Функции нескольких переменных

Дифференциал 2-го порядка d2 F M 2dx2 2dy2 0. Следова-

zmin 6425 1625 4 2025 54 .

Пример 5.4. Найти экстремум функции

z x2 10xy y2 2x 3y

при условии, что x y 4.

Решение. В соответствии с формулой (5.3) функция Лагранжа будет иметь вид

F x, y, λ x2 10xy y2 2x 3y λ x y 4 .

Ее частные производные:

Система уравнений необходимого условия существования условного экстремума будет равна

2x 10 y λ 2 0,10x 2 y λ 3 0,x y 4 0.

Вычтем из первого уравнения второе:

60

8x 8y 5 0,x y 4 0.

Умножим второе уравнение на 8:

Получили т. M 27 , 37 . Частные производные 2-го порядка:

16 16

Дифференциал 2-го порядка исходной функции z в т. M будет равен

d2 F M 2dx2 20dxdy 2dy2.

По выражению полученного дифференциала нельзя сделать заключение о его знаке. Поэтому обращаемся к ограничению и выражаем, например, x:

x 4 y dx dy.

Подставляем вместо dx его выражение в дифференциал 2-го порядка:

d2 F M 2 dy 2 20 dy dy 2dy2 16dy2 0.

61

5.3.Наибольшее и наименьшее значение функции

взамкнутой области

Пусть функция z f x, y определена и непрерывна в ограни-

ченной замкнутой области D OXY и имеет в ней конечные частные производные. Тогда в этой области найдется т. M0 x0 , y0 , в

которой функция достигает самое большое (самое малое) из всех значений (теорема Вейерштрасса). Такие значения называются гло-

бальными экстремумами функции f x, y в области D. Если ука-

занная т. M 0 лежит внутри области D, то в ней функция, очевидно, достигает и локального максимума (минимума), поэтому такая точка должна быть стационарной критической для f x, y . Однако своего наибольшего (наименьшего) значения функция f x, y мо-

жет достигать и на границе области (линия Г). Кривая Г может состоять из одного или нескольких участков, описываемых уравнени-

функцию от одной переменной (x или y). Экстремум этой функции может достигаться только в ее критических точках внутри соответствующего участка линии границы либо в «точках стыковки» участков линий границы.

В итоге правило нахождения наибольшего и наименьшего значе-

ний указанной функции z f x, y в области D будет заключаться

ковки» участков линии границы области D ;

62

4) из всех полученных значений функции выбираются наибольшее и наименьшее значения.

Пример 5.5. Найти наибольшее и наименьшее значение функции z x2 y2 10xy 4x 8y 3 в области D, ограниченной линиями x 0, y 0, x y 6.

Решение. Исходная область имеет вид, показанный на рис. 5.1.

Рис. 5.1

Найдем стационарные точки рассматриваемой функции, принадлежащие области D. Имеем

63

функции в этой точке будет равно

Далее исследуем границу области D. Исследование проводим по всем участкам области.

1. Участок ОА. Уравнение этой стороны: x 0 . Подставляем это значение x в исходную функцию:

z1 y2 8y 3.

Получили функцию одной переменной. Найдем ее стационарные точки:

Значение функции в этой точке:

z M1 z1 M1 22 8 2 3 9.

Значение функции в граничных точках O и A:

z O 3, z A 100 80 3 23.

2. Участок ОВ. Уравнение стороны ОВ: y 0 . Подставив вместо y его значение в исходную функцию, получим

z2 x2 4x 3 .

64

лежит линии ОВ. Значение функции в этой точке z M2 z2 M2 4 8 3 1.

Значение функции в точке границы

z B z2 B 100 40 3 63.

3. Участок АВ. Уравнение этой стороны: y 10 x. Подставив в исходную функцию это выражение для y, получим

z3 x2 10 x 2 10x 10 x 4x 8 10 x 3 x2 100

20x x2 100x 10x2 4x 80 8x 3 8x2 84x 23.

Критические точки полученной функции определяем из условия

функции в этой точке:

Из всех найденных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее:

65

5.4.Аудиторные задания

1.Найти экстремум функции.

1.1.z x4 y4 2x2 4xy 2y2.

(Ответ: zmin 2, 2 8; zmin 2, 2 8. ) 1.2. z e x2 y2 3x2 y2 .

(Ответ: zmax 1, 0 3e 1; zmax 1, 0 3e 1; zmin 0, 0 0. ) 1.3. z x3 3xy2 51x 24y.

(Ответ: zmax 4, 1 152; zmin 4,1 152. )

1.5.z x2 6xy 10y2 2x 6y 7. (Ответ: zmin 1, 0 6. )

1.6.z 2x2 4xy 6y2 8x 16y 19.

(Ответ: zmin 1, 1 7. )

1.7.z x2 2y2 4x 12y. (Ответ: zmin 2, 3 22. )

1.8.z x 1 2 4y2. (Ответ: zmin 1, 0 0. )

2.Найти условный экстремум функции.

2.1.z 9 8x 6y при условии, что x2 2y2 25.

(Ответ: zmin 41. ) 2.2. z x2 y2 при условии, что x 2y 6.

(Ответ: zmin 12 .)

2.3. z 8 2x 4y при условии, что x2 2y2 12 0.

(Ответ: zmin 4; zmax 20. )

2.4. z x2 y2 xy 5x 4y 10 при условии, что x y 4. (Ответ: zmin 154 . )

2.5. z 5xy при условии, что 2x y 100. (Ответ: zmax 50. )

66

2.6. z x2 y2 при условии, что x 4y 17 0. (Ответ: zmin 17. )

3.Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области D.

3.1.z x2 y2 xy 5x 4y 10, D : x 0, y 0, x y 4.

(Ответ: zнаим. z 2,1 3; zнаиб. z 0, 0 z 0, 4 10. ) 3.2. z x2 y2 xy 3x 3y 7, D : x 0, y 0, x y 3.

(Ответ: zнаим. z 1, 1 4; zнаиб. z 0, 0 z 0, 3 z 3, 0 7. ) 3.3. z 1 2x 3y, D : x 0, y 0, x y 6.

(Ответ: zнаим. z 0, 0 1; zнаиб. z 0, 6 19. ) 3.4. z x2 y2 , D : x2 y2 9.

(Ответ: zнаим. z 0, 0 0; zнаиб. 9 в точках окружности x2 y2 9. ) 3.5. z x2 4xy y2 6x 2y, D : x 0, y 0, 2x 3y 6.

(Ответ: zнаим. z 3, 0 9; zнаиб. z 0, 0 0. )

5.5.Домашние задания

1.Найти экстремум функции.

1.1.z x3 3xy2 51x 24y.

(Ответ: zmax z 4, 1 152; zmin z 4,1 152. )

1.2.z 3x2 y3 18x 30y.

(Ответ: zmin z 1, 3 72; zmax z 1, 3 72. )

1.3.z 1 2x2 2 y2 . (Ответ: zmax z 2, 2 3. )

1x y

2.Найти условный экстремум функции.

2.1.z 4 2x 6y при условии, что x2 4 y2 8.

(Ответ: zmin 4 22, zmax 4 22. )

2.2. z x2 y2 xy 4x 4y 2 при условии, что x y 4. (Ответ: zmin 2. )

67

2.3. z x2 y2 8xy 4x 6y 7 при условии, что x y 4.

(Ответ: zmin 30,5.)

3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в обла-

сти.

3.1. z x2 y2 xy 6x 7 y 10, D : x 0, y 0, y 8 2x.

(Ответ: zнаиб. z 4, 0 50; zнаим. z 0; 3, 5 2, 25. ) 3.2. z x2 4y2 2xy 5x y 6, D : x 0, y x, x 4.

(Ответ: zнаиб. z 8, 8 230; zнаим. z 0; 0 6. )

6.МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

6.1.Суть метода наименьших квадратов

Пусть в процессе эксперимента получены пары значений.

мость не задана, то на плоскости XOY строим исходные точки и соединяем их отрезками прямых. По форме полученной ломаной линии устанавливаем (приближенно) формулу связи между x и y (линейная, нелинейная).

1. Пусть рассматривается линейная зависимость

y a0 a1x,

где a0 и a1 – неизвестные параметры, подлежащие определению. Значения этих параметров ( a0 , a1 ) определяем по методу

наименьших квадратов. Суть метода состоит в том, что сумма квадратов отклонений расчетных значений от фактических должна быть величиной минимальной:

68

n

l yi y 2 min. (6.1)

i 1

Подставляем в (6.1) исследуемую линейную зависимость:

n

l yi a0 a1xi 2 min.

i 1

Функция l является функцией 2-х переменных ( a0 и a1 ). Необходимое условие существования экстремума вид

Сократим уравнения системы на (–2):

Известно, что сумма разности равна разности сумм:

69