Численные методы

ние (7.18) позволяет найти значение функции u{x,t) на слое

если известны значения на двух предыдущих слоях. Для того, чтобы найти приближенное решение задачи (7.14)-(7Л6), необходимо знать значения решения на двух начальных слоях. Их можно найти из на­ чальных условий одним из следующих способов.

Первый соособ. Заменяем в начальном условии (7.15) производ-

110

Оценка погрешности значений м, ^ имеет вид

Этот способ вычисления начальных значений рассмотрен в при­ мере.

Третий способ. Если функция / (д:) имеет конечную втор)то про­

изводную, то значения и] можно определить с помощью формулы

Тейлора

Используя уравнение (7.17) и начальные условия (7.15), можем

Погрешность значений и], полученных по этой формуле, имеет

порядок О(т^).

Замечание. Аналогичным образом применяется метод сеток при решении смешанной краевой задачи для неоднородного уравнения

d h д \ _ „ . ,

д!^ дх^

в этом случае разностное уравнение имеет вид

u i^ = 2и{ - uj-^ + а } («Д, - 2и{ + m/_j) + a^h^Fy.

Ill

Пример 7.3. Методом сеток найти решение задачи

и(х,0) = 0,2х(1 - х) sin та:, м, (х,0) = О,

u(0,t) = uil,t) = 0.

Решение. Возьмем квадратную сетку с шагом h - x ~ 0,05 . Значе­ ния u(x,t) на двух начальных слоях найдем вторым способом. Учи­ тывая, что Ф{х) = О и f { x ) = 0,2л:(1 - sin тс) , будем иметь следующее:

(7.24)

Порядок заполнения таблицы.

1. Вьиисляем значения uj = f (х,) при х, = ih и записываем в пер­ вую строку (она соответствует значению ?о О )■

2.По формуле (7.24) находим и\, используя значения wf из пер­ вой строки. Результаты записываем во вторую строку таблицы.

3.Вычисляем значения м/ на последующих слоях по формуле (7.19). При ;= 1 последовательно получаем

ul = и \ + и \ - = 0,0065 + О - 0,015 = 0,0050,

^22 ~ ^31 "^^11^20 “ 0,0122 + 0,0028 ~ 0,0056 = 0,0094,

“ш = «11 + «9 - wfo = 0^0478 + 0,0478 - 0,0500 = 0,0456.

Вычисления при 7 = 2,3,... 10 проводятся аналогично. В последней строке таблицы приведены значения точного решения при / = 0,5 .

112

113

Индивидуальное задание № 7

ди

Задание 7.1. Найдите приближенное решение уравнения

dt

удовлетворяющее условиям и{х,0) = f { x ) , м(0,г) = ф(/), u{^,t)=\s^{f),

для значений 0 < t < T , взяв по аргументу х шаг 0 < t < Т . В вариан­ тах 1-8 используйте разностное уравнение (13.8), в вариантах 9-15 - разностное уравнение (13.9).

Задание 7.2. Наидите приближенное решение уравнения —г- = —- , dt дьг

1.а = 1,1; 2. а = 1,2 ; 3. а = 1,3; 4. а = 1,4 ; 5. а = 1,5;

ф(/) = Н/(?)=0,где

114

й= 0,15, c = 0,55;

14.a = 4 , Z) = 0,2, c = 0,6; 15. a = 5, Z>= 0,25, c = 0,65.

115