Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине Электротехника и электроника для специальностей 1-36 01 01 Технология машиностроения; 1-36 01 03 Технологическое оборудование машиностроительного производства

т. е. ZL содержит только реактивную составляющую, которую называют индуктивным сопротивлением и обозначают:

Комплексная проводимость индуктивности:

где BL = 1/(ωL) = 1/XL – индуктивная проводимость.

Емкостный элемент. Пусть ранее получено iC = CduC/dt, т.е.

iC = ωCUmcos(ωt) = Imsin(ωt + 90 ),

где Im = ωCUm.

Рисунок 2.8. C-элемент: а) схема; б) временные диаграммы; в) векторные диаграммы

Сдвиг фаз φ для емкости равен φ = ψu – ψi = –90, т.е. емкостный ток опережает по фазе напряжение емкости на 90 или на π/2 радиан (рис. 2.8, б, в).

Комплексные амплитуды для напряжения и тока емкости

21

Комплексное сопротивление ZС емкости содержит только реактивную составляющую X = –1/(ωС). Величину 1/(ωС) называют емкостным сопротивлением и обозначают XC

R-элемента, а jX можно рассматривать как комплексное сопротивление L- или С-элемента (при X > 0 имеем L-элемент, для X < 0 – С-элемент). Аналогично (2.18) дает для двухполюсника параллельную схему замещения на рис. 2.5, в. В схемах на рис. 2.5, б, в G ≠ 1/R; B ≠ 1/X.

2.5 Комплексный метод анализа цепей синусоидального тока

Формулы (2.15), (2.19), (2.21), (2.24) определяют закон Ома в комплексной форме для элементов и двухполюсника в целом. Наличие закона Ома позволяет ВЗК в форме (2.8) придать вид

полностью идентичный ВЗК для цепей постоянного тока.

Комплексный (символический) метод расчета цепей синусоидального тока основан на применении комплексных ЭДС, напряжений, токов, сопротивлений и проводимостей. Из идентичности комплексных законов Кирхгофа и законов Кирхгофа для постоянного тока следует правомерность применения в комплексном виде для цепей синусоидального тока всех свойств, законов, приемов постоянного тока. При последовательном соединении элементов суммируются их комплексные сопротивления, при параллельном – комплексные проводимости. В комплексном виде верны обобщенный закон Ома, «правило плеч», методы контурных токов, наложения и т.д.

Проанализируем энергетические процессы в пассивном двухполюснике на рис. 2.5, а. Мгновенным напряжению u(t) и току i(t) соответствуют их

22

Комплексной мощностью S пассивного двухполюсника называют

где I* = Ie-jψi – сопряженный комплексный ток.

Используя закон Ома U Z I , для S получим другие формы записи:

Действительную часть S называют активной мощностью P

где U, I – действующие значения напряжения и тока на входе цепи; φ – сдвиг фаз между напряжением и током. Активная мощность цепи равна средней за период мгновенной мощности p(t) = u(t)i(t), т.е.

Активная мощность характеризует интенсивность необратимого потребления электроэнергии в цепи (тепло, механическая работа, излучение) и измеряется в ваттах (Вт). В пассивной цепи средняя за период мощность P ≥ 0. Если это учесть в (2.30), то получим, что сдвиг фаз пассивного двухполюсника находится в пределах φ[–90 , 90]. Поскольку R = Z cosφ, то активная составляющая R комплексного сопротивления Z неотрицательна, что следует и из (2.29). Формула (2.30) установлена для произвольного пассивного двухполюсника, т.е. она верна и для R-, C-, L-элементов.

Поскольку для R-элемента сдвиг фаз φ = 0, то

PR = URIRcos0 = URIR = RIR2 = UR2/R.

Для L-элемента φ = 90, т.е. PL = ULILcos90 = 0.

Для C-элемента φ = –90 и PC = UCICcos(–90 ) = 0.

Идеальные реактивные элементы L и C не потребляют электроэнергии. Активная мощность цепи равна сумме активных мощностей всех R-элементов:

n

P UI cos Rk I k2 . (2.32)

k 1

23

соединение элементов и по аналогии с цепями постоянного тока ее входное сопротивление находим как сумму сопротивлений:

Показание амперметра, измеряющего действующее значение тока

I I A UZ UR2 X 2 .

Комплексные напряжения элементов по закону Ома:

25

последовательной схемы замещения реальной катушки, имеющей выводы 1 и 3, напряжение U RL между которыми по закону Ома:

III) XL < XC. Пронумеруем на схеме зажимы каждого элемента, т.е. введем устранимые узлы 1, 2, 3, 4. Из точки 1, как из начала координат, откладываем горизонтально вектор входного напряжения U = U14 (ψU = 0).

I) XL > XC. Поскольку X = XL – XC > 0, то из (2.42) находим φ > 0. Это означает, что ток I отстает по фазе от напряжения U. Откладываем вектор тока I под углом φ в сторону отставания относительно вектора U, т.е. под углом

i = – (рис. 2.9. б).

Будем строить диаграмму, двигаясь по цепи из точки 1 по направлению тока, причем каждый новый вектор напряжения строится на вершине предыдущего вектора. Такую диаграмму называют топографической. Вектор UR откладываем из точки 1 по направлению тока, его вершина дает на диаграмме точку 2 (рис. 2.9, б). Точка 2 должна быть проекцией точки 4 на ось тока, так как из (2.43) следует, что UR = Ucosφ. Для получения точки 3 нужно из точки 2 построить вектор UL. Поскольку индуктивное напряжение опережает ток на 90 , то, построив из точки 2 под углом 90 к вектору тока (в сторону опережения, т.е. против часовой стрелки) вектор длиной UL = XLI, получим точку 3 как вершину UL. Вектор UL должен пересекать точку 4. Переходим из точки 3 в точку 4, чему на диаграмме соответствует построение из точки 3 вектора UC. Поскольку емкостное напряжение отстает по фазе на 90 от тока, то направления UC и UL оказываются встречными. Отложив из точки 3 вектор длиной UC = XCI, получим его вершину в точке 4.

26

Топографическая диаграмма строится в виде непрерывной «цепочки» векторов напряжений элементов, что соответствует суммированию векторов напряжений, т.е. комплексной форме ВЗК. Имеет физический смысл любой вектор Umn, соединяющий две точки m и n топографической диаграммы. Он определяет комплексное напряжение между точками m и n цепи. Например, вектор U13 между точками 1 и 3 (на рис. 2.9, б показан пунктиром) является вектором URL в (2.42). Длина его равна U13, т.е. показанию вольтметра V3, а угол наклона к оси +1 определяет начальную фазу. Построение топографической диаграммы состоит в определении положения точек схемы на комплексной плоскости.

На рис. 2.9, в показано построение на комплексной плоскости сопротивления Z и его составляющих R и jX (X > 0). Эти три величины образуют треугольник сопротивлений. Здесь же показан и треугольник мощностей, подобный треугольнику сопротивлений. Треугольник мощностей состоит из катетов P, Q и гипотенузы S. Поскольку P = RI 2; Q = XI 2; S = ZI 2, то треугольник мощностей можно получить, умножив все стороны треугольника

UL – UC = Uр называют реактивной составляющей напряжения U. Реактивная составляющая Up смещена по фазе относительно тока на 90 . Катет 1–2, равный напряжению UR, называют активной составляющей Uа напряжения U, совпадающей по фазе с током. Из треугольника напряжений и из предыдущих формул следует:

U I R2 ( X L X C )2 Ua 2 U p 2 U R 2 (U L UC )2 . (2.45)

II) XL = XC. Из (2.42) следует, что в этом случае сдвиг фаз φ = 0. Режим, при котором в цепи, содержащей L- и C- элементы, входные напряжение и ток совпадают по фазе, называют резонансом. Итак, XL = XC – условие резонанса напряжений. Если это условие разрешить относительно частоты ω, то получим:

Частоту ω0 называют резонансной. Явление резонанса благодаря ряду особенностей широко используется в радиоэлектронике, электротехнике, электросвязи и т.д. Резонанса можно достичь изменением частоты источника или параметров L, С контура. Далее будем считать, что изменяется только ω, а параметры контура постоянны.

При резонансе сопротивление контура минимально

27

называют характеристическим сопротивлением контура и добротностью контура соответственно.

Из равенства XL = XC следует равенство UL0 = UC0 = ρI0 = UQ, т.е. при резонансе показания вольтметров V2 и V4 одинаковы и превышают входное напряжение U в Q раз. Добротность контуров, используемых в радиоэлектронике, достигает нескольких сотен. Напряжения UL0 и UC0 сдвинуты по фазе на 180 , поэтому их сумма равна нулю. Из ВЗК следует, что при резонансе все входное напряжение U приложено к R-элементу: UR0=U.

На рис. 2.10, а представлена векторная диаграмма контура при резонансе.

ωн ω0 ωв

Рисунок 2.10. Диаграммы последовательного контура: а – векторная для напряжений при резонансе; б – частотные

характеристики;

в– топографическая при XL < XC

Втех случаях, когда режим резонанса в цепи не предусмотрен, случайная

настройка контура в резонанс может привести к повреждению элементов контура (перегоранию резистора или катушки, пробою изоляции катушки или диэлектрика конденсатора). При резонансе активная мощность цепи максимальна P = RI02 = max, а реактивная мощность Q = (XL0 – XC0)I02 = 0, что говорит об отсутствии обмена энергией между контуром и источником. Обмен

28

энергией наблюдается между магнитным и электрическим полями катушки и емкости.

III) XL < XC. При таком соотношении X = XL – XC < 0, т.е. φ = arctg(X/R) < 0, ток I опережает по фазе напряжение U. Из XC > XL следует XCI > XLI, т.е. UC > UL (рис. 2.10, в). Из X < 0 следует также Q = XI2 = (XL– XC)I2 < 0. Треугольники сопротивлений и мощностей для случая X, Q < 0 можно получить «опрокидыванием» относительно оси + 1 треугольников на рис. 2.9, в.

2.7 Параллельное соединение R-, L-, C-элементов. Резонанс токов

На рис. 2.11 представлена параллельная цепь из элементов R, L, C и приборов электромагнитной системы, измеряющих действующие значения величин. Анализ цепи произведем комплексным методом. Пусть задано u(t) = 2 Usin t, т.е. U= U e j 0 = U. Определим комплексные проводимости ветвей:

диаграмма проводимостей и мощностей

29

Токи ветвей можно рассчитать по закону Ома:

Знак угла φ может быть разным в зависимости от соотношения между проводимостями BL и BC.

I) BL > BC. При этом B = BL – BC > 0 и, согласно (2.51), φ > 0. Из BL > BC следует BLU > BCU, т.е. IL > IC. Векторная диаграмма токов и напряжения

изображена на рис. 2.11, б. Токи IL и IC в сумме образуют реактивную составляющую

I р I L I C j BL BC U jIр ,

где Iр = |BL– BC |U отстает по фазе от напряжения U на 90 , т.е. носит индуктивный характер. Активная составляющая Ia, совпадающая по фазе с U, равна IR. Токи IR, Ip и I образуют треугольник токов.

Рассчитаем комплексную мощность цепи:

отрицательным (φ < 0). Для реактивных токов получаем неравенство IL < IC. На рис. 2.12, а приведена диаграмма токов и напряжения цепи. Поскольку IC > IL, то реактивная составляющая Ip имеет емкостный характер. Для мощностей справедливы формулы (2.55) с той лишь разницей, что теперь B, φ, Q < 0, что и отражают треугольники проводимостей и мощностей на рис. 2.12, б.

III) BL = BC. Отсюда получаем φ = 0, что свидетельствует о наличии резонанса в цепи. Из равенства проводимостей следует BLU = BCU, т.е. IL0 = IC0. Векторная диаграмма токов и напряжения цепи при резонансе показана на рис. 2.12, в. Из нее видно, что ток I0 совпадает по фазе с напряжением U. Резонанс в параллельной цепи называют резонансом токов. Раскроем условие резонанса

BL = BC:

30