Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Функции нескольких переменных

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.11.2025

Размер:

1.68 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

2. Найти частные производные 3-го порядка.

2.1. z x3 y3. (Ответ: zx3 zy3 6; zx2 y zxy2 0. )

2.2. u xyz (Ответ: u 1. Все остальные частные произ-

xyz

водные 3-го порядка равны нулю.)

3.Найти дифференциал 2-го порядка.

3.1.z x2 y2. (Ответ: d2 z 2y2dx2 8xydxdy 2x2dy2. )

3.2.	z	x
			.
		x y

(Ответ: d2 z 2ydx2 2 y x dxdy 2xdy2 / x y 3 . )

3.3. z ex y2 cos x.

(Ответ: d2 z ex y2 cos x dx2

4 yex y2 dxdy 2ex y2 2 y2 1 dy2.)

3.4.z x3 y3 xy. (Ответ: d2 z 6xdx2 2dxdy 6ydy2. )

3.5.z x2 y3 x y 5.

(Ответ: d2 z 2y3dx2 12xy2dxdy 6x2 ydy2. )

4.Найти дифференциал 3-го порядка.

4.1.z ex ey xy 2. (Ответ: d3z exdx3 eydy3. )

4.2.z 2x4 xy2. (Ответ: d3z 24xdx3 24 y 10 dy3. )

4.3.z x4 y3. (Ответ: d3z 48xdx3 6dxdy2. )

4.4.z 3y2 4x3. (Ответ: d3z 24dx3. )

5.Разложить по формуле Тейлора функцию

f2x2 xy y2 6x 3y 5

вокрестности т. M 1; 2 .

(Ответ: f x, y 5 2 x 1 2 x 1 y 2 y 2 2 . )

6. Разложить по формуле Маклорена до 4-го порядка включительно функцию f x, y 1 x2 y2 12 .

(Ответ: f x, y 1 12 x2 y2 18 x2 y2 2 . )

4.5.Домашние задания

1.Найти частные производные 2-го порядка.

1.1.u 2xyz ex y .

x y

;

x y

;

x y

;

(Ответ: u

uxy 2z e

uyz 2x;

0.)

uxz 2y;

1.2. u cos x2 y . (Ответ: u 2

2y sin x2 y 4x2 y2 cos x2 y ;

cos x

y ;

y cos x

y .)

2 x

uxy 2xsin

2. Найти дифференциал 2-го порядка.

2.1.z x2 y3. (Ответ: d2 z 2y3dx2 12xy2dx d y 6x2 ydy2. )

2.2.z cos x sin y. (Ответ: d2 z cos xdx2 sin ydy2. )

2.3.z ln x y xy.


	1			1		y							1		1
(Ответ: d2 z	1			1		y		dx2				2	1		1	dxdy
(Ответ: d2 z								dx2				2				dxdy
	x y	2	4		x		3						x y	2
	x y		4		x								x y		4 xy

			1						1 y
			1						1 y			dy2.)
												dy2.)
		x y			2			4		x	3
		x y						4		x
3. Разложить	по формуле					Тейлора						функцию			f x, y 2xy в

т. M 1;1 .

(Ответ: f x, y 2 2ln 2 x 1 2ln 2 y 1 ln2 2 x 1 21 2ln 2 ln 2 x 1 y 1 ln 2 y 1 2 .)

5. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА ЭКСТРЕМУМ. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. НАИБОЛЬШЕЕ

ИНАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ

ВЗАМКНУТОЙ ОБЛАСТИ

5.1.Локальные экстремумы функций нескольких переменных

Пусть функция u f x1,	x2 , , xn	определена в области D пе-
ременных x1, x2 , , xn , а т.	M0 x01,	x02 , , x0n является внут-

ренней точкой этой области D.

Т. M 0 называется точкой (локального) максимума (минимума)

функции f, если существует такая -окрестность т. M 0 , что для любой т. M x1, x2 , , xn D выполняется неравенство

f M f M0 (соответственно – ).

Если же для некоторой указанной -окрестности знак равенства может быть только в т. M M0 , то соответствующий максимум

(минимум) называется собственным или строгим (в противном случае – нестрогим, несобственным).

Для обозначения максимумов и минимумов применяется и об-

щий термин – экстремум, локальный экстремум.

Теорема 5.1 (необходимое условие локального экстремума). Пусть

функция u f x1, x2 ,

, xn

в некоторой т. M0 x01, x02 ,

, x0n

имеет экстремум. Тогда, если в этой т. M 0 существуют конечные

частные производные 1-го порядка, то все эти частные производ-

ные равны нулю:

	f			0,
	f

	x1
		M	0
		M

	f
	f			0,

	x2
		M	0		(5.1)
		M	0
...................

	f

				0.
	x			0.
	x
	n	M 0
	n	M 0
Т. M 0 с таким свойством называются стационарными крити-
ческими точками функции f.
Доказательство. Зафиксируем				x2 x02 , x3 x03,	, xn x0n ,

сохраняя x1 переменной величиной. Тогда получаем функцию от

одной переменной x1 : u f	x1, x02 ,	x03, , x0n . Так как по пред-
положению в т. M0 x01, x02 ,	, x0n	достигается экстремум (пусть

это будет максимум для определенности), то отсюда следует, что в некоторой -окрестности точки x1 x01 должно выполняться неравенство

f x1, x02 , x03, , x0n f x01, x02 , x03, , x0n ,

и поэтому указанная функция одной переменной в точке x1 x01

достигает максимума. Откуда по необходимому условию экстремума функции одной переменной получаем

fx	x01, x02 , x03,	, x0n 0.
1

То есть доказано первое из равенств (5.1). Аналогично доказываются и все остальные равенства (5.1). Теорема доказана.

Достаточные условия существования экстремума функции

2-х переменных. Рассмотрим функцию 2-х переменных u f x, y .

Для нее справедлива следующая теорема.

Теорема

5.2

(достаточное

условие экстремума). Пусть

т. M0 x0 , y0

является стационарной критической для функции

u f x,

y .

Пусть

в т. M 0

и некоторой ее

-окрестности

f x, y

имеет непрерывные частные производные до 2-го поряд-

ка включительно. Обозначим

fxx

x0 , y0 A, fxy x0

, y0 B, f yy x0 , y0 C.

Тогда

AC B2.

(5.2)

Возможны следующие случаи:

1) если M0 0,

то f x, y

в т. M0 x0 , y0

имеет экстре-

мум, причем максимум, если A 0

и минимум, если A 0;

2) если M0 0,

то f x, y

в т. M0 x0 , y0

экстремума не

имеет;

3) если M0 0,

то экстремум в т. M0 x0 , y0 может быть,

а может и не быть (т. е. требуется дополнительное исследова-

ние).

Доказательство этого утверждения получается путем анализа формулы Тейлора для функции f x, y при n 1.

Пример 5.1. Исследовать на экстремум функцию z x2 4xy 8y2 x 5y 2.

Решение. Определяем стационарные точки исходной функции из условия:

z 0,

zy 0.

В нашем случае
	z		2x 4 y 1 0															2x			4 y
	x																	2x			4 y		1
			4x 16 y							5				0				4x 16 y								5
	z		4x 16 y							5				0				4x 16 y								5
	y
	4x 8 y 2												8 y 3											y				3
													8 y 3											y
																											8 .
																	16 y		5								8 .
	4x				16 y 5								x														1
	4x				16 y 5								x														1
																		4						x
																		4						x			4
																											4
																	1			1
Получили одну стационарную т. M																			,			.	Достаточное условие
Получили одну стационарную т. M																			,			.	Достаточное условие
																	4			8
будем проверять с помощью определителя (5.2):
								AB C2 ,
		B z				2 16;											4 .
где A z	2 2;	B z			y	2 16;			C zxy								4 .
x					y
Определитель
	A M A B C2											M		2 16 4 2 16 0.
	A M A B C2													2 16 4 2 16 0.
																											A z 2			2 0,
Следовательно, экстремум существует. Так как																											A z 2			2 0,
																													x
то в т. M будет минимум:
			z				1		3				9			1		15	2					19	.
			z	min															2						.
				min		16			8		8				4			8					16
						16			8		8				4			8					16

Пример 5.2. Найти экстремум функции

z 3x2 y y3 18x 30y 4.

Решение. По необходимому условию существования экстремума имеем

z		6xy 18 0													3
	x											xy			3
		3x2 3y2 30
z		3x2 3y2 30								0		x2		y2 10 0
	y
							3										x		3
					x								3
																			y
											x								y
								y			x
								y										3 .
													y			y		3 .
			9		y	2	10		0		2	1;9					1,2	1
				2	y		10		0	y		1;9				y3,4		1
	y

Получили четыре точки, подозреваемые на экстремум:

M1 1, 3 , M2 1, 3 , M3 3,1 , M4 3, 1 .

Достаточное условие проверяем с помощью определителя

AB C2 ,

		B z		2 6y;
где A z	2 6y;		y		C zxy 6x.
x
Определитель будет равен
		6y 6y 6x 2 36 y2 36x2.
В т. M1 1, 3		M1 36 9 36 1 0 . Следовательно, в этой

точке существует экстремум. Так как A M1 18 0 , в т. M1 будет минимум:

zmin z M1 3 12 3 33 18 1 30 3 4 68.

В т. M2 1, 3			M2 36 9 36 1 0 тоже существует экс-
тремум.	A M2 18 0 . Следовательно, в т. M 2 будет макси-
мум:
z		3 1 2 3 3 3 18 1 30 3 4 76.
max
Для т.	M3 3,1		имеем M3 36 1 36 9 0 в т.	M3	экс-
тремум не существует.
Для т.	M4 3,1		будет M4 36 1 36 9 0 в т.	M 4	тоже
не существует экстремум.
			5.2. Условный экстремум
Условным экстремумом функции z f x, y называется					экс-

тремум, который достигается при условии, что переменные x и y связаны дополнительным условием (ограничением) φ x, y b.

Исследования на условный экстремум удобно проводить с по-

мощью функции Лагранжа:

	F x, y, λ f x, y λ φ x, y b ,	(5.3)
	F x, y, λ f x, y λ φ x, y b ,	(5.3)

где – множитель Лагранжа. Он неизвестен и подлежит определению.

Если задано n ограничений, то функция Лагранжа имеет вид

F x, y, λ1,	m
	m
	λn f x, y λi φi x, y bi ,	(5.4)
	i 1

т. е. функция Лагранжа содержит столько i, сколько задано дополнительных условий.

Необходимым условием существования условного экстремума является равенство нулю частных производных 1-го порядка:

F	f	λ	φ	0,
x	x		x
F	f	λ	φ	0,
y	y		y

F φ x, y 0;

F			f			λ		φ	0,
x			x					x
F			f			λ		φ	0,
y			y					y
F	φ				x, y 0),
	φ				x, y 0),
λ1			1
λ1
F		φ				x, y 0,
		φ		2		x, y 0,
λ2				2
λ2
F		φ					x, y 0.
		φ			m		x, y 0.
λm					m
λm

– для функции (5.3)

для функции 5.4

Решая полученные системы, определяем точки условного экстремума.

Достаточное условие проверяется с помощью дифференциала 2-го порядка от функции Лагранжа в точке экстремума:

d	2		M dx	2			2	.
d		F M Fx2	M dx		2Fxy M dxdy Fy2		M dy	.

Если в рассматриваемой т. M d2 F M 0 , то в этой точке ми-

нимум, если d2 F M 0, то – максимум.

Пример 5.3. Найти экстремум функции z x2 y2 4 при условии, что 2x y 4 .

Решение. Геометрически задача сводится к нахождению экстре-

мальных значений аппликаты z

к поверхности z x2 y2 4 для

точек ее пересечения с плоскостью

2x y 4 . Cоставляем функ-

цию Лагранжа, определяемую формулой (5.3):

F x, y x2 y2 4 λ 2x y 4 .

Ее частные производные:

2x 2λ,

2 y λ,

2x y 4.

Система уравнений необходимого условия примет вид

2x 2λ 0

x λ

2 y λ 0

2x y 4

2λ

;

Получили

т.

Находим

частные

производные

2-го порядка:

2 F

2 Fx2 2,

2 Fy2

x y Fxy

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.11.20252.35 Mб0Формирование архитектурно-ландшафтных композиций.pdf
#
30.11.20253.19 Mб0Формирование навыков креативного мышления у студентов при изучении философии, логики.pdf
#
30.11.20258.58 Mб5Французский язык. Часть 1.pdf
#
30.11.20255.35 Mб2Фрезерные работы.pdf
#
30.11.20252.65 Mб0Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения.pdf
#
30.11.20251.68 Mб0Функции нескольких переменных.pdf
#
30.11.20252.85 Mб0Функциональное и логическое программирование.pdf
#
30.11.20259.48 Mб0Характеристики дорожного движения.pdf
#
30.11.20253.33 Mб0Химия для курсантов военно-технического профиля.pdf
#
30.11.20255.03 Mб0Химия для студентов специальности 1-57 02 01 Технология и оборудование ювелирного производства.pdf
#
30.11.20254.42 Mб1Химия.pdf