Численные методы

2.1.3. Практическое применение интерполиробания. Оценка погрешности интерполяционного многочлена Лагранжа

Интерполяционные формулы обычно используются при нахож­ дении неизвестных значений f{ x ) для промежуточных значений

аргумента. При этом различают интерполирование в узком смысле, когда JCнаходится между Xq и , и экстраполирование, когда х на­ ходится вне отрезка XQ,X^].

в узлах интерполирования значения функции f{ x ) и интерполя­ ционного многочлена Лагранжа совпадают. Если же значение х не совпадает ни с одним из узлов интерполяции, то возникает вопрос о

терполяции. Обозначим погрешность метода интерполяции (оста­

вает сложным или вовсе невозможным, если функция /(х) задана таблично. Трудность этой задачи увеличивается с возрастанием п.

При оценке погрешности результатов должны учитываться как погрешность метода интерполяции (остаточный член), так и по­ грешности округления при вычислениях.

Пример 2.2. Построить интерполяционный полином Лагранжа

и проверить результат, оценив погрешность вычисления ^|U5 .

20

Решение. Подставляя данные в формулу (2.1), получим

= ^•10'^ при 1 0 0 < x < 1 4 4 .

21

По формуле (2.2) получим

йз(П5)|<---10-^--1(115-100X 115-121X 115-1441 =

83!

=— -10“^ -15 -6 -29«l,6 -10“l 16

12(115) = — ^— (-26450+ 167210+ 87120) = 10,7228. ^ ’ 21252

л/П? = 10,7238.

Полученный результат при помощи интерполяционного много­ члена Лагранжа соответствует оценке (2.2).

2.2. Конечные разности. Интерполяционный многочлен Ньютона

2.2.7. Конечные разности

= А;с^ =/2 = const (/ =

Конечными разностями функции у = f{ x ) называются разности

вида

Ауу = >';+! - yj - конечные разности первого порядка,

/^У1 = Ayj^i - Ау1 - конечные разности второго порядка,

/;^у. = - /^У1 - конечные разности третьего порядка,

А^у^ = ~ конечные разности ^-го порядка.

Для вычисления разностей удобно использовать горизонтальную таблицу конечных разностей.

Пример 2.3. Составить таблицу разностей до четвертого порядка

включительно для функции у = е^ на интервале [0;l] с шагом /г = 0,1.

22

101,0 2,7183

2.2.2.Первая интерполяционная формула Ньютона (для интерполирования вперед)

Введем вспомогательную переменную q = —— — . Тогда h

.(2.3)

В формуле используется верхняя горизонтальная строка таблицы конечных разностей. Остаточный член формулы (2.3) имеет вид

где ^ - некоторая внутренняя точка наименьшего промежутка, со­ держащего все узлы x^ (г = 0,1,...,« ) и точку х.

23

Пример 2.5. Используя таблицу значений функции у = е ^ , по фор­

= 36,598 - 0,4 ■1,877 + - ^ ^ ^ 0 ,0 9 5 = 35,874.

Для оценки остаточного члена имеем 3,58 < ^ < 3,70, поэтому

i?3(3,58^ < (0,05)' M id :M e 3 ,7 0 ^10-3

6

Сравнивая остаточные члены при х = 3,62 и х = 3,58, замечаем, что экстраполяция при х = 3,58 дает менее точный результат.

25

2.2,3. Вторая интерполяционная формула Ньютона (для интерполирования назад)

2! п\

х: -

h

В формуле используется нижняя наклонная строка разностей. Остаточный член формулы (2.7) имеет вид

(2.8)

где ^ - внутренняя точка наименьшего промежутка, содержащего все узлы Xj (/ = 0,1,...,и) и точку х. Формула (2.7) используется для интерполирования и экстраполирования в точках х, близких к концу таблицы, т.е. к х„.

Пример 2.6. Используя таблицу значений функции у - s in х, най­ ти sin 54"^ и указать погрешность результата.

Решение. Составив таблицу разностей, видим, что третьи разности практически постоянны. Поэтому в формуле (2.7) достаточно взять

5 4 ° -5 5 °

четьфе члена. Для вычисления sin 54° имеем q = -------------= -0,2 . По формуле (2.7)

26

_ (-0 ,2 )-0 ,8 -1 ^ 0 000^ = 0,80903

2

Остаточный член при и = 3 имеет вид (формула (2.8))

. /,4 q{q + i){q + 2 lq + 3)

ВЛИЯТЬ только на пятый десятичный знак. Поэтому окончательный результат записываем в виде sin 54° = 0,8090 . Полученное значение полностью совпадает с табличным.

2.3. Интерполирование сплайнами

Увеличение степени интерполяционного многочлена далеко не всегда приводит к улучшению приближенного представления функ­ ции на всем отрезке \а,Ь\. Часто выгоднее разбить отрезок [а,Ь\ на части и приближать ;; = f{ x ) на частях отрезка интерполяционны­

ми многочленами невысоких степеней. Такое интерполирование может быть названо сглаженным кусочным интерполированием, но его часто называют сплайн-интерполированием, используя англий­ ский термин. Сплайном называется гибкая деревянная рейка, по­ зволяющая плавно соединять дуги разных кривых и по своей роли аналогичная лека^тту.

для функции / (х), если выполнены следующие условия:

27

1) S„,(x) является многочленом степени /и на каждом из отрезков

71-1

3) на всем отрезке а,Ь S^{x) имеет непрерывные производные до порядка т - 1 :

т.е. в узлах интерполирования должны совпадать значения как са­

мации о поведении f { x ) .

При m = 1 пол> чается известный метод ломаных.

При т = 2 функция у = f{x ) аппроксимируется кусочно-квадра­ тичными полиномами. Для простоты проиллюстрируем построение

S2 {x) В случае п = 3 . Определим f{x ) = iS2(x), i = 1,2 .

= aiX^ + b^x + Cl,

s?> W = Cl2X^ +b2X + C2>

Чтобы функция f{ x ) была непрерывна и принимала в узлах за­ данные значения v,-, / = 1,2,3, необходимо

Чтобы функция fix ) была дифференцируема в узлах, необходимо

(2.10)

28

Для однозначного определения f { x ) обычно указывается значение

f'{x ) в некотором узле, например

(2.9)-(2.11) представляют собой систему шести линейных урав­

нений относительно коэффициентов полиномов i = 1,2 , кото­

рая может быть решена методом исключения Гаусса.

Этот подход легко распространяется на произвольное число узлов.

В случае задачи интерполирования или аппроксимации должны выполняться соотношения в узлах

тающих уравнения для так называемого естественного кубического сплайна задаются так:

29