Рис. 8.1. Пример использования функции Fit[]
FindFit[data, expr, pars, vars] находит численные значения параметров pars, при которых выражение expr дает лучшее приближение fit данных data функциями переменных vars.
Рис. 8.2. Приближение данных квадратичной функцией
Задания к лабораторной работе
Задание 1. Создайте таблицу экспериментальных данных:
x = a + hi , |
i = 0,1,...,10 , h = |
b − a |
на отрезке [a, b]. |
|
||||||||||
|
|
|
||||||||||||
i |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Варианты задания. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
|
|
|
|
|
|
yi |
[a, b] |
||||||
варианта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2,86 |
2,21 |
2,96 |
3,27 |
3,58 |
3,76 |
3,93 |
3,67 |
3,9 |
3,64 |
4,09 |
[0, 1] |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
2 |
1,14 |
1,02 |
1,64 |
1,64 |
1,96 |
2,17 |
2,64 |
3,25 |
3,47 |
3,86 |
3,36 |
[–1,1] |
3 |
4,7 |
4,64 |
4,57 |
4,45 |
4,4 |
4,43 |
4,27 |
4,37 |
4,42 |
4,5 |
4,62 |
[2, 4] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Окончание таблицы |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
|
|
|
|
|
yi |
|
|
|
|
|
[a, b] |
варианта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0,43 |
0,99 |
2,07 |
2,54 |
1,67 |
1,29 |
1,24 |
0,66 |
0,43 |
0,35 |
0,7 |
[2, 4] |
5 |
1,55 |
1,97 |
1,29 |
0,94 |
0,88 |
0,09 |
0,02 |
0,84 |
0,81 |
0,09 |
0,15 |
[1, 4] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
3,24 |
1,72 |
1,95 |
2,77 |
2,47 |
0,97 |
1,75 |
1,55 |
0,12 |
0,7 |
1,19 |
[0, 4] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
2,56 |
1,92 |
2,85 |
2,94 |
2,39 |
2,16 |
2,51 |
2,1 |
1,77 |
2,28 |
1,7 |
[–1,2] |
8 |
1,77 |
0,92 |
2,21 |
1,5 |
3,21 |
3,46 |
3,7 |
4,02 |
4,36 |
4,82 |
4,03 |
[–1,3] |
9 |
1,53 |
0,45 |
1,68 |
0,12 |
0,68 |
2,36 |
2,58 |
2,53 |
3,45 |
2,7 |
2,82 |
[4, 8] |
10 |
2,5 |
3,9 |
3,54 |
4,63 |
3,87 |
5,25 |
4,83 |
3,24 |
3,08 |
3 |
4,7 |
[0, 5] |
11 |
2,95 |
3,38 |
2,71 |
2,37 |
2,29 |
2,75 |
2,76 |
2,74 |
2,57 |
2,4 |
2,99 |
[1, 5] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
-0,23 |
-0,03 |
-0,98 |
-0,97 |
-0,43 |
-0,91 |
-0,27 |
-0,19 |
0,88 |
1,06 |
0,72 |
[2,4] |
13 |
2,36 |
0,03 |
-0,38 |
-1,33 |
0,25 |
-1,36 |
0,95 |
3,16 |
4,03 |
4,92 |
4,2 |
[0, 2] |
14 |
3,82 |
4,07 |
3,53 |
4,83 |
5,53 |
5,04 |
5,09 |
5,87 |
5,53 |
4,72 |
4,73 |
[3, 4] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
2,35 |
2,16 |
2,39 |
2,39 |
2,18 |
2,09 |
2,44 |
2,56 |
3,35 |
3,22 |
3,65 |
[–3,4] |
16 |
-1,53 |
0,45 |
1,68 |
-0,12 |
0,68 |
2,36 |
2,58 |
-2,53 |
-3,45 |
2,7 |
-2,82 |
[0, 5] |
Задание 2. Аппроксимировать многочленами 2-й и 6-й степени по методу наименьших квадратов функцию, заданную табли-
цей значений xi и yi , и сравнить качество приближений. Построить графики приближений и отметить узловые точки (xi , yi ) .
Задание 3. Для приведенных в таблице экспериментальных данных (xi , yi ) провести линейную регрессию с помощью
встроенной функции Fit пакета Mathematica. Построить график приближения и отметить на нем узловые точки.
Задание 4. Аппроксимировать данные полиномом 4-ой степени, используя возможности пакета Mathematica. Отобразить графически результаты аппроксимации.
Задание 5. Аппроксимировать экспериментальные данные из таблицы линейной комбинацией функции:
16
f (x) = a1 f1 (x) + a2 f2 (x) + a3 f3 (x) .
Отобразить графически узловые точки и результаты проведенной регрессии общего вида.
Варианты задания.
№ |
|
|
|
|
f1(x) |
|
|
|
f2 (x) |
|
|
|
|
|
f3(x) |
||||||||||||||||||||||||||
варианта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ 2cos2 |
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin (3x) |
||||||||||||||||
|
|
1+ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
esin x |
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1+ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4 |
|
arctg x |
|
|
ln(ln(x)) |
|
|
|
|
|
sin x |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5 |
|
|
|
|
|
− x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
− x |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
e 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
cos x |
||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
2 + x |
|
|
cos 10 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
7 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
1+ e |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8 |
|
|
|
cos |
x |
|
|
|
|
|
|
2 − cos x |
|
|
|
|
sin |
x |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
9 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin (3x) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1+ ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
10 |
|
ln(x + 5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
1+ x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
12 |
|
|
|
|
cos x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1+ x + x2 |
|
|
|
|
1+ x |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
13 |
|
|
|
|
ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(4x) |
|
|
|
|
|
|
|
− x |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 (3x) |
|||||||||||
|
|
|
1+ e− x |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
15 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
x |
|
|
|
|
|
sin |
x |
|
|||||||||||||||||||
1+ x + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
16 |
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
17
Рис. 8.3. Приближение данных комбинацией функций
Задание 6. Аппроксимировать экспериментальные данные из таблицы функцией вида f (x) = eu0 +u1 x+u2 x2
Рис. 8.4. Приближение данных функциями нескольких переменных
18