Фрагмент решения лабораторной работы №5.
Лабораторная работа № 6. Решение систем нелинейных уравнений.
Цель: Изучить методы решения систем нелинейных уравне-
ний. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Теоретические сведения. |
|
|
|||||||||||
|
Обобщенные |
|
2 |
координаты |
на |
эллипсоиде |
||||||||
x 2 |
x |
|
2 |
x |
|
|
|
|
||||||
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
=1 |
|
|
a |
a |
|
a |
|
|
следующим |
образом: |
|||||||
1 |
|
|
2 |
3 |
|
вводятся |
||||||||
x1 = a1 sin(φ) sin(θ ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
x2 = a2 cos(φ) sin(θ ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
x3 = a3 cos(φ) |
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||
44
Обобщенные координаты на эллиптическом параболоиде
|
|
|
|
|
x1 = |
a1 u cos(θ ) |
|||
|
+ x22 |
|
|
x2 |
= |
|
|
u sin(θ ) |
|
x12 |
= 2x |
|
|
a2 |
|||||
a |
|
a |
3 |
вводятся следующим образом: |
x |
= |
0.5 u2 |
||
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
||
Задания к лабораторной работе № 6
Задание 1. Найти с точностью ε =10−6 все корни системы нели- f1(x1, x2 ) = 0,
нейных уравнений f2 (x1, x2 ) = 0, используя метод Ньютона для системы нелинейных уравнений. Найти корни с помощью встроенной функции пакета Mathematica.
ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ:
1.Используя пакет Mathematica, локализовать корни системы уравнений графически.
2.Составить программу-функцию, вычисляющую корень системы двух нелинейных уравнений по методу Ньютона с
точностью ε. Предусмотреть подсчет количества итераций. Для решения соответствующей системы линейных алгебраических уравнений использовать встроенную функцию NSolve пакета
Mathematica.
3.Используя составленную программу, вычислить все корни заданной системы с точностью ε.
4.Сравнить с результатами, полученнными в п. 2. УКАЗАНИЕ. В п. 1 привеcти уравнения системы к виду
x2 = gi (x1) (либо x1 = gi (x2 ) ), i=1, 2, можно с помощью встроенной функции Solve: Solve[x+y*y=0,y].
№ |
Система уравнений |
№ |
Система уравнений |
45
1.1 |
sin(x |
+ x ) − x −1.2 = 0 |
1.16 |
sin(0.5x1 + x2) −1.2x1 −1 = 0 |
|||
|
1 |
2 |
2 |
|
x2 |
+ x2 |
|
|
2x + cos x |
− 2 = 0 |
|
−1 = 0 |
|||
|
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
1.2 |
cos(x1 −1) + x2 − 0.5 = 0 |
1.17 |
tan(x x |
2 |
+ 0.3) − x2 |
= 0 |
|
|
sin x1 + 2x2 − 2 = 0 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
0.9x12 + 2x22 −1 = 0 |
|
||||
1.3 |
sin x1 + 2x2 − 2 = 0 |
1.18 |
sin(x1 + x2) −1.3x1 −1 = 0 |
||||
|
cos x1 + x2 −1.5 = 0 |
|
x2 + 0.2x2 −1= 0 |
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
1.4 |
cos x1 + x2 −1.5 = 0 |
1.19 |
tan(x x ) − x2 = 0 |
|
|||
|
2x1 − sin(x2 − 0.5) −1 = 0 |
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
0.8x12 + 2x22 −1 = 0 |
|
||||
1.5 |
sin(x1 +1.5) − x2 + 2.9 = 0 |
1.20 |
sin(x1 + x2) −1.5x1 − 0.1 = 0 |
||||
|
cos(x2 − 2) + x1 = 0 |
|
3x2 |
+ x |
2 |
−1 = 0 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
1.6 |
cos(x1 + 0.5) + x2 − 0.8 = 0 |
1.21 |
tan(x x ) − x2 = 0 |
|||||||||
|
sin x2 − 2x1 −1.6 = 0 |
|
|
1 |
2 |
1 |
||||||
|
|
0.7x2 |
+ 2x2 −1 = 0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
1.7 |
sin(x1 −1) + x2 − 0.1 = 0 |
1.22 |
sin(x1 + x2) −1.2x1 − 0.1 = 0 |
|||||||||
|
x1 − sin(x2 +1) − 0.8 = 0 |
|
x2 |
+ x2 |
−1 = 0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
1.8 |
cos(x1 + x2 ) + 2x2 = 0 |
1.23 |
tan(x x |
+ 0.2) − x2 = 0 |
||||||||
|
x1 + sin x2 − 0.6 = 0 |
|
|
1 |
2 |
1 |
||||||
|
|
0.6x12 + 2x22 −1 = 0 |
||||||||||
1.9 |
cos(x1 + 0.5) − x2 − 2 = 0 |
1.24 |
sin(x1 + x2) − x1 + 0.1 = 0 |
|||||||||
|
sin x2 − 2x1 −1 = 0 |
|
x |
− cos(3x ) + 0.1 = 0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
1.10 |
sin(x |
|
+ x ) − x −1.5 = 0 |
1.25 |
cos(x1 + 0.5) + x2 −1 = 0 |
|||||||
|
|
1 |
|
2 |
2 |
|
sin x2 − 2x1 − 2 = 0 |
|||||
|
x1 + cos(x2 − 0.5) − 0.5 = 0 |
|
||||||||||
1.11 |
sin(x2 +1) − x1 −1.2 = 0 |
1.26 |
cos(x2 − 2) + x1 = 0 |
|||||||||
|
2x2 |
+ x |
− 2 = 0 |
|
|
sin(x1 + 0.5) − x2 + 2.9 = 0 |
||||||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1.12 |
cos(x2 −1) + x1 − 0.5 = 0 |
1.27 |
sin(x1 −1) + x2 −1.5 = 0 |
|||||||||
|
x2 − cos x1 − 3 = 0 |
|
x1 − sin(x2 −1) −1 = 0 |
|||||||||
1.13 |
tan(x x |
+ 0.4) − x2 = 0 |
1.28 |
sin(x2 +1) − x1 −1 = 0 |
||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
2x2 + cos x1 − 0.5 = 0 |
||||
|
0.6x12 + 2x22 −1 = 0 |
|
||||||||||
1.14 |
sin(x1 + x2) −1.6x1 −1 = 0 |
1.29 |
cos(x2 −1) + x1 − 0.8 = 0 |
|||||||||
|
x2 + x |
2 |
−1 = 0 |
|
|
x2 − cos x1 − 2 = 0 |
||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.15 |
tan(x x |
|
+ 0.1) − x2 = 0 |
1.30 |
cos(x1 −1) + x2 −1 = 0 |
|||||||
|
|
1 |
2 |
|
1 |
|
sin x2 + 2x1 −1.6 = 0 |
|||||
|
x12 + 2x22 −1 = 0 |
|
|
|||||||||
|
Задание 2. Локализовать корни системы уравнений |
|||||||||||
46
f1(x1, x2,α) = 0, f2 (x1, x2,α) = 0
при трех значениях параметра α. Уточнить их с точностью
ε =10−5 , используя упрощенный метод Ньютона для решения системы нелинейных уравнений.
№ |
|
f1(x1, x2,α) |
|
f2 (x1, x2,α) |
|
α |
|
||
2.1 |
x2 |
− x |
+ α |
|
−x |
+ x2 +α |
-2, |
0, |
1 |
|
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
2.2 |
x12 |
− x2 + α |
|
−x |
+ x2 +α |
2, |
0.25, |
-0.25 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
2.3 |
sin(x2 ) − x1 − 0.2α |
3x12 − x2 −α |
0.5, |
-1, |
3 |
||||
2.4 |
x1 − x23 + 0.5α |
cos(2x1) − x2 −α |
0, |
1, |
-0.5 |
||||
2.5 |
sin(α x ) − x |
− x2 |
cos(x1) − x2 −α |
0.2 , |
3, |
2.5 |
|||
|
|
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
Задание 3. Найти с точностью ε =10−6 корень системы нелинейных уравнений
f1(x1, x2) = 0,
f2(x1, x2) = 0,
используя метод простой итерации для системы нелинейных уравнений. Проверить выполнение достаточного условия схо-
димости метода (использовать норму || ||∞ ).
№ |
f1(x1, x2 ) |
|
f2 (x1, x2 ) |
|
3.1 |
0.7x1 − (sin x2 ) /3 − 2 |
1.1x1 + 2x2 − sin(x1 /5) +1 |
||
3.2 |
x1 − 0.3x2 − 0.25cos x1 − 7.5 |
−0.05x1 − x2 + 0.5sin x1 |
||
3.3 |
x1x2 + 0.3x1 − 0.1 |
5x2 + cos x1 −1 |
||
3.4 |
x1 − sin x2 − cos x2 + 0.8 |
x |
− 0.01sin x2 |
− 02x |
|
|
2 |
1 |
1 |
3.5 |
tan x1 + x2 + 7 |
x1 + cos2x2 +1 |
||
47