Лабораторная работа № 2
ТЕОРИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ И МАШИННАЯ АРИФМЕТИКА
Цель: изучить теорию погрешностей.
Теоретические сведения
Пусть a – точное значение, a* – приближенное значение некоторой величины. Абсолютной погрешностью приближенно-
го значения a* называется величина (a* ) = a* − a . Относительной погрешностью значения a* (при a ≠ 0 ) называется величина δ(a*) = (aa*) . Так как значение величины a, как правило, неизвестно, чаще получают оценки погрешностей ви-
да |
|
a − a* |
|
≤ |
|
(a*) ; |
|
|
a − a* |
|
≤ |
|
(a*) . Величины |
|
(a*) и |
|
(a*) назы- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ |
|
δ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вают верхними границами (или просто границами) абсолютной и относительной погрешностей.
Значащую цифру числа a* называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре.
Задания к лабораторной работе
∞
Задание 1. Дан ряд ∑an . Найти сумму ряда аналитически.
n=0
N
Вычислить значения частичных сумм ряда SN = ∑an и найти
n=0
величину погрешности при значениях N = 10, 102, 103, 104, 105.
13
ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ:
1. Найти сумму ряда S аналитически как предел частичных сумм ряда.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. |
|
Используя функцию |
SN = ∑an , вычислить значения ча- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
стичных сумм ряда при указанных значениях N . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. Для каждого N |
вычислить величину абсолютной погреш- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ности |
|
S(N) − S |
|
и определить количество верныхцифр в S(N) . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
|
|
|
|
Представить |
|
|
|
результаты в виде гистограммы. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
an |
№ |
|
|
|
|
|
|
an |
|
№ |
|
|
|
|
|
an |
||||||||||||||||
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
60 |
|
|
|
|
|
|
21 |
|
24 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 + 5n + 6 |
|
|
|
|
|
|
11(n2 +12n + 35) |
|
|
7(n2 + 8n +15) |
|
||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
144 |
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
36 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
11(n2 + 5n + 4) |
|
|
5(n2 + 6n + 8) |
|
|
|
|
|
|
n2 + 5n + 4 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
46 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n2 + 7 n +12 |
|
|
|
|
n2 + 7 n +10 |
|
|
|
|
|
|
n2 + 5n + 6 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
48 |
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
48 |
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
96 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
5(n2 + 6n + 8) |
|
|
|
|
n2 + 8n +15 |
|
|
|
|
n2 + 9n + 20 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
48 |
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
60 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
5(n2 + 6n + 5) |
|
|
|
|
|
|
n2 + 4 n + 3 |
|
|
|
|
|
|
n2 + 6n + 8 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
6 |
|
|
72 |
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
26 |
|
|
72 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
5(n2 + 6n + 8) |
|
|
|
|
|
n2 + 5n + 6 |
|
|
|
|
|
n2 + 7 n +10 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
7 |
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
144 |
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
24 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n2 + 8n +15 |
|
|
|
n2 +18n + 80 |
|
|
|
|
|
|
|
n2 + 4n + 3 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
8 |
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
28 |
|
|
96 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n2 + 9n + 20 |
|
|
|
|
|
n2 + 4n + 3 |
|
|
|
|
|
n2 + 8n +15 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
9 |
|
|
216 |
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
180 |
|
|
|
|
|
|
29 |
|
|
72 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
7(n2 + 8n +15) |
|
|
n2 + 20n + 99 |
|
|
|
|
|
|
|
n2 + 6n + 8 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
10 |
|
84 |
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
112 |
|
|
|
|
|
|
30 |
|
12 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15(n2 +16n + 63) |
|
|
|
|
5(n2 + 6n + 8) |
|
||||||||||||||||||
|
13(n2 +14n + 48) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
14
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
Задание 2. Дана матрица A = |
|
a22 |
a23 |
|
. В каждый из |
a21 |
|
||||
|
a |
a |
a |
|
|
|
31 |
32 |
33 |
|
|
диагональных элементов матрицы A по очереди внести погрешность в 1%. Как изменился определитель матрицы А? Указать количество верных цифр и вычислить величину относительной погрешности определителя в каждом случае.
№ |
|
|
A |
|
|
№ |
|
|
A |
|
|
№ |
|
|
A |
|
|
||
|
|
3 |
2 |
|
2 |
|
|
|
30 |
34 |
19 |
|
1.3 |
1 |
13 |
||||
1 |
|
33 |
28 |
24 |
|
2 |
|
314 |
34 |
|
|
3 |
|
3.4 |
1.4 23 |
|
|||
|
|
|
200 |
|
|
||||||||||||||
|
|
360 320 270 |
|
|
|
2 |
8 |
13 |
|
|
|
5 |
3 1.5 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
9 5 |
6 |
|
|
|
− 7 − 7 −1 |
|
|
3 1 |
13 |
|
||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
0 − 2 − 6 |
|
6 |
|
|
|
15 |
|
|
||
|
17 9 |
11 |
|
|
|
|
5 3 |
|
|
||||||||||
|
|
|
7 4 |
5 |
|
|
|
|
5 |
6 |
4 |
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 5 |
|
|
|||||||
Задание 3. Для заданной матрицы A найти обратную матрицу (если это возможно). Затем в элемент a 11 внести погрешность в 10% и снова найти обратную матрицу. Объяснить полученные результаты.
№ |
|
|
A |
|
|
N |
|
|
A |
|
|
№ |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
2 |
16 |
− 6 |
|
|
2 |
4.4 |
− 2 |
|
|
|
3 |
5 |
3 |
|
|||
1 |
|
3 |
24 5 |
|
2 |
|
1 |
2 −1 |
|
3 |
|
|
9 |
15 9 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
8 11 |
|
|
|
3 |
− 5 0 |
|
|
|
|
6 |
7 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
48 |
3 |
6 |
|
|
2 |
0.4 |
6 |
|
|
5 |
|
5.5 |
5.5 |
||||
4 |
|
32 |
2 |
4 |
|
5 |
|
1.1 |
0.2 |
3 |
|
6 |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
5 |
−1 |
2 |
|
|
|
2.3 |
1.2 |
4 |
|
|
|
5 |
|
−1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
15
Задание 4. Найти ранг заданной матрицы A. Затем внести погрешность в 0.1%: а) в элемент a11; б) во все элементы матрицы, и снова найти ранг. Объяснить полученные результаты.
№ |
|
|
A |
|
|
|
№ |
|
|
A |
|
|
|
№ |
|
|
|
A |
|
|
|
|
1 |
1.1 |
0.1 |
0.8 |
1.6 |
2 |
|
0.6 |
4.5 |
0.3 |
3 |
|
3 |
|
1.8 |
4 |
0 |
1.9 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1.3 |
− 0.3 |
1.2 |
2.1 |
|
|
|
− 2.4 |
− 12 |
0.9 |
− 7 |
|
|
|
20.9 |
37 |
− 25 |
19.2 |
|
||
|
|
0.9 |
0.5 |
0.4 |
1.1 |
|
|
|
1.2 |
9 |
0.6 |
6 |
|
|
|
0.5 |
3 |
5 |
1.1 |
|
||
|
|
− 0.4 |
− 3.8 |
2 |
1.3 |
|
|
|
|
3 |
3.6 |
4 |
|
|
10.6 |
16 |
− 20 |
8.9 |
||||
|
|
|
|
|
|
− 1.2 |
|
|
||||||||||||||
4 |
|
2 |
15 |
22 |
7 |
|
5 |
1.9 |
9 |
1.6 |
0.1 |
|
|
6 |
1.2 |
9 |
0.6 |
6 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
14.1 |
18.8 |
2.3 |
|
|
11.3 |
23 |
6.8 |
− 3.7 |
|
|
1.6 |
23 |
− 7.2 |
9 |
|
|
|||
|
|
2 |
4 |
9 |
9 |
|
|
|
|
10 |
1.1 |
1.1 |
|
|
|
|
|
4 |
9 |
9 |
|
|
|
|
− 0.4 |
2.5 |
2.1 |
|
|
|
0.5 |
|
|
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
− 2.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0.9 − 11 − 0.6 |
− 2.1 |
|
|
|
2 |
37 |
− 15 |
12 |
|
|
||||
Задание 5. Дано квадратное уравнениеa + bx + c = 0. Предполагается, что один из коэффициентов уравнения (в индивидуальном варианте помечен *) получен в результате округления. Произвести теоретическую оценку погрешностей корней в зависимости от погрешности коэффициента. Вычислить корни уравнения при нескольких различных значениях коэффициента в пределах заданной точности. Сравнить полученные результаты.
№ |
Коэффициенты |
№ |
Коэффициенты |
№ |
Коэффициенты |
|
1 |
b* = -39.6 |
2 |
b = 27.4 |
3 |
b* = 37.4 |
|
c = -716.85 |
c* = 187.65 |
c = 187.65 |
||||
|
|
|
||||
4 |
b = -30.9 |
5 |
b* = -3.29 |
6 |
b = -3.29 |
|
c* = 238.7 |
c = 2.706 |
c* = 2.706 |
||||
|
|
|
Задание 6. Для пакета Mathematica найти значения машинного нуля, машинной бесконечности.
Задание 7. Три вектора a1, a2, a3 заданы своими координатами в базисе i, j, k. Что можно сказать о компланарности этих векторов, если: 1) координаты векторов заданы точно;
16