Численные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений

for M = Mu

k = k+1; mu = M; T=10*mu

options = odeset('RelTol',1.e-7); % Relative Tolerance %% Функция правой части и матрица Якоби

dydt = @(t,y)[y(2); mu*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];

dfdt = @(t,y)[0 1; -2*mu*y(1)*y(2)-1 mu*(1-y(1)^2)]; if settings == 'default'

else

options = odeset('Jacobian',dfdt ); % Jacobian func. end

Efficiency of Matlab ODE solvers with default settings

Efficiency of Matlab ODE solvers with precalculated Jacobian

Рис. 1.6. Сравнение вычислительной эффективности функций MATLAB на примере моделирования жесткой системы Ван дер Поля (1.71), (1.71) при использовании настроек численного метода по умолчанию и предварительно заданным явным видом матрицы Якоби для вектор-функции правой части системы

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

tic

Глава 2

Краевые задачи

2.1. Постановка задачи

При математическом моделировании инженерно-физических задач возникает необходимость определить дополнительные условия для решения систем дифференциальных уравнений при различных значениях независимой переменной. Для простоты рассмотрим пример дифференциального уравнения второго порядка

с нулевыми краевыми условиями на концах отрезка:

Задачи такого типа, когда дополнительные условия задаются в разных точках, называются краевыми задачами.

Задача (2.1) (2.2) допускает эквивалентное представление в виде системы двух дифференциальных уравнений первого порядка:

8

>

> dv + a(x)u = f(x);

<

> dx

(2.3)

>du

>= v;

:

dx

Формулировка краевой задачи в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка в некоторых случаях представляется предпочтительной, особенно если искомые функции такой системы наделены конкретным смыслом. В общем случае двухточечная краевая задача для системы дифференциальных уравнений N-го порядка имеет следующий вид

где x = L и x = R левая и правая границы отрезка, BL, BR вектор-функции,

BL = [bL1 (u); bL2 (u); : : : ; bLn(u)]; BR = [bR1 (u); bR2 (u); : : : ; bRN n(u)];

такие, что общее число условий (2.5) равняется числу уравнений системы (2.4).

2.2.Метод конечных разностей и конечных элементов для решения краевых задач

Основная идея большинства методов численного анализа дифференциальных уравнений состоит в переходе от рассмотрения непрерывной задачи в бесконечномерном функциональном пространстве V к дискретной задаче, формулируемой в

конечномерном векторном пространстве VN . Среди наиболее универсальных подхо-

дов к решению краевых задач для дифференциальных уравнений следует в первую очередь отметить методы конечных разностей è конечных элементов.

В методе конечных разностей, в отличие от исходной дифференциальной задачи, искомое решение является не функцией, заданной в некоторой ограниченной области, а множество значений этой функции, определенных в конечном числе то- чек, принадлежащих области определения решения.

Теоретическую основу метода конечных элементов составляют слабая формулировка задачи, метод Галеркина и представление решения в виде линейной комбинаций финитных базисных функций n(x), n = 1; : : : ; N, имеющих компактный носитель и удовлетворяющих краевым условиям:

N

X

U(x) = cn n(x); n(x) 6= 0;jx xnj 6 x; n(x) = 0; jx xnj > x; (2.6)

n=1

Несмотря на принципиальное отличие методов конечных разностей и конечных элементов, построенные в рамках данных подходов дискретные модели могут при определенных условиях совпадать. Рассмотрим подробнее эти два метода на примере решения дифференциального уравнения второго порядка на единичном отрезке с нулевыми краевыми условиями Дирихле:

Для построение дискретной разностной модели в области = (0; 1) определим множество точек !h = fx0; x1; : : : ; xN g, разбивающее область определения решения дифференциальной задачи на некоторое число интервалов. Как правило 0 6 x0 < x1 < : : : < xN 1 < xN 6 1. Множество !h называется сеткой, à ñàìè

2.2. Метод конечных разностей и конечных элементов для решения краевых задач33

точки xk, k = 0; : : : ; N узлы сетки . Расстояние между соседними узлами назы- âàþò шагом сетки, hk = xk xk 1. Для простоты мы ограничимся рассмотрением случая равномерной сетки, когда все шаги одинаковы: h1 = h2 = : : : hn = h. Для точного и приближенного решений в узлах сетки мы будем использовать соответственно следующие обозначения: u(xk) = uk, U(xk) = Uk.

Конечно разностный метод основан на замене производных дифференциальной задачи на соответствующие разностные приближения. Мы будем использовать следующие приближенные соотношения для дискретного представления производных на сетке:

ãäå k 1=2 = ((xk + xk 1)=2) èëè k 1=2 = ( (xk) + (xk 1)) =2.

Уравнения (2.9) (2.11) получены на основе представления решения и коэффи-

ãäå R(h) = O(h2) погрешность аппроксимации, возникающая в силу при-

ближенности разностного представления производных. Отметим, что если в разложении (2.12) (2.13) производные высших порядком существуют и ограничены, то погрешность аппроксимации стремиться к нулю при убывании шага сетки:

lim R(h) = 0:

h!0

Если шаг сетки достаточно мал мы можем пренебречь погрешностью аппроксимации, что приводит к следующему уравнению для приближенного решения задачи (2.7)) (2.8):

Уравнения вида (2.15) (2.16), полученные заменой производных дифференциальной задачи с помощью соответствующих конечных разностей называются разностной схемой.

Разностные схемы являются приближенными дискретными моделями дифференциальных задач. В рассмотренном случае данная модель имеет вид системы линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей. Отметим, что различие между конечно разностным уравнением (2.14) для точного решения исходной дифференциальной задачи и разностной схемой (2.15) (2.16) определяется величи- ной R(h) которая может быть интерпретирована как невязка дисбаланс в при-

ближенном разностном уравнении при подстановке в него точного решения исходной дифференциальной задачи. Мы будем говорить, что разностная схема согласована или разностная схема аппроксимирует дифференциальную задачу, если невязка (погрешность аппроксимации) разностной схемы на решении соответствующей дифференциальной задачи стремится к нулю при шаге сетки стремящемся к нулю.

Как правило, порядок малости невязки разностной схемы характеризует скорость сходимости ее решения. Напомним, что скорость сходимости èëè порядок точности численного метода это асимптотическая скорость убывания разницы между приближенным решением Uk и его точными значениями uk = u(xk)

в узлах сетки при шаге сетки стремящемся к нулю. Скорость сходимости является одной из важнейших характеристик разностных схем количественной мерой их точности. Говоря о том, что численный метод имеет n-й порядок точности мы

подразумеваем, что при достаточно малом h погрешность приближенного решения(xk) = U(xk) u(xk), xk 2 !h, имеет такой же порядок малости: k k 6 Chn = O(hn), где C постоянная не зависящая от h.

Основное отличие метода конечных элементов от разностных методов состоит в так называемой слабой формулировке дифференциальной задачи. Несложно заметить в уравнениях (2.9) (2.11), что для согласованности (аппроксимации) разностной схемы требуется существование и ограниченность производных высшего порядка. Например, для получения второго порядка аппроксимации разностной схемы (2.14) мы должны иметь как минимум четырежды дифференцируемое решение дифференциальной задачи, в то время как соответствующее дифференциальное уравнение содержит только вторые производные. Такого рода "сильные"требования, предъявляемые к дифференцируемости решения задачи, могут быть преодолены при использовании слабой формулировки. Слабая формулировка задачи получается путем умножения дифференциального уравнения (2.17) на некоторую дифференцируемую тестовую функцию (x) с последующим интегрированием полученного

равенства, используя формулы интегрирования по частям:

Интегральное уравнение (2.17) называется слабой постановкой задачи, а функция u(x), удовлетворяющее данному уравнению, называется слабым решением диф-

ференциальной задачи (2.7) (2.8). При построении дискретной модели на основе методов конечных элементов мы также используем дискретизацию области определения решения, разбивая ее на подобласти множеством узлов сетки. Кроме того, мы