Электротехника и электроника. В 6 ч. Ч. 2. Однофазные линейные электрические цепи синусоидального тока

Министерство образования Республики Беларусь

БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Электротехника и электроника»

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА

Сборник задач с контрольными тестами для студентов неэлектротехнических специальностей

Ч а с т ь 2

М и н с к 2 0 0 9

ОДНОФАЗНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА (задачи с решениями)

Задача 2.1. Прямоугольная катушка, состоящая из w = 54 витков, вращается с постоянной частотой вращения n = 3000 об/мин в однородном магнитном поле с индукцией B = 1 Тл. Ширина катушки d = 0,1 м, длина l = 0,2 м.

Записать выражение мгновенного значения ЭДС в катушке и определить ее действующее значение.

Р е ш е н и е . При вращении катушки в однородном магнитном поле в ней возникает синусоидальная ЭДС

Em – амплитудное значение ЭДС, В.

Так как одному обороту катушки соответствует один период ЭДС, то число периодов в секунду (частота) равно числу оборотов катушки в секунду, т. е.

Подставляем числовые значения в формулу (1):

e 2 1 0,2 0,1 3000 54sin314t 340sin314t В. 60

Действующее значение синусоидальной ЭДС

Задача 2.2. Электрический ток изменяется по синусоидальному закону с амплитудой Im = 10 А и частотой f = 50 Гц.

Через какой минимальный промежуток времени от начала периода мгновенное значение тока с нулевой начальной фазой численно

равно: 1) действующему значению тока i1 I ?

2) току i2 = – 5 А?

3

Р е ш е н и е . На рис. 2.1 приведена диаграмма i t синусоидального тока

Рис. 2.1

Искомые промежутки времени t1 и t2 определяем, подставляя в уравнение (2) значения токов i1 = I = 7,07 А и i2 = - 5 А:

Задача 2.3. Катушка с активным сопротивлением R = 20 Ом и индуктивностью L = 125 мГн подключена к источнику напряжения

u 311sin 314t 30 В (рис. 2.2, а).

4

Определить показания электромагнитных приборов, активную, реактивную и полную мощности, коэффициент мощности. Построить векторную диаграмму, треугольники сопротивлений и мощностей. Записать выражения для мгновенных значений тока, активной и реактивной составляющих напряжения.

Р е ш е н и е . Индуктивное сопротивление катушки

X L L 314 125 10 3 39,3 Ом.

Полное сопротивление катушки

Z R2 X L2 202 39,32 44 Ом.

Действующее значение напряжения (показание вольтметра)

U Um 2 311 2 220 В.

Действующее значение тока (показание амперметра)

I UZ 22044 5 А.

Активная мощность

P UIcos 220 5 0,455 500 Вт

5

Для построения векторной диаграммы (рис. 2.2, б) определяем активную и индуктивную составляющие напряжения

Ua RI 100 B ; U p X L I 196 В.

Начинаем построения с вектора тока I , затем откладываем активную составляющую напряжения U a , совпадающую по фазе с

током, и индуктивную U p , опережающую по фазе ток на 90 . Треугольники сопротивлений и мощностей приведены на рис. 2.2, в.

Выражения для мгновенных значений тока i , активной ua и реактивной u p составляющих напряжения:

i 5 2sin 314t 30 63 7,05sin 314t 33 А; ua 100 2sin 314t - 33 В;

up 196 2sin 314t 33 90 276sin 314t 57 В.

Задача 2.4. В схеме (рис. 2.3, а) R = 10 Ом, C = 136 мкФ, u 179sin 314t 45 В.

Определить показания приборов. Рассчитать реактивную, полную мощности и угол сдвига фаз напряжения и тока. Построить векторную диаграмму и диаграмму напряжений и тока. Записать выражения для мгновенных значений тока цепи i и падения напря-

жения на реостате uR и конденсаторе uC .

6

Р е ш е н и е . Емкостное сопротивление конденсатора

Полное сопротивление цепи

Z R2 XC2 25,4 Ом.

Действующее значение напряжения (показание вольтметра)

U Um 2 179 2 127 В.

Действующее значение тока (показание амперметра)

I UZ 5 А.

Показание ваттметра (активная мощность цепи)

P UIcos 127 5 0,394 250 Вт или P RI 2 ,

где cos RZ 1025,4 0,394 .

Угол сдвига фаз напряжения и тока

u i 66 48 (знак «минус» говорит о том, что ток

опережает напряжение). Реактивная мощность

QC XC I 2 UIsin 585 вар.

Полная мощность

S UI P2 Q2 635 В·А.

7

Для построения векторной диаграммы (рис. 2.3, б) определяем падения напряжения на реостате U R и конденсаторе UC :

UR RI 50 В; UС XC I 117 В .

Начинаем построения с вектора тока I , одинакового для обоих участков цепи. Затем откладываем векторы напряжения U R , совпа-

дающего по фазе с током, и напряжения UC , отстающего по фазе от тока на угол 2 .

Выражения для мгновенных значений тока i и напряжений uR и uC :

i 5 2sin t 45 66 48 7,05sin t 111 48 А; uR 50 2sin t 111 48 В;

uC 117 2sin t 111 48 90 165sin t 21 48 В.

Диаграмма i t и u t приведена на рис. 2.3, в.

Задача 2.5. К источнику напряжением u 240sin 1000t 12 В

напряжения и тока. Определить индуктивность и активное сопротивление катушки.

Р е ш е н и е . Сравнение заданных уравнений с аналогичными уравнениями синусоидального напряжения и тока, записанными в общем виде, u Umsin t u ; i Imsin t i , позволяет определить следующие величины:

а) амплитудные и действующие значения напряжения и тока

б) угловую частоту = 1000 рад/с; в) начальные фазы напряжения и тока

8

Диаграмма изменения мгновенных значений и векторные диаграммы амплитудных и действующих значений напряжения и тока построены на рис. 2.4.

Из них следует, что ток отстает по фазе от напряжения на угол

u i 12 4 3 рад.

Полное сопротивление катушки

Z U I Um Im 24012 20 Ом.

Активное и индуктивное сопротивления катушки

R Zcos 20 0,5 10 Ом;

X L L Zsin 20 23 17,3 Ом.

Индуктивность катушки

Задача 2.6. На рис. 2.5 а приведена диаграмма мгновенных значений тока и напряжения индуктивной катушки.

Определить параметры последовательной схемы замещения катушки (рис. 2.5, б), а также активную, реактивную и полную мощность цепи. Построить векторную диаграмму тока и напряжения,

9