Численные методы

3. Чтобы найти любой другой элемент новой симплексной таб­ лицы, нужно воспользоваться правилом прямоугольника. Для этого в исходной таблице выделяют прямоугольник, вершинами которого служат нужные для вычисления элементы. Диагональ, содержаш,ую разрешающий и искомый элементы новой таблицы, называют глав­ ной, а другую - побочной. Чтобы получить элемент (i = Zq,/ ^ JQ)

новой симплексной таблицы, нужно из произведения угловых эле­ ментов главной диагонали вычесть произведение угловых элемен­ тов побочной диагонали и полученное число разделить на разре­ шающий элемент, выделенный рамкой. Это правило прямоугольни­ ка (рис. 6 .6).

Рис. 6.6

4. По этому же правилу могут быть вычислены все элементы ин­ дексной строки A'j(j = 1,2,...,и) и новое значение целевой функции

Шаг симплексного метода, позволяющий перейти от одного опор­ ного плана к другому нехудшему, называется итерацией. Таким об-

90

разом, симплексный метод является итерационным методом после­ довательного улучшения плана.

Пример 6.4. Найти минимум линейной формы Z = Х2 ~3х^+ 2 х^

при условиях

Решение. Задача поставлена в каноническом виде. Система ог­ раничений имеет предпочтительный вид, так как каждое уравнение содержит переменную с коэффициентом, равным единице, которая во все остальные уравнения входит с коэффициентом, равным ну­ лю. Это переменные х^.х^.х^. Они и составят базис. Заносим усло­ вие задачи в симплексную таблицу.

В столбце БП записываем базисные переменные. Столбец Cg содержит коэффициенты целевой функции, стоящие при базисных переменных. Для нашего случая q = О, С4 = О, = О. Столбец В - столбец свободных членов системы ограничений bi. Основное поле таблицы занимают коэффициенты a^j системы ограничений. Остано­ вимся подробнее на заполнении индексной строки Zj - Cj . Здесь рас­

91

положено значение функции цели для начального опорного плана Хд, т.е. Z(3cq) = Aq - Q ^ оценки индексной строки AJ = C^Aj - Cj :

AQ = 0 - 7 + 0 - 2 + 0- 10 = 0;

A i = 0 - l + 0 - 0 + 0 0 - 0 = 0;

Аг = 0 - 3 + 0 - ( - 2 ) + 0 - ( - 4 ) - 1 = - 1 ; А з = 0 - ( - 1 ) + 0 - 4 + 0 - 3 - ( - 3 ) = 3 ;

А 4 = 0 - 0 + 0-1 + 0- 0 + - 0 = 0;

Аз = 0 -2 + 0 -0 + 0 -8 - 2 - - 2 ;

Аб = 0 0 + 0 -0 + 0 1 - 0 - 0 .

Свободные переменные полагаем равными нулю;

значение линейной формы равно нулю.

Поскольку отыскивается минимум задачи, оптимальный план

будет достигнут, когда Zj -Cj < 0 . В данном случае одна оценка Z3 - Cj = 3 > О. Эта оценка соответствует столбцу при перемен­

ной ^3 . Этот столбец и назначим разрешающим. Для определения разрешающей строки находим минимальное симплексное отношение;

Оно соответствует второй строке, которая и будет разрешающей. Следовательно, элемент 033 = 4 - разрешающий. Переменную х^.

выведем из базиса, а введем в базис. Разрешающую строку де­ лим на разрешающий элемент. Элементы разрешающего столбца заполняем нулями, кроме ^23 = 1, а все остальные элементы табли­ цы пересчитываем по правилу прямоугольника.

92

плексной таблицы (итерация 2) пересчитываем по правилу прямо­ угольника (6.11), (6.12) аналогично предыдущему.

Для второй итерации критерий оптимальности выполняется, т.к. Ду < О. Опорный план Х2 оптимален. Следовательно, не существу­

ет нового допустимого решения системы линейных уравнений, при котором линейная форма задачи принимала бы меньшее значение, чем 2(^2) = -3 , т.е. минимум линейной формы - -3 достигает­

ся при плане Х2 - (xi,x2 ,x^,x4 ,x^,x^) = (0 ,3, 2, О, 0 ,16) .

Пример 6.5. Найти максимум линейной формы z = 4х, + 2 x2 при

2xi +Х2 <14,

дг] + Х2 ^ 10,

Х2 ^ 8,

> о, ^2 > О.

94

95

вого допустимого решения системы линейных уравнений, при кото­ ром линейная форма приняла бы большее значение, чем 2(^2) = 28, т.е. максимум линейной формы = 28 достигается при плане

= {хх,х2 ,ху„х^,х^,х(,) = (5,4, 0,0,1, 4) .

Индивидуальное задание № 6

Задание 6.1. Найдите минимум (или максимум) линейной функ­ ции при следующих ограничениях:

97

98

З а д а н и е 6 . 2 . Р е ш и т е с и м п л е к с - м е т о д о м с л е д у ю щ у ю з а д а ч у л и ­ н е й н о г о п р о г р а м м и р о в а н и я п р и у с л о в и и , ч т о в с е п е р е м е н н ы е н е о т ­

р и ц а т е л ь н ы .

99