Электротехника и электроника. В 6 ч. Ч. 2. Однофазные линейные электрические цепи синусоидального тока

Полное сопротивление катушки

Z U Um 20 Ом. I Im

Активное и индуктивное сопротивления катушки

где Tt1 2 3 - угол, на который ток отстает по фазе от напряжения.

Индуктивность катушки

Активную, реактивную и полную мощность определяем двояко:

P RI 2 10 12 10 Вт; P UIcos 20 1 0,5 10 Вт;

10

11

cos PS 3050 0,6.

Задача 2.8. Лампа накаливания мощностью P = 60 Вт с номинальным напряжением Uном = 120 В подключена последовательно

с конденсатором к сети синусоидального напряжения U = 220 В. Частота напряжения сети f = 50 Гц.

Рассчитать емкость конденсатора, при которой напряжение на лампе будет равным номинальному.

Р е ш е н и е . Ток цепи определим, используя номинальные данные лампы:

Воспользовавшись векторной диаграммой (рис. 2.7), находим паде-

Задача 2.9. К источнику напряжением U = 220 В и частотой f = 50 Гц подключили последовательно катушку (R = 40 Ом, L = 223 мГн) и конденсатор С = 31,8 мкФ (рис. 2.8, а).

Рис. 2.8

12

1.Определить ток, активную, реактивную и полную мощность цепи. Построить векторную диаграмму.

2.При какой частоте в цепи возникает резонанс? Как изменятся при этом ток и мощность цепи?

Р е ш е н и е . 1. Ток в последовательной цепи

Полная мощность цепи

S UI 240 4 800 В А.

Реактивная мощность цепи

Q UIsin S2 P2 480 âàð.

UC XC I 100 4 400 В.

Векторная диаграмма тока и напряжений приведена на рис. 2.8, б. 2. Условием возникновения резонанса напряжений в последова-

Ток при резонансе имеет максимальное значение и совпадает по фазе с напряжением источника:

13

Напряжения на катушке и конденсаторе в резонансном режиме увеличились:

URL 0 R2 2 f0L 2 I0 465 Â; UC 0 1 2 f0C I0 420 Â.

Векторная диаграмма тока и напряжений в резонансном режиме приведена на рис. 2.8, в.

Задача 2.10. В схеме цепи (рис. 2.9, а) U = 100 В, R1 = 30 Ом,

R2 = 50 Ом, XL = 90 Ом, XС = 30 Ом.

Построить топографическую диаграмму и определить по ней

Р е ш е н и е . Ток в цепи

I UZ U R1 R2 2 X L XC 2 1 А.

14

Напряжения на отдельных элементах цепи

Для построения топографической диаграммы, произвольно располагаем вектор тока (рис. 2.9, б) и относительно него ориентируем векторы напряжений в той же последовательности, в какой расположены элементы цепи. При этом направление обхода цепи выбираем навстречу положительному направлению тока. Из точки е приводим вектор напряжения UC на конденсаторе, отстающего по фазе от тока на 90 . Из конца вектора UC (точка d) строим вектор напряжения UR2 на резисторе R2, совпадающего по фазе с током. Аналогично откладываем остальные векторы диаграммы. Начала и концы векторов обозначаем буквами, соответствующими точкам схемы.

Чтобы найти напряжение между точками с и е, проводим на топографической диаграмме вектор Uec, соединяющий точки с и е. Измерив длину вектора и умножив ее на принятый масштаб, получаем значение напряжения Uec = 58 В.

Проверка: Uec R22 X C2 I 58,3 В.

Для сравнения на рис. 2.9, в приведена векторная диаграмма, построенная без соответствия порядка расположения векторов последовательности элементов цепи. Недостатком этой векторной диаграммы является невозможность определения напряжения между любыми точками цепи.

Задача 2.11. К сети напряжением 220 В последовательно подключены катушка и реостат. Катушка потребляет активную мощность Р1 = 250 Вт при cosφ1 = 0,6; реостат – Р2 = 800 Вт (рис. 2.10, а).

Определить ток и коэффициент мощности цепи.

15

Р е ш е н и е . Реактивная мощность катушки и цепи

Активная мощность цепи P равна сумме активных мощностей обоих приемников

Полная мощность цепи

S UI P2 QL2 1100 В А.

Треугольники мощностей катушки и цепи приведены на рис.

2.10, б.

Задача 2.12. При электрической сварке дугой на переменном токе частотой 50 Гц в ней развивается мощность Рд = 1000 Вт при токе 40 А. Напряжение источника U = 60 В. Для обеспечения необходимого напряжения на дуге последовательно с ней включена индуктивная катушка, активное сопротивление которой Rк = 0,275 Ом

(рис. 2.12, а).

Рис. 2.11

Определить индуктивность катушки. Каким должно быть сопротивление реостата Rр, которым можно заменить катушку? Опреде-

16

лить коэффициент полезного действия и коэффициент мощности цепи с катушкой и реостатом.

Р е ш е н и е . Сопротивление дуги

Rд Pд I 2 1000402 0,625 Ом.

Полное сопротивление цепи

Z U I 6040 1,5 Ом.

Отсюда индуктивность катушки

L X L 2 f 3,82 мГн.

Векторная диаграмма напряжений и тока цепи приведена на рис.

2.11, б.

При замене катушки реостатом полное сопротивление цепи должно остаться по значению прежним, т. е. 1,5 Ом, значит, сопротивление реостата Rр = 1,5 – 0,625 = 0,875 Ом.

Ток и напряжение в этом режиме совпадают по фазе, векторная диаграмма изображена на рис. 2.11, в.

Коэффициент полезного действия цепи определяется отношением мощности дуги к мощности, потребляемой от источника. В случае с индуктивной катушкой

Коэффициент мощности цепи с индуктивной катушкой

cos Rк Rд Z 0,91,5 0,6;

с реостатом

cos Rр Rд Z 1.

17

Таким образом, индуктивный регулирующий элемент более экономичен, хотя cos при этом ниже.

Задача 2.13. В цепи рис. 2.12 показания приборов при частоте f = 50 Гц следующие: U = 220 В, I = 5 А, Р = 600 Вт.

Как изменятся показания амперметра и ваттметра при U = 220 В и частоте f = 200 Гц?

С ростом частоты индуктивное сопротивление увеличивается:

X L' 2 f L X L ff 37 20050 148 Îì.

Полное сопротивление при частоте 200 Гц

Показания амперметра и ваттметра при f 200 Гц следующие:

P UI cos 220 1,47 0,16 51,7 Âò

или

P R I 2 24 1,47 2 51,7 Вт.

18

Задача 2.14. К цепи рис. 2.13, а приложено синусоидальное напряжение u 311sin t Â. Активное сопротивление и индуктивность имеют следующие значения: R = 100 Ом, L = 156 мГн.

Определить показания амперметров и построить векторную диаграмму. Записать выражения для мгновенных значений токов.

Р е ш е н и е . Индуктивное сопротивление

X L L 314 156 10 3 49 Ом.

Действующее значение напряжения

U Um 2 220 B.

Действующие значения токов в параллельных ветвях (показания амперметров А1 и А2)

Ток I в неразветвленной части цепи равен векторной сумме найденных токов. Для определения его воспользуемся векторной диаграммой. При построении векторной диаграммы (рис. 2.13, б) в качестве исходного вектора удобно взять вектор напряжения, общего для параллельных ветвей. Ток I1 совпадает по фазе с напряжением, I2 отстает от напряжения на 90 . Общий ток

I I12 I22 5 А.

Угол сдвига фаз

arctg I2 64 . I1

Уравнения мгновенных значений токов:

19