Функции нескольких переменных

Пример

3.3. Найти частные производные функции

z ln u2 v2

, где u tg2 3x, v 2yx.

z

z

u

z

v

и

z

z

u

z

v

,

x

u

x

v

x

y

u

y

v

y

где

z

1

2u

2u

,

z

1

2v

2v

,

u

u2 v2

v

u2 v2

2 v2

u2 v2

u

u

2 tg 3x

1

3

6 tg 3x

,

u

0,

x

cos2 3x

y

cos2 3x

v

2yx ln 2 y,

v

2yx ln 2 x.

x

y

z

2u

6 tg3x

2v

2yx

ln 2 y

2 tg2

3x

x

u

2 v2

cos2 3x

u

2 v2

tg4 3x 22 yx

6 tg3x

2 2yx

2yx ln 2 y

12 tg3 3x

cos2 3x

tg4 3x 22 yx

tg4 3x 22 yx cos2 3x

21 2 yx ln 2 y

12 tg3 3x 21 2 yx ln 2 y cos2 3x

,

tg4 3x 22 yx

tg4 3x 22 yx cos2 3x

z

2 tg2 3x

0

2 2yx

2yx ln 2 x

21 2 yx ln 2 x

.

tg4 3x 22 yx

tg4 3x 22 yx

y

tg4 3x 22 yx

Рис. 3.1

Линии

T1 и

T2 являются касательными к линиям L1 и L2 в

т. M0 x0 ,

y0 , z0 . Они задаются системами:

x x ,

0

– для линии L1

z0 f y x0 , y0 y y0

z

y y ,

0

– для линии L2.

x , y

x x

z z f

0

x

0 0

0

Уравнение плоскости, проходящей через точку с x x0 ,

y y0 ,

имеет вид

A x x0 B y y0 C z z0 0.

(3.3)

Касательные T1 и T2 получаются сечением двумя плоскостями

x x0 и y y0 . Следовательно, уравнение касательной T1

z z0 B / C y y0 ,

x x0 .

Уравнение касательной T2

z z0 A / C x x0 ,

y y0 ,

x0 , y0 ,

, y0

.

где A / C fx

B / C f y x0

fx

x0 , y0 x x0 f y x0 , y0 y y0 z z0 0.

(3.4)

Это уравнение (3.4) – для поверхности, заданной явно.

Для неявно заданной поверхности F x, y, z 0

уравнение каса-

тельной плоскости будет иметь вид

Fx x0 , y0 , z0 x x0 Fy x0 , y0 , z0 y y0

(3.5)

Fz x0 , y0 , z0 z z0 0.

x x0

y y0

z z0

.

(3.6)

Fx x0 , y0 , z0

Fy x0 , y0 , z0

Fz x0 , y0 , z0

мали к поверхности

x2

y2

z2

0 в т.

M 2, 2,1 .

4

4

9

2x

x

2 y

y

2z

2

1,

.

Fx

1, Fy

Fz

4

2

M

4

2

M

9

M

9

Уравнение касательной плоскости (3.5)

1 x 2 1 y 2

2

z 1 0

9

или после преобразований x y

2

z

34

.

9

9

Уравнение касательной плоскости 9x 9y 2z 34.

Уравнение нормали (3.6)

x 2

y 2

z 1

.

1

1

2 / 9

grad z

z i

j.

y

x

Для функции 3-х переменных

f f x, y, z :

grad f f

i

j

k .

y

x

y

z

2x 4,

z

4 y 5.

x

y

Следовательно, grad z 2x 4 i

4y 5 j.

f

2xy

3z 4 yz

2 1 2 3 3 4 2 3 37,

x

M

M

f

x2 4xz

1 12 13,

y

M

M

f

3x 2z 4xy

M 3 6 8 5.

z

M

Тогда grad f M 37i 13 j 5k.

z

lim

z N z M

,

l 0

l

l

z

z cos z cosβ,

e

x

y

MN с осью Ox;

где – угол вектора l

– угол с осью OY.

Для функции 3-х переменных u u x, y, z

u

u cos

u cosβ

u cos γ,

l

x

y

z

MN с осью OZ;

где – угол вектора l

u

grad u

u 2

u 2

u 2

max

.

l

x

y

z

cos α

2

2

, cosβ

2

, cos γ

3

.

4

4 9

17

17

17

Частные производные в т. M равны

u

2x 4 yz 2

M 2 4

2 3 2 24,

x

M

u

2 y 4xz 6

M 4 12 6 22,

y

M

u

2z 4xy

6 8 14.

z

M

Следовательно,

M

u

24

2

22

2

14

3

48 44 42

134

.

l

M

17

17

17

17

17

1.3. e

x

e

y

e

x

e

y

2x. )

2xy 0. (Ответ: Fx

2y; Fy

1.4. cos xy x2 y 5x 0.

sin xy x x

2

. )

(Ответ: Fx sin xy y 2xy

5; Fy

2 y 2e2 y

2x ex

. )

(Ответ: xy

2x ex

; yx

2 y 2ey

3. Найти частные производные сложной функции.

3.1. u x y , где x φ t ,

y ψ t .

(Ответ: ut y x y 1 xt x y ln x yt . )

3.2. u cos x2

y2 , где

x et , y 2t.

(Ответ: ut sin e2t 22t 2et et

sin e2t 22t 22t 1 ln 2. )

(Ответ:

2x 3y 6z 18 0;

x 3

y 2

z 1

. )

2

3

6

4.2. x2 y2

z2 9, M 1, 2, 2 .

(Ответ:

x 2 y 2z 9 0;

x 1

y 2

z 2

. )

2

1

2

4.3. 2z

x2

y2

, M 3, 2, 1 .

9

4

(Ответ:

2x 3y 6z 6 0;

x 3

y 2

z 1

. )

M 1, 1, 1 .

2

3

6

4.4. z xy,

(Ответ: grad F 2y 4 i 2x 2y

j. )

5.3. F ex ey xy. (Ответ: grad F ex y i e

x

j. )

5.4. F cos x sin y 2x 3y.

(Ответ: grad F sin x 2 i cos y 3 j. )

5.5. F 7xy tg x ctg y.

1

(Ответ: grad F 7 y

i 7x

j. )

2

2

cos

x

sin

y

6. Найти производные функции u по направлению вектора l

:

u

6.1. u 2x3 3y2 xz z3,

l 1, 2, 4 . (Ответ:

126

21

. )

l

21

6.2. u 3x 4y z, l 1, 2, 3 . (Ответ: u

4

14

. )

l

7

6.3. u 4x 5y z 4, l MN, M 2, 1, 3 , N 3, 1, 7 .

(Ответ: u

8 17

. )

l

17

z3 , l 1, 2,1 . (Ответ: u

6.4. u x2

y2

6

. )

l

2

6.5. u x2

y2

z 4, l MN,

M 1, 0, 3 ,

N 3,1, 8 .

u

(Ответ:

5

. )

l

6

1.1. x

2

4y

2

6x 5y 0.

2x 6;

8y 5. )

(Ответ: Fx

Fy

3x

1;

5 y

ln 4

1. )

(Ответ: Fx

3e

Fy 5

4

2. Найти

2

6y

3

2x 5y 7 0.

yx и

xy , если 3x

(Ответ:

6x 2

. )

yx

18y2

5

z

x2

y2

в т. M 2, 3, 2 .

4

9

x 2

y 3

z 2

(Ответ: 3x 2 y z 10;

. )

1

1

2 / 3

u x2 2y3 xy z, l 1,1,1 . (Ответ:

u

3

).

l

3

4.1. Частные производные высших порядков

Рассмотрим функцию z f x; y , x; y D.

Ее частные произ-

водные

f x; y

и

f x; y

называют частными производными

x

y

первого

порядка;

они являются функциями

аргументов x и y;

z

2 z

x; y ,

f

2

zxx

x

2

x

x

x