Прочность пружины обеспечена.

Вычислим шаг пружины S в свободном состоянии:

3.8.Продольный изгиб стержней

Вмеханике твердого тела различают следующие формы равновесия твердого тела: устойчивая, безразличная и неустойчивая. Эти три формы присущи сжатым гибким (длинным, тонким) стержням.

когда возможны как первоначальная прямолинейная форма равновесия, так и

стержня становится неустойчивой, происходит интенсивное нарастание деформации изгиба (прогиб).

Устойчивость – способность стержня под действием сжимающей нагрузки находиться в состоянии упругого равновесия и сохранять первоначальную форму.

Критическая сила – значение осевой сжимающей нагрузки, при которой стержень будет в состоянии безразличного равновесия (критическое состояние), а малейшее превышение ее приведет к интенсивному росту прогибов (к потере устойчивости).

Критическая нагрузка является опасной и считается разрушающей. Разрушение происходит внезапно.

Критическая нагрузка для сжатого прямолинейного стержня постоянного поперечного сечения определяется по формуле Эйлера:

где Е – модуль упругости материала стержня; Imin – минимальный момент инерции сечения относительно главных центральных осей; – коэффициент приведения длины, который зависит от условий закрепления стержня.

120

Формула Эйлера была выведена в предположении упругих деформаций,

Таким образом, формулу Эйлера для величины критической силы можно применить, если

Окончательно, если наибольшая гибкость больше предельной для данного материала, то стержень будет терять устойчивость при напряжениях меньше предела пропорциональности пц , а если условие (61) не удовлетворяется и

max пред , то стержень будет терять устойчивость при упруго-пластических

деформациях. В этом случае для критической силы применяется эмпирическая формула Ясинского-Тетмайера

где a и b – коэффициенты, зависящие от материала и приводимые в справочниках.

121

Таким образом, критические напряжения в любой стадии деформации

в упругой – по формуле (58) – гипербола Эйлера, в упруго-пластической – по формуле (63) – прямая Ясинского.

При некотором значении гибкости, которое можно обозначить через 0 ,

величина критических напряжений становится равной предельному напряжению сжатия (либо пределу текучести, либо пределу прочности). Это значение гибкости будет границей применимости формулы Ясинского. Таким образом, критические напряжения вычисляют по формуле Ясинского тогда, когда гибкость стержня

опасность потери устойчивости меньше опасности разрушения, и такой стержень надо рассчитывать на прочность, а не на устойчивость.

устойчивость. Для них критическое напряжение считается постоянным и равным для пластичных материалов пределу текучести при сжатии, а для хрупких – пределу прочности при сжатии.

После этого можно определить коэффициент безопасности по устойчивости

Инженерный расчет сжатых стержней на устойчивость формально можно поставить в соответствие расчету на простое сжатие, принимая в качестве расчетного сопротивления некоторую часть от критического напряжения:

Здесь 1,0 – коэффициент снижения допускаемого напряжения на сжатие или коэффициент продольного изгиба; сж – допускаемое напряжение на сжатие, то есть установленное без учета продольного изгиба.

122

Величина коэффициента зависит от материала стержня и его гибкости

1)подобрать размеры поперечного сечения стержня из условия устойчивости;

2)определить значение коэффициента безопасности по устойчивости.

Решение.

Размеры поперечного сечения определим исходя из условия устойчивости:

FA сж ,

где – коэффициент снижения допускаемого напряжения на сжатие (коэффициент продольного изгиба).

Врасчетной формуле имеются две неизвестные величины – коэффициент

иискомая площадь А. Поэтому при подборе сечения необходимо использовать метод последовательных приближений.

Выразим геометрические характеристики через величину a .

Так как потеря устойчивости происходит в плоскости наименьшей жесткости, определяем минимальный момент инерции:

тогда площадь поперечного сечения:

123

Проверим выполнение условия устойчивости в первом приближении:

a2 0,442,37 10 3 0,021 м 2,1 см ,

imin2 0,61a2 0,61 0,021 12,81 10 3 м .

Определим гибкость стержня

124

125

Определим коэффициент безопасности по устойчивости:

1)подобрать размеры поперечного сечения стержня из условия устойчивости;

2)определить значение коэффициента безопасности по устойчивости.

F 250 кН ; l 1,4 м ;

2 .

Рис. 74 – Схема стержня

Решение.

Определим размеры поперечного сечения исходя из условия устойчивости:

FA сж .

Для расчета используем метод последовательных приближений. Приближение 1.

В первом приближении примем коэффициент продольного изгиба 1 0,5,

126

Определим моменты инерции данного сечения относительно главных центральных осей х и у, которые являются осями симметрии сечения:

Момент инерции относительно оси X меньше, поэтому принимаем его

Минимальный радиус инерции будет равен:

127