Определим максимальный относительный прогиб в пролете балки:

3.6. Статически неопределимые балки

Статически неопределимыми называются балки, опорные реакции у которых невозможно определить при помощи одних лишь уравнений равновесия, т.к. они имеют «лишние» неизвестные реакции.

Степень статической неопределимости определяется разностью между числом неизвестных реакций и числом независимых уравнений равновесия.

Раскрытие статической неопределимости балки заключается в определении лишних неизвестных реакций путем составления к уравнениям равновесия такого количества дополнительных уравнений, сколько раз она статически неопределима.

Существует несколько методов раскрытия статической неопределимости балок. Выбор метода связан со степенью статической неопределимости. Если «лишних» неизвестных немного (одна-две), дополнительные уравнения целесообразно составить исходя из деформационных условий (прогибов) на опорах балки, используя метод начальных параметров.

У неразрезных балок степень статической неопределимости может быть высокой. В таких случаях дополнительные уравнения составляются исходя из деформационных условий (углов поворота сечений) на промежуточных опорах балки, используя метод сил.

Из совместного решения уравнений равновесия и дополнительных определяются все опорные реакции балки.

Для ведения расчета статически неопределимой балки выбирается так называемая основная система, которая получается из статически неопределимой балки путем удаления «лишних» связей. Основная система должна быть статически определимой, геометрически и кинематически неизменяемой. Она выбирается по-разному.

87

В качестве «лишних» неизвестных могут быть выбраны внешние факторы (реакции опор) или внутренние факторы (изгибающие моменты в каком-либо сечении балки).

Дополнительные уравнения составляются из условий совместности (эквивалентности) перемещений основной системы и заданной балки. Существует несколько способов составления этих уравнений. Наиболее общим и распространенным является метод сил.

Система канонических уравнений метода сил, полученная исходя из условий совместности перемещений основной системы и заданной балки, имеет вид:

Первый индекс коэффициентов и свободных членов уравнений означает направление перемещения и одновременно номер промежуточной опоры, второй – причину, вызвавшую перемещение (номер единичной силы).

Физический смысл уравнений метода сил для неразрезных балок заключается в неразрывности упругой линии над промежуточными опорами, т.е. в совместности угловых перемещений сечений над опорами.

Для определения параметров канонических уравнений необходимо

определяются по методу Верещагина путем перемножения единичных и грузовых

Перемножив грузовые эпюры на единичные, получим значения свободных членов

Окончательные эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М строятся отдельно для балки каждого пролета, загруженной заданной нагрузкой и найденными опорными реакциями с учетом их знаков.

88

Расчет статически неопределимых балок на прочность и жесткость ведется также, как и статически определимых.

1)построить эпюру поперечных сил и изгибающих моментов;

2)подобрать сечение из прокатного двутавра;

3)определить прогибы на концах и посередине каждого пролета балки и показать очертание ее изогнутой оси (использовать любой из известных методов определения прогибов).

Рис. 48 – Схема балки, основная система, грузовая и единичная эпюры

Решение.

Данная схема имеет одну избыточную связь, т. е. балка один раз статически неопределима. Для образования основной системы отбросим шарнирную опору В

Построим эпюру изгибающих моментов ( M F ) в основной системе (рис.48, в), определив опорные реакции:

M A 0; F 8a YC 7a q 4a 2a 0 ,

M A 0; M B YA 4a q 4a 2a 16,57 8 3 8 4 36,56 кНм , MС YA 7a q 4a 5a 16,57 14 3 8 10 8 кНм .

89

Для определения коэффициента и грузовой составляющей уравнения

Верещагина. Предварительно разделим грузовую эпюру на простые фрагменты

(рис.48, в).

Рассчитаем глубину параболы:

Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис.49, б и 49, в):

QA 10,52 кН; QB( Л) 10,52 3 8 13,48 кН; QB(П) 13,48 14,11 0,63 кН ,

QC ( Л) 0,63 кН; QC (П) 0,63 3,37 4 кН ,

90

ZK 10,523 3,5 м; M K 10,52 3,5 3 3,5 3,52 18,45 кНм .

Рис. 49 – Эпюра поперечных сил и изгибающих моментов в исходной схеме балки

Произведем кинематическую проверку правильности решения. Для этого

Прогиб в сечении В равен нулю, что соответствует условию его деформации. Подберем сечение балки из условия:

Определим прогибы в сечениях балки и построим упругую линию. Приложим единичные силы посреди пролетов и на конце балки, построим единичные эпюры изгибающих моментов на каждом из участков, рассматривая их отдельно (рис. 50).

91

Рис. 50 – Грузовые и единичные эпюры на участках АВ, ВС и ВD. Эпюра прогибов балки

Перемножим грузовую и единичную эпюры:

Участок ВС (рис.50, б):

Определим изгибающий момент посредине пролета:

(на участке BC эпюра изгибающих моментов линейная). Перемножим грузовую и единичную эпюры:

92

Знак «минус» показывает, что направление прогиба обратно действию единичной силы.

Участок СD (рис.50, в)

Приложим единичную силу в точке D и построим единичный момент. Перемножим грузовую и единичную эпюры:

Построим эпюру прогибов балки (рис. 50, г):

1)построить эпюру поперечных сил и изгибающих моментов;

2)подобрать сечение из прокатного двутавра;

3)определить прогибы на концах и посередине каждого пролета балки и показать очертание ее изогнутой оси (использовать любой из известных методов определения прогибов).

Рис. 51 – Схема балки, основная система, грузовая и единичная эпюры

93

Решение.

Данная схема имеет одну избыточную связь, т. е. балка один раз статически неопределима (рис.51, а). Для образования основной системы левую опру заменим

Верещагина. Рассчитаем глубину параболы: