Численные методы

=5'з(х, )=5'з * (-^г )>>’;•

=^(^3 '(■^()) >

в которых учтены условия (2.13) и (2.14).

Для нахождения у" получается система п - 2

линейных уравне-

= 6 yi+1-yi y j-y j-i

(2.16)

,/ = 2, 3 ,...,и - 1 .

У-1-

,

>’(+1 ,

7/ »

, ^

■

(2.17)

hj

6

3

(2.18)

+

/= 1 .2 ,...,« - 1 .

6hi

Если требуется вычислить 8^{х)

при некотором конкретном зна­

чении X , то сначата необходимо определить отрезок

в ко­

X

0

2

4

у

1,5

2,3

3,4

I

Построить интерполяционные сплайны;

1) первого, 2) второго,

bi=l,5

■^1=1,5

2ai+ l,5 = 2,3

«1 = 0,4

2й2 +b2= 2,3

2а2 = 1,1

4а2 + ^2 = 3,4

^2 = 1,2 .

Таким образом:

'^{*)(л:) = 0,4д: + 1,5,

0 < х < 2,

S,{x) =

5'P (x)= 0,55x + L2,

2 < х < 4 .

Проверка.

(о) = 1,5, .9' (2) = 2,3,

(2) = 2,3, 5,^(4) = 3,4 .

*^2W =

+ 6jX + Cl,

Й(^)) =2<3iX + Z),,

2.

S 2 (х)= 02Х^ + b 2 X + C2-

(sKx))

=2a2X + b2-

няться следующие

соотношения:

(о) = 1,5; (2) = 2,3; S 2 (2) = 2,3;

5|(4) = 3,4; (^(2))'= (5| {2))'.

Добавим еще одно соотношение ^2(0)1 = О. Отсюда

Cl =1,5

а, =0,2

4 а ,+2*1+1,5 = 2,3

& 1 = 0

4^2 + 2&2 + ^2 = 2,3

Cl =1,5

16(32 +4^2 +^2 =3,4

4^/2 ^2 ~ ^5^

4 а , +

= 4(32 + ^2

4^/2 “Н2Z?2 + С2 = 2,3

=0

16fl2 +4&2 +С2 =3,4 .

Методом исключения Гаусса

' 4

1

0 0,8^

"4

1

0 0,8'

4

2

1 2,3

0

1

1 1,5

416

4

1

V 0

0

1 0,2j

С2=0,2; Ь2~\,У, 4<32+1,3 = 0,8 => а2 = -0,125.

Таким образом;

0 , 2 x 4 1,5,

0

< д:< 2

-

0,125х^ + 1,3х + 0,2, 2 < X < 4.

Проверка.

5-2(о) = 1,5; S\(2) = 2,3; S j (2) = 2,3; S l (4) = 3,4;

(4 (2)J = 2 •0,2 ■2 = t e

(2)1 = - 2 •0,125 •2 +1,3 => 0,8 = 0,8. Ы

= 0.

3. Здесь

и = 3;

в формуле (2.16)

г = 2; /г^= /г = 2;

= 1,5;

-

2,3;

>>3 = 3,4 .

Из

формулы

(2.15):

у^ = у ^ - 0 .

Из

формулы

(2.16):

2^2-4 = 6

^ 3,4 -2,3

2,3 -1,5'

=0,1125.

^

^

2

2

Из формулы (2.17):

V ' - Z

L Z Z L

V " ^

у'

^ Ч

... ■-1^-0,1125- = 0,3 625

^ '

-

~

h

^

^

2

3

у.

-

^

-

у - Л ~ у Л

3 4 - 2 3

2

, ^ £ £ L _ f!£ ._ од 1 2 5 -= 0,475.

h

6

3

• ^ ^ 2

3

Из формулы (2.18):

5'](х) = 1,5+0,3625х+-^^^-^х^

0 <д:<2;

S,{x)=

12

(х)=2,3 + 0,475(х - 2 )+ 0 ,1 1 2 5 ^ ^ - ~

- 2)^, 2 < х < 4.

Проверка.

5з (о) = 1,5; S\(2) = 1,5 + 0,725 + 0,075 = 2,3;

(2) = 2,3;

(4) = 2,3 + 0,95 + 0,225 - 0,075 = 3,4;

(2))

= (s^ (2)) = 0,475.

Для

вычисления значения

5'з(х)

в

точке

х = \,

заметим,

что

0 < 1< 2

и

используем

для вычисления полином

5](l) =

= 1,5 + 0,3625 +

1,8719 .

12

Вариант

хо

А'1

^2

Хз

3^0

Л

У2

Уъ

1

- 1

0

3

4

3

5

2

- 6

2

2

3

5

6

4

1

7

2

3

0

' 2

3

5

- 1

- 4

2

- 8

4

7

9

13

15 '

2

- 2

3

' - 4

5

- 3

- 1

3

5

7

~1

4

- 6

6

1

2

4

7

- 3

- 7

2

8

7

- 1

1

2

4

4

9

1

6

8

2

4

5

7

9

- 3

6

- 2

9

- 4

- 2

0

3

2

8

5

10

10

- 1

1,5

3

5

4

- 7

1

- 8

п

1 2

4

7

8

- 1

- 6

3

12

12

- 9

- 7

- 4

- 1

3

- 3

4

- 9

13

0

1

4

6

7

- 1

8

2

14

- 8

- 5

0

2

9

- 2

4

6

15

- 7

- 5

- 4

- 1

4

- 4

5

10

Вариант

Таблица

X

1

1

3,8

2

2

3,5

3

3

0.5

4

4

_

4,8

5

1

4,1

6

2

3,9

7

3

_

3,3

8

4

4,0

9

1

2,9

10

2

5,3

11

3

4,1

12

4

7,6

13

1

4,4

14

2

2,5

15

3

5,2

Таблица 1

Таблица 2

X

/(x) = (I/x)-lgx + x2

X

/ (jc)-ln 2 ,3 x -0 ,8 / x

1,3

1,7777

1,2

0,3486

2,1

4,5634

1,9

1,0537

3,7

13,8436

3,3

1,7844

4,5

20,3952

4,7

2,2103

6,1

37,33ю

5,4

2,3712

7,7

59,4051

6,8

2,6322

8,5

72,3593

7,5

2,7411

Таблица 3

Таблица 4

X

/(x) = 2,l-sin0,37x

X

/(х) = 1,7 ■ - cos(0,4 - 0,7х)

- 3 ,2

- 1,9449

2,6

2,1874

- 0,8

-0 ,6 1 2 6

3,3

2,8637

0,4

0,3097

4,7

3,8161

2,8

1,8068

6,1

3,8524

4,0

2,0913

7,5

3,1905

6,4

1,4673

8,2

2,8409

7,6

0,6797

9,6

2,6137

JC

sinx

X

sinx

X

sinx

1,1

0,89121

1,6

0,99957

2,1

0,86321

1,2

0,93204

1,7

0,99166

2,2

0,80850

1,3

0,96356

1,8

0,97385

2,3

0,74571

1,4

0,98545

1,9

0,94630

2,4

0,67546

1,5

0,99749

2,0

0,90930

2,5

0,59847

Вариант

Таблица

а

Ь

h

1

1

0,65

0,75

0,01

2

2

0,30

0,45

0,025

3

3

1,45

1,55

0,01

4

4

1,20

1,40

0,02

5

2

0,10

0,20

0,01

6

3

1,10

1,30

0,02

7

4

1,05

1,25

0,025

8

1

0,70

0,90

0,02

9

3

1,25

1,50

0,025

10

4

1,00

1,10

0,01

11

1

0,60

0,70

0,01

12

2

0,15

0,35

0,025

13

3

1,15

1,25

0,01

14

1

0,65

0,85

0,025

15

2

0,20

0,40

0,02

Таблица 1

Таблица 2

л:

sinx

X

cos X

0,60

0,56464

0,05

0,99375

0,65

0,60519

0,10

0,99500

0,70

0,64422

0,15

0,99877

0,75

0,68164

0,20

0,98007

0,80

0,71736

0,25

0,96891

0,85

0,75128

0,30

0,95534

0,90

0,78333

0,35

0,95

0,81342

0,40

0,92106

1,00

0,84147

0,45

0,90045

1,05

0,86742

0,50

0,87758

1,10

0,89121

0,55

0,85252

Таблица 3

Таблица 4

X

sin д:

X.

cos X

1,10

0,89121

1,00

0,54090

1,15

0,91276

1,05

0,49757

1,20

0,93204

1,10

0,45360

1,25

0,94898

1,15

0,40849

1,30

0,96356

1,20

0,36236

1,35

0,97572

1,25

0,31532

1,40

0,98545

1,30

0,26750

1,45

0,99271

1,35

0,21901

1,50

0,99749

1,40

0,16997

1,55

0,99973

1,45

0,12050

1,60

0,99957

1,50

dfilOlA

п

Ъ - а . . , -

,

равных частичных отрезков точками х, = а н-------- г, г = 1,2,

1.

п

п

ном отрезке

выберем середину - точку

^ вы­

числим А с ,) = Ук-

Тогда площадь криволинейной трапеции при­

ближенно равна сумме площадей всех п прямоугольников:

Решение.

,

,

Ь —а 2 —0

I j - z x

3

<3 = хо = 0; Z) = Х4 = 2, /г = --- = ——

= - ,

f\x) = x

,

п

4

2

^0 =

1

1

т

,

3

27

.

,

= 0; xj = - ,

Х2 = 1,>’2 = 1; Jcj = -,з^з - у

; Х4 = 2, J 4 -

1

По формуле (3.1):

1 _

1

3 _ 27

5 _ 125

7 _

343

3 , к" 1

27

125

343';

X ах « —

- + —

+ -

>3,875.

64

64

64

64

Оценка погрешности по формуле (3.2) дает;

/(х) = 3х^ Г { х ) = 6х-

М 2 =12,

R„ < (2-рУ 12 = 0,25.

24-4^