Численные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений

Используя понятие матрицы дифференцирования мы получаем вполне прозрач- ное понимание общих принципов построения спектральных численных методов. В частности, построение спектральной дискретной модели состоит в замене дифференциального бесконечномерного оператора на спектральную матрицу дифференцирования, в которой учтены краевые условия.

В случае метода Фурье краевые условия полагаются периодическими, что автоматически учитывается выбором периодических базисных функций. Для спектрального метода Чебышева краевые условия произвольного вида могут быть заданы с помощью соответствующей модификации крайних строк матрицы дифференцирования. Рассмотрим простой пример, демонстрирующий постановку краевых условий.

Пример 2.3. Построим спектральный метод Чебышева для уравнения второго порядка с краевыми условиями Дирихле и исследуем его эффективность на задачах с различной степенью гладкости входных данных:

Во втором случае функция правой части полагается разрывной:

Как следствие, производные решения задачи второго и более высокого порядка также будут разрывными. Точное решение имеет вид

Дискретизация области определения решения и замена дифференциального оператора соответствующей матрицей дифференцирования приводит к следующей системе дифференциальных уравнений

ãäå F = (a; f(x1); f(x2); : : : ; f(xN 2); b)T . Отметим, что первую и последнюю строки

матрицы дифференцирования следует модифицировать согласно краевым условиям, чтобы решение алгебраической задачи (2.83) было определено однозначно. В

случае нулевых краевых условий эти строки (равно как первый и последний столб- цы матрицы D(2)) могут быть просто удалены. В соответствии с этим удаляются

первый и последний элементы вектора F .

Для краевых условий Дирихле общего вида элементы первой и последней строк полагаются равными нулю, за исключением диагональных элементов, значения которых задаются равными единице. При этом первый и последний элемент вектора правой части F задаются равными соответствующим краевым значения.

В случае краевых условий Неймана, например,

нальному элементу этой строки слагаемого . Первому элементу вектора F соответственно присваивается значение .

%%Решение уравнения u"=sign(x)*50 %%%%

%%% с разрывной правой частью %%%%%%%%

%%Конечные разности в сравнении со спектральным методом %% clear; k = 0;

for H = [1e-1,5e-2,2.5e-2,1e-2,5e-3,2e-3,1e-3] k = k+1;

h = H;

x = -1+h:h:1-h; N = length(x);

e = ones(N,1)/h^2;

%%%% конечноразностная матрица дифференцирования %%%%%%%%%%%%%

A = spdiags([e,-2*e,e],-1:1,N,N); f = -12*x.^2;

u = A\(f(:));

%%%% = точное решение =%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% U = -x.^4+1;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

j = 0:N-1;

xx = -cos(j.*pi/(N-1));

%%%% матрица спектрального дифференцирования Чебышева %%%%%%%%%%

D = gallery('chebspec',N);

AA = D*D; %вторая производная

%%%% = Краевые Условия = %%%%%%%%%%%%%%%%%

AA(1,1) = 1; AA(1,2:end) = 0; AA(N,N) = 1;

AA(N,1:end-1)=AA(N,1:end-1)*0;

Рис. 2.3. Решение задачи (2.77) (2.79) (слева) и динамика относительной ошибки спектрального метода Чебышева (SC) и метода конечных разностей в зависимости от числа узлов сетки (справа)

решении задачи (2.77) (2.79) (сравните результаты, представленные на рис. 2.3 и рис. 2.3 ).

Рассмотренный пример показывает, что точность спектрального метода (в данном случае это метод Чебышева) существенно зависит от гладкости входных данных задачи. Как правило, погрешность метода имеет степенную скорость сходимости:

где C некоторая постоянная, N число узлов сетки, m характеризует скорость

сходимости. Для большинства известных разностных методов и методов конечных элементов m = 2 или m = 4. Скорость сходимости спектральных методов суще-

ственно выше и в большинстве случаев ограничена не столько внутренними особенностями метода, сколько гладкостью решения. Для бесконечно дифференцируемых решений оценка (2.85) может выполняться для произвольных m > 0. Для решений,

имеющих аналитическое продолжение на комплексную плоскость сходимость спек-

Рис. 2.4. Решение задачи (2.77) (2.78), (2.80) (слева) и динамика погрешности спектрального метода Чебышева (SC) и метода конечных разностей в зависимости от числа узлов сетки (справа).

тральных методов имеет экспоненциальный характер, т.е. быстрее, чем степенная сходимость (2.85):

В случае функций, производные которых вплоть до порядка p 1, принадлежат классу интегрируемых с квадратом, скорость сходимости -й производной, < p, имеет следующую оценку:

äëÿ p > 1.

В случае задачи (2.77) (2.78), (2.80), с учетом того, что вторая производная задана уравнением (2.81) и p = 3, согласно оценке (2.87) мы имеем второй порядок

скорости сходимости, что подтверждается результатами численных экспериментов, представленных на рис. 2.3.

Для большинства практически значимых случаев оценка гладкости решения представляет собой нетривиальную задачу. В силу этого наиболее простой способ убедиться в сходимости спектрального метода состоит в сравнении приближенных

решений, полученных на последовательности 2-3 сеток с различным числом узлов. Кроме того, существует несколько эмпирических правил, позволяющих оценить адекватный размер шага для получения требуемую точность. Например, при моделировании колебательных процессов разумно соизмерять выбор размера шага с периодом колебаний или длиной волны. В частности, наблюдения показывают, что для получения относительной погрешности 5% при моделировании волновых процессов со средней длиной волны необходимое пространственное разрешение сетки

для методов конечных разностей второго порядка точности может быть обеспечено при размере шага дискретизации h ' =20, в то время как для спектральных ме-

тодов Фурье (Чебышева) h ' =3:5. Для достижения относительной погрешности 1% соответственно требуется размер шага для разностных методов h ' =40, а для спектральных методов по-прежнему h ' =3:5 (подробнее см. [8]).

Еще одно эмпирическое правило выбора шага: при моделировании сингулярных решений на отрезке x 2 [ 1; 1], когда масштаб сингулярности 2" << 1 относительная

точность порядка " обеспечивается спектральным методом Чебышева при размере

Пример 2.4. Для лучшего понимания преимуществ спектральных методов сравним его эффективность с другими численными методиками, например, с методом сплайн-коллокации 5-го порядка точности, реализованным в стандартной функции MATLAB bvp5c.

В качестве тестовой задачи рассмотрим систему дифференциальных уравнений

8

>

> du = ik exp(i2 x)v;

<

> dx

>

> dv

:

> = ik exp( i2 x)u;

dx

p

где i = 1, с краевыми условиями

Данная задача описывает распространение электромагнитных волн в среде с периодической модуляцией показателя преломления. Для оценки погрешности приближенного решение мы будем использовать аналитическое выражение для коэффициента отражения волны:

ãäå = pk2 2, = k .

Используя сетку Чебышевских узлов

Рис. 2.5. Время решения задачи для достижения заданной точности при использовании спектрального метода Чебышева (SChM) и метода сплай-коллокации 5-го порядка точности, реализованного в функции bvp5c.m.

Упражнение 2.2. 1. Воспроизведите пример, представленный выше и убедитесь, что решение задачи (2.89) (2.90) имеет волнообразный вид и для заданных параметров ' 2=3. На примере рассмотренной задачи проверьте выполнения эм-

пирического правила выбора шага спектральных методов для достижения относительной погрешности 1-4%. Среднее значение шага считать равным 2=N, где N

число узлов сетки.

2. Проверьте справедливость эмпирического правила (2.88) на примере спектрального дифференцирования функции

используя матрицу спектрального дифференцирования Чебышева.

3. Для решения задачи (2.89) (2.90) выполняется следующий закон сохранения:

Проверьте выполнение данного закона сохранения для спектрального метода и метода сплай-коллокации, используя программную реализацию методов, рассмотренную в примере выше.