Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Функции нескольких переменных

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.11.2025

Размер:

1.68 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

Коэффициенты a0 и a1 являются постоянными по отношению к суммам. Следовательно, их можно вынести за знак суммы:

yi na0

a1 xi

na0 a1 xi yi ,

i 1

или

i 1

(6.1)

y x

x2 0

y x .

i i

i 1

Полученная система является системой для определения неизвест-

ных параметров

и a1 . Решая эту систему, определяем числовые

значения a0

и a1 . Подставив найденные числовые значения a0 и a1 в

рассматриваемую зависимость, получаем конечный результат.

Пример 6.1. По данным эксперимента построить линейную за-

висимость y a0 a1x.

Решение. Построим исходные точки на плоскости (рис. 6.1). Соответствующая ломаная линия близка к отрезку прямой.

Рис. 6.1

По исходным данным имеем

n 5,	x 15,	x2	55,	y 11.	y x 45.
	i	i		i	i i

Подставляем эти данные в систему (6.2)

5a0 15a1 11,15a0 55a1 45.

Умножим первое уравнение на (–3):

15a0 45a1 33	10a		12		11 15a	11 15 1, 2	1, 4.
		1		a	1

15a0 55a1 45	a1	1,2		0	5	5

Подставляем найденные числовые значения a0 и a1 в функцию y: y 1,4 1,2x.

Расчетная линия показана на рис. 6.1 пунктиром. Она близко подходит к исходной линии.

2. Рассмотрим параболическую зависимость (нелинейную)

y a0 a1x a2 x2.

Функция

n	y	a	a x2	2	min.
l
i 1	i	0	1 i

Это функция 3-х переменных ( a0 , a1, a2 ). Необходимое условие существования экстремума имеет

yi a0 a1xi a2 xi2 1 0,

i 1

2 y a a x a x

x 0,

i 1

1 i

2 i

l 2

y a a x a x2 x2 0.

1 i

2 i

i 1

Откуда

a0 a1xi a1xi2 0,

i 1

y x a x a x2 a x3 0,

i 1

0 i

1 i

y x2 a x2

a x3 a x4 0

i 1

0 i

1 i

или

yi a0 a1 xi

a2 xi2 0,

i 1

x y a x a x2 a

x3 0,

i 1

i i

0 i 1

1i 1 i

2 i 1

y x2 a x2 a x3

x4 0.

i 1

i i

0 i 1

1i 1 i

2 i 1

Окончательно имеем

na0 a1 xi

a2 xi2

yi ,

i 1

a x

a x2

a x3

x y ,

0 i 1 i

1i 1 i

2 i 1

i 1

i i

a x2

a x3

a x4

y x2 .

0 i 1 i

1i 1 i

2 i 1

i 1

i i

Полученная система является системой для определения коэф-

фициентов ai .
Пример 6.2. Построить зависимость y y x				по данным.

xi	0	1	2	3	4
yi	0	2	4	1	–1

Решение. На плоскости XOY строим данные точки и соответствующую ломаную линию (рис. 6.2).

Рис. 6.2

Видно, что зависимость между x и y близка к параболической. По исходным данным имеем

n 5, xi 10, xi2 30, xi4 354, yi 6,

yi xi 10, yi xi2 11.

Подставляем в расчетную систему:

5a0 10a1 30a2 6,10a0 30a1 100a2 10,30a0 100a1 354a2 11.

Решая систему, находим


a	41	,	a	169	,	a		17	.
a		,	a		,	a			.
0	35		1	35		2	14
	35			35			14

Исходная зависимость

y 3541 16935 x 1714 x2.

Замечание. Для каждой зависимости получается своя расчетная система или уравнение, т. е. каждый раз в функцию l (6.1) подставляем свою рассматриваемую зависимость.

6.2.Аудиторные задания

1.Найти зависимость y ax.

1.1.

xi		1		2		3		4		5			6
yi		0,2		0,5		0,7		1		1,3			1,5
										(Ответ: y 0,25x.)
	1.2.
xi		1		2		3		4		5		6
yi		2,2		4,5		6,7		9		11		13,5
										(Ответ: y 2,23x.)
	1.3.
xi			10		20		30		40		50
yi			–21		–42,5		–64			–85			–106
									(Ответ:		y 2,12x. )

2.Найти зависимость y a0 a1x. 2.1.

xi			2			4			5			6	8
yi			–1			5			8,5			12	18
											(Ответ: y 7,5 3, 2x. )
	2.2.
xi			1			1,5			2			2,5	3
yi			2,1			2,2			2,7			2,8	2,85
											(Ответ: y 1,69 0, 42x. )
	2.3.
xi		1		2			3			4		5		6
yi		2		4,9			7,9			11,1		14,1		17
											(Ответ: y 1,081 3,023x. )
	2.4.
xi		0,2			0,5			0,7			0,9	1,3		1,5
yi		3,7			3,8			3,9			4,0	4,1		4,2
											(Ответ:	y 3,626 0,381x. )

3.Найти параболическую зависимость y a0 a1x2. 3.1.

xi		1		2		3		4	5
yi		1		6		13		24	37
							(Ответ: y 1,5x2		0,3. )
	3.2.
xi			1		2		3	4	5
yi			0		–2		–6	–11	–18
							(Ответ:	y 0,75x2 0,85. )

3.3.

xi	1	2	3	4	5
yi	–1	–1,5	–2	–3	–4,5

(Ответ: y 0,14x2 0,86. )

4.Найти зависимость y a0 a1x a2 x2. 4.1.

xi	1	2						3	4	5
yi	2,9	8,9				19,1			33,2	50,8
				(Ответ:				y 1,936x2 0,394x 0,502. )
4.2.
xi	–2		–1		0			1	2	3
yi	6,8	5,7			2,5			1,6	3,1	5,9
					(Ответ:			y 0,684x2 1,061x 2,631. )
4.3.
xi	1		2					3	4	5
yi	1		4					7	3	1
					(Ответ: y 27, 41 0,033x 2, 21x2. )
			6.3. Домашние задания
1 Найти зависимость y ax .
1.1.
xi	2		4					6	8	10
yi	2,5		5				7,5		10	13
									(Ответ:	y 1, 27x. )
1.2.
xi	10		20				30		40	50
yi	–7,5		–15				–20		–30	–37

(Ответ: y 0,73x. )

2.Найти зависимость y a0 a1x. 2.1.

xi			–2	0		1		2		4
yi			0,5	1		1,5		2		3
							(Ответ: y 1,175 0, 425x. )
	2.2.
xi			–2	–1	0		1		2		3
yi		2,3		2,8	3,6		4		4,7		5
							(Ответ: y 3,45 0,56x. )
3. Найти зависимость y a					a x a x2 .
				0	1	2
xi			1	2		3		4		5
yi			7	3		0		2		6
						(Ответ:		y 19 9,3x 1,5x2. )

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

1. Для данной функции найти:

1)полный дифференциал в т. M при x 0,05, y 0,03;

2)градиент в т. M;

3)производную в т. M в направлении вектора MN ;

4)используя полный дифференциал, вычислить приближенное значение функции в т. P;

5)экстремумы;

6)условные экстремумы, если переменные связаны заданным условием;

7)наименьшее и наибольшее значение функции в заданной области.

2. В таблице приведены значения Y и X. Методом наименьших квадратов найти коэффициенты ai уравнений, полагая, что между этими величинами существует:

1)линейная зависимость вида y ax b;

2)квадратичная зависимость вида y ax2 bx c.

Вариант 1

1.	z xy 4 x y .
1)	M 1, 1 ;		2)	M 1, 1 ;		3)	M 1, 1 ;		N 2, 3 ; 4)		P 1,02; 0,98 ;
5) 2x y 5 0;			6) в треугольнике: x 0,						y 0,	x y 3.
2.
X		1			3			4		6		7
Y		2			2,5			3		3,5		5
						Вариант 2
1.	z	x 2 2		y 3 2
1.	z				3.
		9		4
1)	M 2,1 ;		2)	M 2,1 ;		3)		M 2,1 ;	N 2, 3 ; 4)		P 1,03;1,01 ;
5) 2x y 5 0;			6) в треугольнике: x 0,						y 0,	x y 4.
2.
X		2			2,5			4		4,5		5
Y		1,5			3			3,5		4		3,5
						Вариант 3
1.	z x3 y3 12xy.
1)	M 1, 1 ; 2)			M 1, 1 ;		3)	M 1,1 ; N 2, 3 ;			4)	P 0,98;1,01 ;

5)2x y 1 0; 6) в треугольнике: x 0, y 0, x y 1.

X	2,5	3	3,5	4,5	6
Y	2	4	3,5	4	4,5

Вариант 4

1. z x2 y2 12xy 3.

1) M 1, 1 ; 2) M 1, 1 ; 3) M 1, 1 ; N 2, 3 ; 4) P 1,03; 0,98 ;

6)2x y 1 0; 7) в треугольнике: x 0, y 0, x y 1.

		X	1,5	2		2,5			3,5		4
		Y	1	2		2,5			3		2,5
				Вариант 5
1.		z 4x2 y2 4x 2y 5.
1)		M 1, 2 ;	2) M 1, 2 ; 3)		M 1, 2 ; N 2, 3 ; 4)					P 0,97; 0,98 ;
5) x y 5 0;			6) в треугольнике: x 0,					y 0,	x y 2.
2.
	X		3	3,5		4			4,5				5,5
	Y		1	1,5		2			3				3,5
				Вариант 6
1.		z 5x2 y2 4xy 6x 8y 1.
1) M 2, 1 ;			2) M 2, 1 ; 3)		M 2, 1 ; N 2, 3 ; 4)						P 0,95; 1,03 ;
5) 3x y 5 0; 6) в треугольнике: x 0,								y 0,	x y 1.
2.
		X	2	2,5			3		3,5			5
		Y	2	3			3,5		4			4

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.11.20252.35 Mб0Формирование архитектурно-ландшафтных композиций.pdf
#
30.11.20253.19 Mб0Формирование навыков креативного мышления у студентов при изучении философии, логики.pdf
#
30.11.20258.58 Mб5Французский язык. Часть 1.pdf
#
30.11.20255.35 Mб2Фрезерные работы.pdf
#
30.11.20252.65 Mб0Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения.pdf
#
30.11.20251.68 Mб0Функции нескольких переменных.pdf
#
30.11.20252.85 Mб0Функциональное и логическое программирование.pdf
#
30.11.20259.48 Mб0Характеристики дорожного движения.pdf
#
30.11.20253.33 Mб0Химия для курсантов военно-технического профиля.pdf
#
30.11.20255.03 Mб0Химия для студентов специальности 1-57 02 01 Технология и оборудование ювелирного производства.pdf
#
30.11.20254.42 Mб1Химия.pdf