Определим прогиб посредине пролета, приложив там единичную силу, и построим единичную эпюру изгибающих моментов (рис.52, г). Данную эпюру разделим для перемножения иначе (рис.52, д). Дополнительно определим значение изгибающего момента в точке D:

Построим упругую линию балки (рис.52, е), определив прогиб в точке D:

3.7. Сложное сопротивление

Сложным сопротивлением называется такое нагружение стержня, когда в его поперечном сечении возникают несколько внутренних силовых факторов, существенно влияющих на напряженное состояние.

В зависимости от наличия тех или иных внутренних факторов сложное сопротивление бывает нескольких видов.

3.7.1. Внецентренное растяжение или сжатие

Внецентренным растяжением-сжатием называется случай, когда равнодействующая сил, приложенных к стержню, направлена параллельно продольной оси, но точка приложения её не совпадает с центром тяжести поперечного сечения.

В поперечном сечении стержня возникают три компоненты внутренних усилий: продольное усилие N , два изгибающих момента относительно главных центральных осей поперечного сечения M x и M y .

Используя принцип независимости действия сил, нормальные напряжения в произвольно выбранной точке поперечного сечения определяются по формуле:

96

сечения бруса относительно главных центральных осей.

максимальные нормальные напряжения. Этот вопрос решается с помощью нулевой линии. Нулевая линия – линия, в каждой точке которой нормальные напряжения равны нулю.

Положение нулевой линии определяется отрезками ax , ay , которые она отсекает на главных центральных осях:

Нулевая линия (или нейтральная) может делить поперечное сечение на две части, в одной возникают растягивающие напряжения (положительные), в другой сжимающие (отрицательные).

Максимальные нормальные напряжения того или иного знака возникают в точках, наиболее удаленных от нулевой линии.

В некоторых случаях появление в поперечном сечении нормальных напряжений разных знаков нежелательно. Добиться появления в поперечном сечении нормальных напряжений одного знака можно, используя понятие ядра сечения.

Ядром сечения называется некоторая область вокруг центра тяжести поперечного сечения, которая обладает следующим свойством: если нагрузка приложена в этой области или на её границе, то во всем поперечном сечении стержня возникают напряжения одного знака.

Граничные точки ядра сечения определяются по формулам:

Для построения ядра сечения необходимо заданное поперечное сечение очертить касательными нулевыми линиями.

97

Пример 23.

Колонна заданного поперечного сечения сжимается расчетной силой F, направленной параллельно продольной оси и приложенной к точке, показанной на сечении (рис. 53).

Расчетные сопротивления для материала колонны: на растяжение

Требуется:

1)найти положение нейтральной (нулевой) линии;

2)вычислить наибольшие сжимающие и растягивающие напряжения, построить эпюру напряжений, дать заключение о прочности колонны;

3)построить ядро сечения.

Определим геометрические характеристики сечения. Для вычисления главных центральных моментов инерции воспользуемся зависимостью между моментами инерции при параллельном переносе осей.

98

По найденным отрезкам, отсекаемых на осях координат, проводим нулевую линию (рис. 54).

Определим наибольшие сжимающие и растягивающие напряжения.

Напряжения в этих точках определяются по формуле:

Знак минус перед формулой показывает, что сила, приложенная к колонне, является сжимающей.

Нулевая линия делит сечение на зоны сжатия (область приложения силы F) и растяжения.

Рис. 54 – Положение центра тяжести и нулевой линии. Эпюра напряжений

99

Растягивающее напряжение:

0,38 МПа 1,4 МПа.

р

Сжимающие напряжение:

Построим ядро сечения (рис. 55). Чтобы получить очертание ядра сечения, необходимо рассмотреть все возможные положения касательных к контуру сечения и, предполагая, что эти касательные являются нулевыми линиями, вычислить координаты граничных точек ядра относительно главных центральных осей сечения. Соединяя затем эти точки, получим очертание ядра сечения.

Касательная 1-1:

Рис. 55 – Ядро сечения

Касательная 2-2:

x0 30 см; y0 ,

100