Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине Электротехника и электроника для специальностей 1-36 01 01 Технология машиностроения; 1-36 01 03 Технологическое оборудование машиностроительного производства

Оно может быть измерено косвенно, как

Rвх = Uае.х / I3к,

где I3к – ток расчетной ветви при коротком замыкании выделенного участка ае.

Тогда искомый ток

1.3 Баланс мощности. КПД. Режимы работы элементов электрической цепи

Номинальный режим источника или приемника характеризуется тем, что напряжение (Uном), ток (Iном) и мощность (Pном) его соответствуют тем значениям, на которые он рассчитан заводом – изготовителем. При этом гарантируются наилучшие условия работы (экономичность, долговечность и т.д.). Величины, определяющие номинальный режим, обычно указываются в паспорте или на щитке, прикрепленном к устройству. Эти данные берут за основу при расчетах электрических схем.

Режим холостого хода характеризуется тем, что цепь источника разомкнута – ток равен нулю. Падение напряжения на внутреннем сопротивлении R0 I = 0. Напряжение источника равно ЭДС.

Режим короткого замыкания характеризуется тем, что напряжение на внешних зажимах источника равно нулю. Сопротивление приемника практически станет равным нулю (RН = 0), в цепи установится ток короткого замыкания

Так как внутреннее сопротивление очень мало, то Iк.з. Iном Для большинства источников это аварийный режим.

Согласованный режим характеризуется тем, что приемнику передается максимальная мощность. Это расчетный режим возникает при условии равенства Rн Rл , применяется в схемах радиоэлектроники и автоматики.

При этом КПД 0,5 .

12

РАЗДЕЛ 2 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА 2.1 Параметры синусоидальных напряжений и токов

Синусоидальный ток имеет ряд преимуществ по сравнению с постоянным, поэтому в электроэнергетике распространены цепи переменного тока (в энергетике синусоидальный ток часто называют переменным). Синусоидальный ток экономичнее при производстве, передаче и использовании электроэнергии. С помощью простого устройства (трансформатора) можно осуществить дробление электроэнергии. Устройства синусоидального тока применяются в различных отраслях промышленности, в электроприводе, промышленной электронике, электротехнологии, радиоэлектронике, бытовой технике. В промышленности основным источником переменного напряжения является синхронный генератор. В радиоэлектронике синусоидальные колебания получают с помощью электронных схем – генераторов.

Рассмотрим основные понятия, характеризующие синусоидальную функцию, например, напряжение u(t):

график, которого (временная диаграмма) показан на рис. 2.1, а. Наибольшее значение Um синусоидальной функции называют амплитудой.

Наименьший отрезок времени T, через который значение функции повторяется, называют периодом. Частоту f = 1/T, дающую количество периодов в секунду, измеряют в герцах (Гц). Для промышленной сети она составляет 50 Гц. Аргумент синусоидальной функции = t + ψ называют фазой. Величина ψ

13

синусоидальной функции – действующее значение U. Действующим значением периодической функции называют ее среднеквадратичное значение за период

Если в (2.3) подставить (2.1), то получим:

т.е. действующее значение синусоидальной функции меньше ее амплитуды в 2 раз. Действующее значение напряжения бытовой однофазной сети составляет 220 В. Аналогично определяются действующие значения других синусоидальных величин, например, тока I = Im/ 2 и ЭДС E = Em/ 2 . Действующие значения в отличие от амплитуды обозначаются прописной буквой без индекса m, например, U, I, E, Φ.

Сдвигом фаз φ называют разность начальных фаз двух синусоидальных колебаний одинаковой частоты ω. Если сравниваются фазы напряжения u(t) и тока i(t), то для φ условились: φ = ψu – ψi. На рис. 2.1, в ψu > 0; ψi < 0; φ > 0.

2.2 Способы представления синусоидальных напряжений и токов

При подключении источника к электрической цепи, содержащей R-, L-, C- элементы, некоторое время длится переходный процесс, который завершается установившимся режимом. Если источник является синусоидальной функцией с частотой , элементы цепи линейны и стационарны, то установившиеся напряжения и токи всех элементов также синусоидальны, причем их частота равна частоте ω источника. Тогда в установившемся режиме для всех синусоидальных напряжений и токов один параметр ( ) известен, и требуется рассчитать для каждой функции 2) начальную фазу.

Аналитическое описание синусоидальных величин. Синусоидальную функцию можно задать формулой (2.1). Например, для токов i1(t), i2(t) на

рис. 2.2, а известны их значения: i1(t) = Im1sin(ωt + ψ1), i2(t) = Im2sin(ωt + ψ2).

Требуется рассчитать ток i3(t). Поскольку законы Кирхгофа верны для мгновенных значений токов и напряжений, то, согласно первого закона Кирхгофа,

i 3 ( t ) = i 1 ( t ) + i 2 ( t ) = I m 3 s i n ( ω t + ψ 3 ) ,

где Im3 и ψ3 находятся с помощью громоздких тригонометрических преобразований.

Представление синусоиды проекцией вращающегося вектора.

14

Синусоидальный ток i1(t) можно представить проекцией на ось ординат вектора, равномерно вращающегося против часовой стрелки с угловой скоростью ω (рис. 2.2, б). Длина его равна амплитуде Im1, а угол наклона к оси абсцисс – фазе, т.е. ωt + ψ1.

Рисунок 2.2 Представление синусоиды на декартовой плоскости:

а – токи в узле; б – вращающийся вектор; в – суммирование векторов

Для электротехники типична обратная задача: по положению вектора определить параметры синусоиды, т.е. Im1, ψ1, ω. Для этого достаточно указать положение вектора при t = 0, тогда длина вектора даст амплитуду Im1, угол наклона вектора к оси абсцисс будет равен начальной фазе ψ1, а угловая частота ω известна и равна угловой частоте источника. На рис. 2.2, в изображены векторы I m1 , I m2 , соответствующие синусоидам i1(t), i2(t) при t = 0. Если учесть, что ПЗК справедлив для мгновенных значений, т.е. для проекций векторов в любой момент времени, то первый закон Кирхгофа можно

правилу параллелограмма. Амплитуду Im3 можно определить по теореме косинусов. Аналогично можно показать справедливость векторной формы второго закона Кирхгофа. Законы Кирхгофа в векторной форме:

I mk 0 , U mk Emk , (2.5)

где первый закон Кирхгофа справедлив для любого узла цепи, а второй закона Кирхгофа – для любого контура. Совокупность нескольких векторов токов, напряжений, ЭДС, изображенных в единой системе координат, называют векторной диаграммой (рис. 2.2, в). Законы (2.5) эффективны при анализе достаточно простых электрических цепей.

15

Применение комплексных чисел. Векторы напряжений, токов, ЭДС в (2.5)

можно описать комплексными числами, что соответствует переносу векторных диаграмм на комплексную плоскость, действительную ось которой в электротехнике обозначают +1 или Re (рис. 2.3, а), мнимую ось –– +j или Im, где j = 1 – мнимая единица.

Рисунок 2.3 Векторные диаграммы: а) комплексная амплитуда; б) комплексное напряжение;

в) комплексные напряжение и ток

Синусоидальному напряжению (2.1) (вектору U m ) на комплексной плоскости соответствует вектор U m (рис. 2.3, а), называемый комплексной

амплитудой. Его длина равна амплитуде Um, а угол наклона к действительной оси – начальной фазе ψu. Если длина вектора равна действующему значению U = Um/ 2 , то его обозначают U и называют комплексным действующим напряжением или комплексным напряжением (рис. 2.3, б). Эти векторы описываются комплексными числами

где величины Um, U называют модулями, а начальную фазу ψu – аргументом. Аналогично вводятся понятия комплексных амплитуд для токов и ЭДС, а также комплексного тока и комплексной ЭДС:

На рис. 2.3, в показана векторная диаграмма с векторами напряжения U и тока I. Поскольку вращение векторов происходит против часовой стрелки, то говорят, что ток отстает по фазе от напряжения на угол φ = ψu – ψi. φ отсчитывают от вектора тока к вектору напряжения и, если стрелка угла φ направлена против часовой стрелки, то φ > 0, если по часовой стрелке, то φ < 0.

Пример. Задано синусоидальное напряжение u(t) = 311sin(ωt–– π/3) В. Найти комплексное напряжение U.

16

Решение. Поскольку Um = 311 В, то действующее значение U = Um/

В. U = Ue j u = 220e j /3 = 220e j60 В.

Комплексные векторы U , I соответствуют Um , Im декартовой плоскости. Поэтому из (2.5) следует справедливость законов Кирхгофа в комплексной

2.3 Свойства комплексных чисел и правила действий с ними

Пусть комплексное число задано в виде

A изображают на комплексной плоскости вектором с длиной, равной модулю А, и углом наклона к действительной оси, равным аргументу (рис. 2.4, а). При > 0 угол отсчитывается от положительного направления действительной оси против часовой стрелки. Эту форму записи комплексного числа называют показательной. Проекции A на оси координат дают алгебраическую форму числа

17

Все три формы комплексного числа эквивалентны. Переход от показательной (2.9) к алгебраической (2.10) выполняют по формулам

угол |α| против часовой стрелки для α > 0, и к повороту на | | по часовой стрелке при < 0 (длина вектора не изменяется). Из (2.12) следует e ± j90° = ±j, т.е. умножение вектора на j приводит к его повороту на 90° против часовой стрелки, а умножение на –j дает поворот на 90° по часовой стрелке. Если

= ±180°, то из (2.12) получим e ± j180° = –1. Так как j2 = –1; то j = 1/(–j), т.е. j

можно переносить из знаменателя в числитель и обратно, изменяя знак при j на обратный. Изменение у комплексного числа A = Aejα = a + jb знака угла α на обратный дает сопряженное комплексное число A*= a – jb = Ae–jα. Справедливо

равенство AA A2 .

Рассмотрим основные алгебраические действия с комплексными числами. Пусть имеются два комплексных числа A1= a1 + jb1 = A1ejα1 и A2= a2 + jb2 = A2ejα2. Из равенства этих чисел, т.е. из A1=A2, следуют равенства: 1) A1 = A2; 2) α1 = α2; 3) a1 = a2; 4) b1 = b2. Для комплексных чисел нет операции сравнения (больше, меньше).

Сложение и вычитание комплексных чисел производится по формуле

A=A1+A2= a ± jb , где a = a1 ± a2, b = b1 ± b2. Сложение векторов A1, A2 показано на рис. 2.4, б, а их вычитание – на рис. 2.4, в.

Если умножение выполняется в показательной форме, то A=A1*A2= Aejα,

где α = α1 + α2, A = A1*A2.

Если числа делят в показательной форме, то A=A1/A2= Aejα, где A = A1/A2,= 1 - 2.

Возможен и комбинированный подход к делению комплексных чисел, при

2.4 Комплексные сопротивление и проводимость пассивного двухполюсника и R-, C-, L-элементов

Рассмотрим пассивный двухполюсник (рис. 2.5, а) с согласованными входными напряжением и током: u(t) = Umsin(ωt + ψu); i(t) = Imsin(ωt + ψi). Представим эти синусоиды в виде их комплексных амплитуд (комплексных значений):

U Ue j U ;U Um

2

I Ie j i ; I Im

2

18

Комплексное сопротивление R-элемента

содержит только активную составляющую R, которую на переменном токе называют активным сопротивлением.

Сдвиг фаз φ = ψu – ψi = 0, т.е. ток и напряжение R-элемента совпадают по фазе, что отражают временные и векторная диаграммы (рис. 2.6, б, в). Комплексная проводимость R-элемента содержит только активную составляющую:

Индуктивный элемент. Пусть для L-элемента задан ток iL(t) = Imsin(ωt)

(рис. 2.7, а). Поскольку uL = LdiL/dt, то uL = ωLImcos(ωt) = Umsin(ωt + 90), где

Um = ωLIm.

Сдвиг фаз φ для индуктивности равен φ = ψu - ψi = 90, т.е. индуктивный ток отстает по фазе от напряжения индуктивности на 90 или на π/2 радиан (рис. 2.7, б, в). Комплексные амплитуды напряжения и тока индуктивности:

Рисунок 2.7. L-элемент: а) схема; б) временные диаграммы; в) векторные диаграммы

U Lm Ume j90о LIme j90о

I Lm Ime j0 Im

Тогда комплексное сопротивление индуктивности

20