей надежности проводится в пакете Mathematica.

Автор благодарит М. И. Фурсанова за внимание и советы при подготовке курса, Е. Л. Бохан и Д. А. Исаева за подготовку рукописи к печати.

3

§ 1. Вероятностное пространство

Определение 1. Вероятностным пространством будем называть тройку ( , U , P) , где Ω – пространство элементарных исходов, U – алгеб-

ра событий, P – вероятность (функция на U со значениями во множестве действительных чисел R).

Замечание. Ω – это произвольное множество, U – алгебра событий (совокупность подмножеств множества Ω, замкнутая относительно операций сложения, умножения и разности событий ). Свойства функции P:

1)P(A) 0, A U ;

2)P( ) 1;

3)P(A B) P(A) P(B) – для несовместных событий (события А и В

несовместны, если A B если произойдет А, то это исключает, что произойдет В, и наоборот).

Определение 2. События А и В независимы, если

Определение 3. Пусть P(B) 0 . Тогда условная вероятность наступления события А при условии, что В произошло,

Пример 1. Вероятность отказа каждого элемента электрической цепи равна 0,1. Элементы работают независимо друг от друга. Отказ элемента – его деструкция, приводящая к разрыву соответствующего участка цепи. Найти вероятность того, что между точками А и В будет идти электрический ток.

A B

E F

Решение. Схема в примере – это логическая модель надежности. При последовательном соединении элементов модели удобно вычислять веро-

4

ятность работы соответствующего участка (произведение вероятностей работ каждого элемента), при параллельном – отказ (произведение вероятностей отказов каждого элемента).

Замечание. При построении логической модели надежности каждому элементу реальной электрической цепи ставят в соответствие элемент логической модели. При этом, если элемент электрической цепи работоспособен, то ему соответствует элемент логической модели, имеющий бесконечную проводимость, а неработоспособному элементу соответствует элемент с нулевой проводимостью.

Например, электрической цепи с диодами

или резисторами

при отказах типа «обрыв» соответствует логическая модель

Для конденсаторов можно рассматривать два типа отказов: короткое замыкание или обрыв. Тогда имеет место следующие соответствия электрической цепи и логических моделей.

5

Пример 3. Найти вероятность безотказной работы схемы, логическая модель которой:

Вероятность безотказной работы каждого элемента pi 0,9; i 1, ..., 5. Решение. Пусть qi 1 pi ; i 1, ..., 5. Применим метод разложения относительно особого элемента: пусть гипотеза H1 – 5-й элемент отказал,

H2 – 5-й элемент работоспособен.

Pработы ( AB) (1 q1q3)(1 q2q4 ) (1 (0,1)2)2 0,9801.

7

Далее по формуле полной вероятности:

Pработы P(H1) P(A / H1) P(H2) P(A / H2) 0,1 0,9639 0,9 0,9801 0,97839.

Упражнения

1.1. Найти вероятность безотказной работы схемы, логические модели которых:

а)

1 2 4

3

б)

1

3 4

2

в)

1 3

.

Вероятности безотказной работы элементов равны pi , i 1, 2, 3, 4 .

Ответ. а) p4(1 (1 p1)(1 p2 )(1 p3)); б) p3 p4 (1 (1 p1)(1 p2)) ;

в) (1 (1 p1)(1 p2 ))(1 (1 p3)(1 p4 )) .

1.2. Вероятности безотказной работы каждого элемента за время Т равны 0,9. Найти вероятность безотказной работы за время Т схем, логические модели которых:

8

а)

б)

в)

г)

д)

9