Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

Файл:

Электронный учебно-методический комплекс по учебной дисциплине Механика материалов для специальности 1-36 11 01-01 «Подъемно-транспортные, строительные, дорожные машины и оборудование (производство и эксплуатация)».pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.11.2025

Размер:

19.28 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 217 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

3.2.Геометрические характеристики плоских сечений

Вформулах при расчетах стержней на прочность и жесткость используются параметры, зависящие от размеров и формы поперечного сечения стержня. Они называются геометрическими характеристиками. Рассмотрим общий вид поперечного сечения и привяжем его к ортогональной системе координат ХΥ, проходящей через произвольную точку 0.

1. Площадь поперечного сечения А, которая измеряется в м2 и выражается через бесконечно малую частицу площади по формуле

A dA

Площадь – величина положительная.

2. Статический момент площади относительно оси

(5)

Sx	y dA; Sy	x dA
	A	A

(6)

Размерность - м3.

В отличие от площади статический момент может быть положительным, отрицательным и нулевым в зависимости от ориентации осей относительно сечения.

Точка пересечения двух осей, относительно которых статические моменты равны нулю, называется центром тяжести.

Геометрическое место центров тяжести всех сечений стержня называется осью стержня.

Оси, проходящие через центр тяжести называются центральными осями

X	c	и	Y	. Относительно них
	c	и	c	. Относительно них
				Sx y dA 0; Sy	x dA 0	(7)
				A	A

Вычислим статические моменты относительно осей ХΥ, отстоящих от центральных на расстояние yц.т и xц.т. учтем при этом (5) и (6)

Sx	y dA ( yЦ.Т.		y)dA yЦ.Т. dA y dA yЦ.Т. A;
	A	A	A	A
Sy	x dA (xЦ.Т.		x)dA xЦ.Т. dA x dA xЦ.Т. A.
	A	A	A	A

(8)

Отсюда получим формулы для координат центра тяжести в произвольных

осях

x		Sy	; y			S	x	.	(9)
x			; y	Ц.Т.				.	(9)
Ц.Т.		A		Ц.Т.		A
		A				A
Если xц.т и yц.т известны, то			статические моменты						определяются по
формулам
Sy	AxЦ.Т. ; Sx				AyЦ.Т. .				(10)

Рассмотрим составное сечение, состоящее из n частей, для которых известны координаты центров тяжестей.

Тогда, используя (9), (10) для каждой части:

S y

xi Ai

; y

S x

yi Ai

(11)

ц.т

По этим формулам можно определить ц.т. любого сечения и, следовательно, определить положение оси стержня.

3. Моменты инерции

J x				2	dA;		J y	2	d A – осевые моменты инерции,
J x		y			dA;		J y	x	d A – осевые моменты инерции,
J			A		dA			A
J					dA	– полярный момент инерции,
				2
			A
J	xy			x y dA			– центробежный момент инерции.
	xy						– центробежный момент инерции.
			A

Размерность – м4.

Между осевыми и полярными моментами инерции существует зависимость

J			dA	(x		y	)dA x	dA y	dA J x	J y
		2			2	2	2	2
	A		A				A	A

важная

(12)

Таким образом, для любой пары осей, проведенной через конкретную точку,

сумма осевых моментов инерции есть величина постоянная.
J	x	J	y	const	.	(13)

Осевые и полярные моменты инерции – величины существенно положительные, а центробежный – может быть и отрицательным, и нулевым. Величины моментов инерции для конкретных простейших форм вычислены и получены готовые формулы. Для прокатных профилей величины даются в табличной форме в сортаменте.

Рассмотрим, как меняются моменты инерции при параллельном переносе

осей координат.
Пусть моменты инерции относительно центральных осей	X	C	и	Y
Пусть моменты инерции относительно центральных осей		C	и	C

известны (по формулам или таблицам). Нужно относительно параллельных осей ХΥ, отстоящих от a и b.

J x	2	dA	2	2	dA 2a y dA
J x	y	dA	( y a)	dA y	dA 2a y dA
	A	A		A	A

найти моменты инерции центральных на расстояние

a	2	dA J x	2	A ;	(14)
a		dA J x	a	A ;	(14)
		C
		A

аналогично,	J y	J y	b2 A ;
		C

J	xy	J	x y	abA
	xy		x y	C
			C	C

4. Главные центральные оси инерции сечения Через центр тяжести можно провести бесчисленное количество пар осей

координат. У каждой пары будут свои значения J x , J y , J xy ,	Ju	,	Jv	, Juv , связанные
соотношениями J x J y Ju Jv .

Для новых осей существуют формулы, зависящие от угла поворота , которые приведены в учебниках. Среди этих пар существует в общем случае пара

осей относительно которой центробежный момент инерции

J	uv	(J	1, 2	)
	uv		1, 2

. Такие оси

называются главными. Осевые моменты инерции относительно главных осей обладают свойством экстремальности: относительно одной из них момент инерции самый большой, и относительно другой – самый маленький.

Все формулы сопротивления материалов относятся к главным центральным

осям инерции сечения.
Если известны моменты инерции относительно центральных осей	J x	,	J y	,
	C		C

J	x	y
	C	C

то главные оси и моменты инерции находятся по формулам:

Jmax

J1, 2

;

tan 2

x y

(15)

J x

C C

min

C C

J y

Пример 7.

Заданное сечение (рис.21) состоит из прямоугольного листа и прокатных профилей:

1.Лист 22 2 см,

2.Уголок неравнобокий 125 80 8,

3.Двутавр №18.

Требуетcя: вычислить главные центральные моменты инерции, начертить сечение и показать все оси и размеры.

Рис. 21 – Схема сечения

Решение.

Предварительно рассчитаем и выпишем из сортамента (Приложение 1) геометрические характеристики профилей, составляющих сечение.

Геометрические характеристики листа 22 2 см (фигура 1):

b 22 см , h 2 см , A1 22 2 44 см2 ,

		bh	3
J		bh
J	x	12
	1	12
	1

J y			b3h
			12
1

J x y		0 .
1	1

22 2	3
22 2	14,67 см	4	,
		4
12

223 2 1774,67 см4 , 12

Геометрические характеристики уголка 125

8 (фигура 2):

B 125 мм , b 80 мм,
A 15,98 см2 ,
2
J x			80,95 см			4	,	J y		225 см		4
J x			80,95 см				,	J y		225 см
2										2
x			4,05 см	,			y		1,84 см		,
C	2			,				C	2		,
	2								2
J x			84,1 см		4		.
J x		y	84,1 см				.
2			2

Уголок в составном сечении повернут на 90о, поэтому моменты инерции из сортамента меняются местами.

Геометрические характеристики двутавра №18 (фигура 3):

h 180 мм ,					b 90 мм ,
A 23,4 см					2	,
A 23,4 см
	3
J x			1290 см			4	,
J x			1290 см				,
	3
J y			82,6 см			4	,
J y			82,6 см				,
	3
J	x y		0	.
	3	3

Определим положение центра тяжести сечения, предварительно выбрав вспомогательные оси x0 и y0 . Проведем эти оси через центр тяжести листа и

рассчитаем расстояние между осями элементов сечения (рис.22).

и центральными осями каждого из

x	S	y
x

C	A
	A
		i
y	S	x
y

C	A
	A
		i



Ai xi

Ai yi

44 0 15,98 2,55 23, 4 6,5				111,35	1,33	см ,
	44	15,98 23,4		83,38

	44 0 15,98 2,84 23,4 10		188,62		2,26	см .
	44	15,98 23,4		83,38

Через найденный центр тяжести составного сечения проводим центральные оси xC и yC .

Рассчитаем расстояния между осями xC и yC и центральными осями каждого

из элементов сечения.
Расстояния между осями xi:
a 10 7,74 2,26 см	,
1	,

a2 2,26 2,84 5,1 см , a3 10 2,26 7,74 см .

Расстояния между осями yi:

b1 1,33 см ,

b2 2,55 1,33 3,88 см , b3 6,5 1,33 5,17 см .

Определим осевые моменты инерции составного центральных осей:

J				J		a		A J		a		A J			a		A J
							2				2					2
	x				x	i			x	1		1	x			2	2
	C				i				1				2
14,67 2, 26		2	44						2	15,98 1290 ( 7,74)								2
14,67 2, 26			44		80,95 5,1					15,98 1290 ( 7,74)
J				J		b		A J		b		A J			b		A J
							2				2					2
	y				y	i			y	1		1	y	2	2		2
	C				i				1					2

сечения относительно

	a	2	A
		2
x	3			3
3
					4	,
23, 4 3427,83 см						,
	b	2	A
		2
y	3			3
3

2	44 225 3,88	2	15,98	82,6	( 5,17)	2	23,4	4	.
1774,67 1,33								3026,13 см

Рис. 22 – Схема составного сечения с положением главных центральных осей (размеры даны в см)

Определим центробежный момент инерции составного сечения:

JxC yC Jxi yi aibi Ai Jx1y1 a1b1 A1 J x2 y2 a2b2 A2 J x3 y3 a3b3 A3

0 2,26 1,33 44 84,1 5,1 3,88 15,98 0 ( 7,74) ( 5,17) 23,4 1300,73 см4.

Перед

J	x	y
	3	3

ставим знак «минус» в соответствии со следующим правилом

знаков при расположении уголка:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 217 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]